Dãy số có giới hạn hữu hạn –

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn. Xét dãy số u(n) với u(n) = 3 + ((-1)^n)/n. Ta có lim(u(n) – 3) = lim((-1)^n)/n = 0. Ta nói rằng dãy số u(n) có giới hạn là 3.Một cách tổng quát, ta có: ĐINH NGHIA Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(u,-L)=0. Khi đó ta viết lim(u,) = L hoặc limu) = L hoặc lin -> L.Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạm.Ví dụ 1. Dãy số không đổi (u,..) với u,= C (c là hằng số) có giới hạn là C vìlim(u, – c) = lim(c. – c) = lim0 = 0. O- Ví dụ 2. Chứng minh rằng lim (-) – 1 = -1.Gidi Đặt u = 与颍 – 1. 1. V li A – I :.1-) م(” – isyen : – im(u, – (-1)) = limo: Z ~ = 0, nên limu, = -1. D н1 Chứng minh rằng: (ү эүп ) a) lim () — 1) = 1 ; b) im(? -Nhận xét 1) Từ định nghĩa vừa nêu, suy ra rằng limun = L khi và chỉ khi khoảng cáchịu, – L từ điểm u, đến điểm L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là m đủ lớn ; nói một cách hình ảnh, khi n tăng các điểm u, chụm lại quanh điểm L. 2) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. Chẳng hạn dãy số ((-1)”), tức là dãy số-1, 1, -1, 1, … . không có giới hạn hữu hạn.1312.Trên trục số, các số hạng của dãy số đó được biểu diễn bởi hai điểm – 1 và 1.Khi n tăng các điểm (-1)” không chụm lại quanh bất kì một điểm L nào. Một số định lí Ta thừa nhận các định lí sauĐINH LÍ1Giả sử limu, = L. Khi đó a) limu, = |L| và lim Q/u, = RL; b) Nếu u,>0 với mọi n thì L>0 và lim Nu, = VL,Ví dụ 3. imyo 02 = 3 Vì im(9 — = 9. 2H2Tim limit – n:ĐINH LÍ2Giả sử limu, = L, limy = M và c là một hằng số. Khi đó lim(u, + v,) = L + M, lim(u,, — v,) = L — M, lim (u, … vi) = LM, lim (cut) = CL,L – ܩܠܐ ܕin limặ=# (nếu M+0).24nVí dụ4. Tìm limu, với u, — ” “,” “,GiảiTa cólimu, = im(a – = lim3 + lim; lim= im3 + 4im-7lin = 3 + 40-70 = 3,1323. 2 Ví dụ 5. Tìm limu, với t, =****. n” – 5n +7 Gidi Chia tử và mẫu của phân thức cho luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được4 3 3. 2 – + + 구 lu, = 1 – . . . n Vì m — = im2 -lin+in+lin = 2 Jገ n* n ዘገ 2 +و4 – 3 và im(1-3 + 1) = I zonën limo******** = P = 2 D no – 5 + 7 1 no-n +3 |H3. Tìm giới hạn của dãy số (u,) với u, =”+”: ”. no + 2nTổng của cấp số nhân lùi vô hạn Xét cấp số nhân vô hạn 2ս, սլզ, սլզ՞… սլզ”, … có công bội q với |q| < 1 (gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn). Ta biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là— и,(1—q") И, и, Sn = uլ + սլզ + ... + սլզ" " = - 1-q1-d n.Vì |q| < 1 nên limạ” = 0. Do đó- llim S. 유, -Ta gọi giới hạn đó là tổng của cấp số nhân đã cho và viết+ °tባq + tባq + ܨS - u133 5.6.Tìm tổng của cấp số nhân22 23Ví dụ 6. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777. dưới dạng phân số.去...Gidi Ta có 0,777... = 乱 -- -- Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 斋 Và công bội q 一击 Do đó • 7. 7 0.777. o, 9 OO|H5l Biểu diễn số thập phân vô hạn tuẩn hoàn 0,313131... dưới dạng phân sốCâu hủi và bài tậpTìm các giới hạn sau: (-1)". „(sin 3n - 1 ) . a) lim|2 b) im( 4n c) lim": d) lim" . n+1 Tìm limu, với 2 2 n-3n+5 一2n^+n+2 a) u = H – ; b) u = --H; ' 2? -1 " 3n+5 4." c) I = --- ; d) μ = - . ) lu, " 2 ვ" + 4"7.9.1.Cho dãy số (un) xác định bởi lu4 = 10 và 14,11 - - 3 với mọi n > 1. a) Chứng minh rằng dãy số (yn) xác định bởi Vn = u, – 巽 là một cấp số nhân.b) Tìm limu, Cho một tam giác đều ABC cạnh a, Tam giác ABC, có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A, B, C, có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A, B, C1,…, tam giác A, 1B, 11C, 1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A,B,C,,….. Gọi p1, p.2,…p,… và $1, $2, … S,… theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác ABC, A2 B2C2, …, A, B,Cո….. a) Tìm giới hạn của các dãy số (p) và (Sn). b) Tìm các tổngp1+p2+・+pn+… va S +S2+・+Sa+… Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a) 0.444…; b) 0,2121…; c) 0,32111…. Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB= 2F,C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kínhoC2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính 学 – – -C, là đường gồm 2” nửa đường tròn đường kính , … (h. 4.2).Gọi p, là độ dài của Cn, S, là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C, và đoạn thẳng AB.a) Tính p, và S. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pg)và (Sn). Hình 4.2 ĐOÁN NHÂN GIỞI HAN CỦA MộT DÂY SỐ THƯC BẢNG HìNH HQC1) Ta đã biết tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 2′ ? ‘ 23 ” “; “1. 1 + ܚs = ਨੂੰ 2.(xem trong $2).Có thể đoán nhận được kết quả này nhờ hình 4.3 hoặc hình 44.+… = 1lill lllll Ο 2 ਨੂੰ ਨੂੰ ਨੂੰ ਨੂੰHình 4,3 Ở hình 4.3: trung điểm của đoạn [0; 1] là điểm i. trung điểm của đoạn là diém 블- truna điểm của đoan 블-1 là điểm —-부 trung 2 2 2 22 23 ” . Do đó1 1 ਨੂੰ = IỞ hình 44: hình vuông ABCD có cạnh 却 6 dài 1 đơn vị và diện tích bằng 1, hình 1.chữ nhật AEFB có diện tích bằng 1. hình vuông DHGE có diện tích bằng E若一 hình chữ nhật GIKF có diện tíchbằng 부, – – – – 2 2Do đó – —- A. 2- 2 Hình 442). Xét bài toán sau : Cho dãy số thực (u,) xác định bởiιι) = ο να μη , 1 = αι., + b νόή η > 1, trong đó a, b, c là những số thực cho trước, 0 < a < 1 và b = 0. Tìm giới hạn của dãy số đã cho. Để đoán nhận giới hạn của dãy số đã cho, ta sẽ biểu diễn các số hạng của nó trên hai trục toạ độ (h, 4.5). Dựng hai đường thẳng (d) và (A) theo thứ tự có phương trình là y = ax + b và y = \ (ở đây ta giả thiết b> 0; trong trường hợp b < 0, cách giải và kết quả hoàn toàn tương tự). Gọi Al và B, theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng x = u, với đường thẳng (d) và đường thẳng (A). Điểm A có tung độ aut + b = u2 và điểm B có tung độ là u1. Đường thẳng đi qua AI và song song với trục hoành cắt (A) tại B). Điểm B, có hoành độ là u2. Đường thẳng đi qua B, và song song với trục tung cắt (d) tại điểm A2, Tung độ của A2 là au2 + b = ua. Các điểm B3, A2, B1, A4,..., B, An,... được xác định một cách tương tự. Gọi I (I, I) là giao điểm của hai đường thẳng (d) và (A). Khi n tăng thì điểm A, ngày càng dần đến điểm I, các điểm u, trên trục hoành (và trên trục tung) ngày càng dần đến điểm I, tức làlimu, = l.Hình 4-5Vì I là giao điểm của hai đường thẳng (d) và (A) nên I là nghiệm của phương trình ax + b = x,137 Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1, có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1 ,..., tam giác A(n+1)B(n+1)C(n+1) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A(n)B(n)C(n),..... Gọi p1, p2,...p(n),... và S1, S2, ... S(n),... theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác A1B1C1, A2B2C2,..., A(n)B(n)C(n)..... a) Tìm giới hạn của các dãy số p(n) và (Sn). b) Tìm các tổng?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Dãy số có giới hạn hữu hạn

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!