Cấp số nhân –

Định nghĩa Xét bài toán : Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn : “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lẩi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi”. Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%. a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu ?b) Cũng câu hỏi như trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau, kể từ ngày gửi ? Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u, là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng, kể từ ngày gửi. Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:u, = u, _ 1 + u, _ 1 X 0,004 = u, _ 1 X 1,004 vʻn 2 2. Như vậy, ta có dãy số (u,..) mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004. Người ta gọi các dãy số có tính chất tương tự như dãy số (un) nói trên là những cấp số nhân.ĐINH NGHIA Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của Số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là (un) là cấp số nhân Vn > 2, u, = un_1, q.Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.Ví dụ 1 a). Dãy số (u,..) với u, = 2″ là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 2. b). Dãy số -2, 6, -18, 54, -162 là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = -2 và công bội q = -3.н1 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân ? Vì sao ?a) 4; 6:9; 13.5.b) -1,5 : 3; -6, -12; 24; -48; 96; -192.c) 7, 0, 0, 0, 0, 0.Ví dụ 2. Cho dãy số (u,..) xác định bởiit = và u = 3u,_1 = 1 với mọi n > 2.2.2.Chứng minh rằng dãy số (wn) xác định bởi1 a. = u, – . với mọi n > 1 là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. Gidi Từ công thức xác định dãy số (v) và (un), ta cóV.v = u, — = 3u_1 – 1 – = 3(1,- -) = 3V,n-1 với mọi n > 2. Từ đó suy ra dãy số (yn) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q = 3. O Tính chấtTa có định lí sau:ĐINH LÍ1Nếu (un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là2 – 14 = 141-1.lկ էլ.Chứng minhGọi q là công bội của cấp số nhân (Mn).- Nếu q = 0, thì hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.- Nếu q z0 thì từ định nghĩa cấp số nhân ta có uk = u-1-4 (k22), n = 부 (2)d Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức trên, ta được điều cần chứng minh. D117|H2. Hỏi có hay không một cấp số nhân (,) màu,=-99 và u(0) = 1012 Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u,..) với công bội q > 0. Biết u1 = 1 và u2 = 3, hãytìm lu4.Gidi Theo định lí 1, ta cóே = u-us (1) = 1.4 (2) Từ (1), do u2 >0 (vì u1 = 1 > 0 và q > 0), suy ra u2 = . Từ đây và (2)ta được 2 2 ls 3 u = — = — = 3v3 D 4 Vս, u, v1.3 3. Số hạng tổng quát Tương tự như đối với cấp số cộng, ta có thể tìm được số hạng tuỳ ý của một cấp số nhân khi biết số hạng đầu và công bội của nó. Cụ thể, ta có kết quả sau:ĐINH LÍ2Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q z 0 thì số hạng tổng quát u, của nó được xác định bởi công thức- -1 Mn = 111.ց .Ví dụ 4. Trở lại bài toán đặt ra ở phần đầu mục 1. Theo yêu cầu của bài toán ta cần tính u6 và u12. Do (u, ) là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 10′ + 10°, 0,004 = 10”. 1.004 và công bội q = 1.004 nên , theo định lí 2 ta có u, = 10ʼ.1, 004.(1,004)”‘ = 10’. (1,004)” vn > 1. Suy ra: ue = 10° (1.004)’s 10242413 (đồng), u,2 = 10”. (1.004)” s 10.490702 (đồng). D1184.|H3] Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 2%. Hỏi dân số của thành phố A sau 2 năm nữa sẽ là bao nhiều ? Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân Tương tự như đối với cấp số cộng, người ta cũng quan tâm tới việc xác định tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân theo số hạng đầu và công bội của nó. Giả sử có cấp số nhân (u,). Với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S, là tổng n số hạng đầu tiên của nó (S) = u + u2 +…+ un). Nếu q = 1 thì u, = u1 với mọi n > 1. Do đó, trong trường hợp này, ta có S = пи 1.Khi q z 1 ta có kết quả sau:ĐINH LÍ3Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q z 1 thì S, được tính theo công thức l, (1 – 4″).S 1 – φChứng minh Ta cóգSn = qui + զսշ + … + զաn- 1 + զաn = աշ + u3 + … + un + աn + 1: Do đó S,-4S, = u-u, = u-uq” = u-(1-g”), hay (1 – 4)S = μι(1 – α”). O Từ đó, do qz 1, suy ra điều cần chứng minh. Ví dụ 5. Cho cấp số nhân (u,..) có u2 = 24 và u4 = 48. Hãy tính tổng năm số hạng đầu tiên của cấp số đó.Gidi Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có 48 q = 24 = 2.1192 9.30120Do đó, theo định lí 2, ta được : 24 = u2 = u12. Suy ra u1 = 6. Vì thế, theo định lí3, ta đượcS5 = 186. O6.(1-2) • Đố vui. “Một hào đổi lấy năm xu ?” Tương truyền, vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị được “bán” tiền cho ông ta theo thể thức sau: Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà toán học “bán” cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá 1 đồng ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỉ phú phải “mua” với giá gấp đôi giá của ngày hôm trước. Không một chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý ngay tức thì, lòng thầm cảm ơn nhà toán học nọ đã mang lại cho ông ta một cơ hội hốt tiền “nằm mơ cũng không thấy”. Hỏi nhà tỉ phú đã lãi được bao nhiêu trongcuộc “mua – bán” kì lạ này ?Câu hủi và bài tập Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó. a). Dãy số 1, -2,4, -8, 16, -32, 64: b). Dãy số (u,..) với u, = n.6”’; c). Dãy số (v) với V,=(-1)”.3”; d). Dãy số (x) với \,= (-4)””.. Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng:a). Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội 0 < q < 1, là một dãy số[ ] Tăng. [ ]. Giảm. [ ]. Không tăng cũng không giảm. b). Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội q > 1 là một dãy số [ ] Tăng. [ ]. Giảm. [ ]. Không tăng cũng không giảm. 3.3. 3.34. Cho cấp số nhân (un) có công bội q < 0. Biết u2 = 4 và u4 = 9, hãy tìm u1. . Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương,tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và sốhạng cuối bằn . Hãy tìm cấp số nhân đó. 16 у. Cho cấp số nhân (u,). Với công bội q z 0 và u1 = 0. Cho các số nguyên dươngm và k, với m>. k. Chứng minh rằng um = u… q”’Áp dụnga) Tìm công bội q của cấp số nhân (un) có u4 = 2 và u… = – 686. b) Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (un) mà u2 = 5 và u22 = – 2000 ?- Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (u,..), biết rằng uạ = – 5 và u6 = 135. . Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).. Tính các tổng sau :a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366; b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng1 =- 1 – * 1 S -1 1 ܠ – ܧ ܦ 256′ Số hạng thứ hai bằng 512 và số hạng cuối bằng 1048.576. Bốn góc lượng giác có số đo dương lập thành một cấp số nhân có tổng là 360°.Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.LUyệm tậpHãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây: a). Nếu các số thực a, b, c mà abcz 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0, thì các số 敖 theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.121Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời, các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Cấp số nhân

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!