Đạo hàm cấp cao –

Xét hàm số f(x) = x^3 – x^2 + 1. Hàm số này có đạo hàm f’(x) = 3x^2 – 2x. Hiển nhiên, y’= f'(x) cũng là một hàm số có đạo hàm và đạo hàm của nó là [f'(x)]’ = (3x^2 – 2x)’ = 6x – 2. Ta gọi đó là đạo hàm cấp hai của hàm số ban đầu.2Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số saua) y= x -2x+1; b) y = tanx.Gidia) y’ = 3.x-4x; y” = -4x) = 6.x – 4.b) y’ = 1 + tan’s ; y’ = (1 + tan’) =2tanx (1+ Oн1 Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số: a)y = vy b) y = sinx.Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Ta đã biết: Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t) thì vận tốc tại thời điểm to của chất điểm đó là v(t) = x(t). Bây giờ nếu to nhận một số gia AI thì v(t) nhận một số gia là Aw= v(t) + AI) – v(t). Khi |At càng nhỏ (khác 0) thì Aw càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm to. Trong cơ học, giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi AI dẫn đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm to (hay gia tốc tại thời điểm to) của chất điểm đó, và được kí hiệu là a(tụ). Vậylim Δν Ao AtDo đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như sau:a(t) =Gia tốc (tức thời) a(tụ) tại thời điểm to của một chất điểm chuyểnđộng cho bởi phương trình & = &(t) bằng đạo hàm cấp hai của hàmsốs = s(t) tại điểm to, tức làa(lo) = s”(to). Gia tốc tại thời điểm to đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó. Ví dụ 2. Một chất điểm chuyển động có phương trình S(t) = Asin((of + (2). (Phương trình này gọi là phương trình dao động điều hoà). Khi đó, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm I là v(t) = S'(t) = A do cos(ao t + q,p).2173.Gia tốc tức thời tại thời điểm I là a(t) = S'(t) = v'(t) = -A af sin(a)t + (p). D |H2| Phương trình chuyển động của một chất điểm là S(t)=5t –3” (S tính bằng mét (m), t tỉnh bằng giây (s)). Tỉnh gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4s. Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp mộtf”’ và đạo hàm cấp hai f” của hàm số f còn được kí hiệu lần lượt là f”’ và f”. Nếuf“” là một hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số /, kí hiệu là /”. Tương tự, đạo hàm cấp n của một hàm số được định nghĩa bằng quy nạp như sau: Cho hàm sốf có đạo hàm cấp n − 1 (với n = N., n > 2) là f“ ”. Nếu f”’ là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là f(”. Nói cách khác, f(n) fell, (ne N., n > 2). Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) còn được kí hiệu là y”. Ví dụ 3.a) Đối với hàm sốy=x^+7x^-4\, ta có: y=3x^+ 14A – 4: y”=6x + 14; y”=6 và y”= 0 với mọi n >4. b) Đối với hàm số y = sin\, ta có: y’ = cos x : y” = (cos x)’ = – sinx ; =y” = (-sin x) = -cos x : = (-cos x)’ = sinx ; y = (sin x)’ = cos x ; … D(H3 Quan sát ví dụ 3b) và cho biết khẳng định sau đúng hay sai: Nếu y = sinx thì”) = si nt y sin(x + 2Câu hủi và bài tập42. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.218a) f(x) = a’- cos2x, f'(x)4. 3.444. 54 64. 748b)f(x) = cosx, /ʻ°ʼ(v) c) f(x) = (x + 10″, f'(x).. Chứng minh rằng với mọi n > 1, ta có:- 1 Y” . un a) Nếu f(x) = 1 thì/”(x) = (-)”. n+1 b) Nếu f(x) = cosx thì /“”(x) = cosx.c) Nếu f(x) = sina Y (a là hằng số) thì /ʻ*”ʼ(v) = a” sinax.- Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thứcv(t) = 8+ 3”, trong đó t > 0, t tính bằng giây (S) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểma) Tại thời điểm t = 4;b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.LUyệm tập. Tìm vi phân của mỗi hàm số sau:a) y = tan 3-cot3 :b)y= Ncos°2x + 1.. Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):a). Hướng dẫn:Xéthàm sốy=+ tại điểm.\,=2025=45°với Ar=005.1 x/20,3b) tan29°30′. Hướng dẫn: Xét hàm số y = tanx tại điểm \0= νόi ΔΧ = — a) Cho hàm số f(x) = tanx. Tính/”(x) với n = 1,2,3.4b) Chứng minh rằng nếu f(x) = sin”Y thì “”(x)=-2” ‘cos2x.. Chứng minh rằng:a). Nếu y = Asin((of + (2) + Bcos(of + (), trong đó A, B, () và () là những hằng số, thìy”+ (ởy = 0.b) Nếuy = N2\ – \” thìy”y”+ 1 = 0Phép tính đạo hàm hay còn được gọi là phép tính vi phân đã được manh nha từ nửa đầu thế kỉ XVII. Sau khi Đề-các (Descartes 1596 – 1650) phát minh ra phương pháp xác định toạ độ một điểm trong hệ trục toạ độ vuông góc (ngày nay gọi là hệ toạ độ Đề-các vuông góc) và cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị thì ông và nhà toán học Phéc-ma (Fermat 1601 – 1665) đã đặt ra các bài toán : Tìm tiếp tuyến của đường cong, tìm Cực đại và cực tiểu của hàm số. Để giải quyết các bài toán này, các ông đã tiếp cận được điều “Cốt lõi” của khái niệm đạo hàm. Có thể xem Phéc-ma là người đi tiên phong trong lĩnh vực xây dựng “phép tính vi phân”. Ông là người đầu tiên đã giải quyết một số bài toán liên quan đến vấn đề cực trị và vấn đề tiếp tuyến trên cơ sở các “vô cùng bé”. Điều này không xa với khởi thuỷ của khái niệm đạo hàm. Tuy nhiên phải đến nửa cuối thế kỉ XVII, các nhà toán học mới đặt được nền móng vững chắc cho phép tính vi phân. Các nhà toán học có công lớn trong lĩnh vực này phải kể đến Niu-tơn (Newton 1642 – 1727) và Lai-bơ-nít (Leibniz 1646 – 1716). Trong lời nói đầu của một tác phẩm của mình in năm 1684, Lai-bơ-nít đã viết: “Với sự hiểu biết về phép tính mà tôi gọi là vi phân, người ta có thể giải quyết được các bài toán tìm cực đại, cực tiểu và tìm tiếp tuyến”. Đến cuối thế kỉ XVIII và đầu thế kỉ XIX, phép tính vi phân và bạn đồng hành với nó là phép tính tích phân đã được xây dựng hoàn chỉnh bởi các nhà toán học Gau-xơ (Gauss 1777 – 1855), A-ben (Abel 1802 – 1829), Cô-si (Cauchy 1789 – 1857) và Val-di-xtrát (Weierstrass 1815 – 1897).

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Đạo hàm cấp cao

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!