Cực trị của hàm số –

Bài này giới thiệu khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số và xét quan hệ giữa cực đại, cực tiểu với dấu của đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số. Khái niệm cực trị của hàm số. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (9) c-R) và xạ = 9). a) xo được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm xo sao cho (a; b) c– 9) và f(x)| < f(\0) với mọi x = (a ; b) \{\0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf. b) \o được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm \o sao cho (a; b) C- 9) và f(x) > f(x0) với mọi x = (a ; b) \{\o}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm \o. y y = f(x)! \ điểm | } }*0 } \cực tiểu điểm ở điểm b \ } 0 điểm cực tiểu cực đại cực đại Hình: /, / CHÚ Ý 1) Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp 9): f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a; b) nào đó chứa điểm \o. 2). Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp 9). Trên đồ thị của hàm số y = f(x) trong hình 1.1, ta thấy hàm số có hai điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. Hàm số cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp số thực cho trước. 3) Đôi khi người ta cũng nói đến điểm cực trị của đồ thị. Nếu \o là một điểm cực trị của hàm sốf thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f: 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Quan sát đồ thị của hàm số y = f(x) (h.1.1), ta thấy nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm xo và nếu đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x0; f(x0)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành, tức là f'(x0) = 0. Đó là nội dung của định lí mà ta thừa nhận sau đây.ĐINH LÍ1Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xo. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại \0 thì f'(\0) = 0.Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f” có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm \0.Chẳng hạn, xét hàm số f(x) = α”, ta cό f'(x) = 3x” và f'(0) = 0. Tuy nhiên, hàm số f không đạt cực trị tại điểm x = 0. Thật vậy, vì f'(x) > 0 với mọi x = 0 nên hàm số f đồng biến trên R(h.1.2).Hình 1.2 Hình 1-3 CHÚ Ý Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Chẳng hạn, hàm số y = f(x) = xác định trên R. Vì f(0) = 0 và f(x) > 0, với mọi x z0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0. Dễ thấy hàm số y = |x| không có đạo hàm tại điểm x = 0 (h.13). Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trịĐịnh lí sau cho ta một điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.ĐINH LÍ2Giả sử hàm số fliên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a; xo) và (x0 ; b). Khi đó a). Nếu f'(x) < 0 với mọi x = (a ; xo) và f'(x) > 0 với mọi x = (\o ; b) thì hàm sốfđạt cực tiểu tại điểm xo. b) Nếu f'(x) > 0, với mọi x = (a : x0) và f'(x) < 0 với mọi x = (\o ; b) thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo. Nói một cách khác, a). Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm \0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \0 b) Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm xo (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \0, Chứng minh a). Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng (a; \0] và f'(x) < 0 với mọi x = (a ; \o) nên hàm số f nghịch biến trên (a: x0]. Do đó f(x) > f(\0) với mọi x e (a; \0). Tương tự, vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng [\o ; b) và f'(x) > 0 với mọi x = (\o ; b) nên hàm số đồng biến trên [xo; b). Do đó f(x) > f(x0) với mọi x = (\0 ; b). Vậy f(x) > f(x0) với mọi x = (a ; b) \{\o}, tức là hàm số f đạt cực tiểu tại điểm \o. b) Phần b) được chứng minh tương tự. DĐịnh lí 2 được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau :(7 *0 bf'(x) +f(x) །། f(x0)(cực tiểu)2W0 bf'(x) + – f(x0)f(x) っ。Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây.QUY TÁC 1 1. Tìm f'(x). 2. Tìm các điểm x, (i= 1, 2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hài số liên tục nhưng không có đạo hàm. 3. Xét dấu f'(x). Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm x, thì hàm số đạt cực trị tại \;.Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số- 1. 3 — y? — R v -|- “. f(x) འུ་ཅི་ x -3.x + 3 GidiHàm số đã cho xác định trên R.Ta có f'(x) = x – 2x -3. Từ đó f'(x) = 0 x_2 x = -1 hoặc x = 3. Sau đây là bảng biến thiên :-OO -1 3. +○○ f'(x) + O Of(x) 3 کر. ~പ -7을 کسریVậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, giá trị cực đại của hàm số là f(-1) = 3. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu của hàm số là2 f(3) = –75 н1 Tìm cực trị của hàm số 4 f(x) = –3Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số f(x) = |x|.Gidi Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.– Y. Với x < 0Ta có f(x) ... –1 Với O Do đó fro) — J' V" * * 1. Với x > 0,(Hàm số f không có đạo hàm tại điểm x = 0). Sau đây là bảng biến thiên: -oid O +OO f'(x) -h O Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu của hàm số là f(0) = 0. L]Có thể sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số. Người ta đã chứng minh định lí sau đây.ĐINH LÍ3Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm \0, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm \0,a) Nếu f'(x0)| < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm *0. b) Nếu f"(\0) > 0, thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm \o.Từ định lí3, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số (nếu hàm số có đạo hàm cấp hai).1.QUY TÁC 2 1. Tìm f'(x), 2. Tìm các nghiệm \; (i= 1,2,…) của phương trình f'(x) = 0. 3. Tìm f”(x) và tính f”(Y). Nếu f'(x) < 0 thì làm số đạt cực đại tại điểm \,, Nếu f'(x) > 0, thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \,, Ví dụ 3. Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 – x -3.x + Giai Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có f'(x) = x° – 2\ -3 ; f'(x) = 0 < x = -1 hoặc x = 3 ; f"(x) = 2 x -2. Vì f"(-1) = -4 < 0. nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, f(-1) = 3.Vì f"(3) = 4 >0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, f(3)= -73Ta nhận được các kết quả đã biết trong ví dụ 1.н2] Tìm cực trị của hàm số f(x) = 2 sin2.x -3.Câu hủi và bài tập 1. Tìm cực trị của các hàm số sau : a) f(x) = + 2 x + 3 x -1 : b) f(x) = – 2x – 10 ; c) f(x) = x + i ; d) f(x) = x(x + 2);Tìm cực trị của các hàm số sau…

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Cực trị của hàm số

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!