Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số –

Giới hạn hữu hạn. Xét bài toán sau: Cho hàm só f(x) = (2x^2 – 8)/(x – 2) và một dãy bất kì x1, x2, …, xn, … những số thực khác 2 (tức là xn ≠ 2 với mọi n) sao cho limx(n) = 2. Hãy xác định dãy các giá trị tương ứng f(x1), f(x2),…, f(x(n)),… của hàm số và tìm limf(x(n)).Vì x, z. 2 nên2 – f(x) = 2(x, – 4) 2(\,… + 2) với mọi n. X, -2 Do đó f(x) = 2(x1 +2), f(x) = 2(x2 + 2),…, f(x) = 2(x + 2),…. Từ (1) suy ra limf(x) = lim2(x + 2) = 2(limx + 2) = 2(2 + 2) = 8. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là 8 khi x dần đến 2.Một cách tổng quát, ta cóĐINH NGHIA 1Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm xo và flà một hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{\o}. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến xo (hoặc tại điểm xo) nếu với mọi dãy số (x) trong tập hợp (a; b) \{\0} (tức là X, e(a; b) và X, z \0 với mọi n) mà lim\,= \0, ta đều có lim/{\,,) = L.Khi đó ta viếtlim f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → \0, x→x0 Ví dụ 1. Tìm lim (xcos +) x-0 Gidi Xét hàm số f(x) = x cos Với mọi dãy số (x,) mà x, z 0 với mọi n vàlim x, = 0, ta có f(xn) = *芒· Vi|/(,)|=1 cos < |\,| và lim|\,|= 010, DAlsó&GT11 (NC)-Bnên lim f(x) = 0. Do đólim f(x) = lim (cos) = 0. D x-0 x-0面n m 1 + y -1 x- ܂ Nhận xét. Áp dụng định nghĩa 1, dễ dàng chứng minh được rằng: a) Nếu f(x) = c với mọi x = R, trong đó c là một hằng số, thì với mọi \o e R, lim f(x) = lim c = c. x-xo x-xo b) Nếu g(x)=x với mọi x = R thì với mọi xo e R, lim g(x) = lim x = 0. x - so x - so b). Giới hạn vô cựcGiới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Chẳng hạn, lim f(x) = + ơo có nghĩa x-solà với mọi dãy (xn) trong tập hợp (a; b) \{\0} mà lim_\, = \0, ta đều có lim f(x,,) = + oO. - 3. Ví dụ 2. Tìm lim エーエ・ (1 - x) 1ي-xGiải. Xét hàm số f(x) =( - Với mọi dãy số (xn) mà x, z. 1 với mọi n Y -và lim x = 1, ta cóf(x)=, Vì lim3 = 3 > 0, lim(x, – 1)” = 0x,-1) và (x, – 1)” > 0 với mọi n nên lim f(x) = +9o. Do đó – 3I = lim – = +lim f(x) OO2. Giới hạn của hàm số tại vô cực Giới hạn của hàm số tại vô cực (khi x dần đến +ơo hoặc –ơo) được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số tại một điểm.147ĐINH NGHIA 2 • Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a ; +ơo). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +ơo nếu với mọi dãy số (\,n) trong khoảng (a ; +2O) (tức là X, P. a với mọi n) mà lim\,= +oo, ta đều có limf(x) = L. Khi đó ta viết lim f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → +ơo. V—» +-oo Các giới hạn lim f(x) = + CO, lim f(x) = — oo, lim f(x) = L, – ho — —lim f(x) = + CO và lim f(x) = – OO được định nghĩa — . ܝy -orotương tự. Ví dụ 3a) lim l = 0, vì với mọi dãy số âm (xn) mà lim_\,== oo, ta đều có 17. oܗܝ ܟܝ .lim = 0. 1/ 0ا۔ b) Tương tự, ta có lim 1. = 0. D 1. oܗ+ ܟ-r܂ Nhận xétÁp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, có thể chứng minh được rằng: Với mọi số nguyên dương k, ta cók : : |+ơo nếu k chẩn۔۔ ۔۔۔۔ a) lim x* = + ClO ; b) lim x’ = 1 -y +.. O –old —o nếu k lẻ c) lim — 0: d) lim = 0. — ho ar.’3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn Áp dụng các định lí về giới hạn của dãy số, có thể chứng minh được các định lí sau đây về giới hạn của hàm số. 148ĐINH LÍ1Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M (L, Mie R). Khi đó x-so x→w0a) lim f(x) + g(x) = L + M,x—»xo b) lim f(x) = g(x) = L-M;a-so c) lim f(x) g(x) = LM;x-so Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì lim [c f(x)} = cL;x-so f(v) Ld) Nếu M+ 0 thì lim 4534 = + : ) Nếu M20 thì Jim gặ= };Để dễ nhớ, ta nói Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương, giới hạn của mẩu phải khác không). Định lí 1 vừa nêu và định lí 2 tiếp theo vẫn đúng khi thay x → \0 bởix → +ơo hoặc x → –oo.Nhận xét Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số thì với mọi \o e R, ta cólim ax’ = lim a lim x. lim v. lim x = a( lim r)* = axó. x – so x – so *0 x – so x —» xo –ܝܪk thừa só Ví dụ 4. Tìm 2 – a) lim (x – 5x +7); b) n, A-2 – x→-1 x” + x Gidia) Ta có lim (xo–5x”+7) = lim x* – lim (5x”) + lim 7 x→2 x -2 x-2 x→2 = 2-5.2 +7=-5. 1492 – b) vir-1.aco – – + “ט.x(x + 1)Do đóm – n — Dx→-1 x” + x x —»—1 X2 H2Tim lim 2ー二* サlA 1.u -y -1 x + 2 x܂ 2x = x + 10Ví dụ 5. Tìm lim 3. x→+の x”+3xー3Gidi Chia tử và mẫu của phân thức cho x” (\o là luỹ thừa bậc cao nhất của x trong tử và mẫu của phân thức), ta được2 102 |- x + 10 \,\!– với mọi x z 0.x + 3 x -3 1 + -Vì lim – – lim 2 lim 부 – lim 10. X” x 2 3.Y-○○ x→+x x x→+x x x→+? x … 1 1 1 = 2 lim — lim – + 10 lim – x→+x x x→+x x .ן-+ + Crכ= 2.0-0 + 10.0 = 0,và lim 블 = 1 nên theo định lí 1. d), ta có 20 ܐ+ y- 12 in – At 100 – 0. D * x”+3xー3 l4 3 H3 Tim lim 2x + v.sov – 2 – 7ĐINH Lí 2Giả sử lim f(x) = L. Khi đó x – so a) lim f(x) = L; – so b) lim Nf(x) = NL: a- ac). Nếu f(x) > 0 với mọi x = J\{\0}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa \0, thì L>0 và lim Vf(x) NL. x – »vo4. 3. Ví dụ 6. Tìm lim x-co V” + 2 – 7Gidi“— v-3 l v. * — v3 l v. Vì lim_o = 2 nên lim Joo” ; = \5. D x —» —oro x” + 2 x ́ — 7 .–0 \” + 2)” – 73. Tim lim | 7. và lim Wx° +7x. 1- ܟܝ ܂ 1- u -y܂Câu hủi và bài tập 21. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau:a) lim .r-» -1x -3.x-4 b) lim – x + 1 vi 5-y 22. Cho hàm sốf(x) = cos: và hai dãỷ số (x)), (W) với A. = 1 1 = – 冗 (2n+1); – a) Tìm giới hạn của các dãy số (x)), (A’), (f(x)) và (f(x))).b) Tồn tại hay không lim cosl 0ܟ- 115123. Tìm các giới hạn sau:a) lim(3x +7x + 11); x-2 1 c) lim s – A-0e) limir’ – 4: 24. Tìm các giới hạn sau: 3.x -x +7a) lim x”. 2x* -1Wx”+ 2c) lim T. x —»+oo 3r-125. Tìm các giới hạn sau:2. a) lim — V8, – x + 3b) n-F- : x-1 (2 x – 1)(x”-3) Vix -3 .d) lim– ; 99-yf) lim x’ + 3x – 1. 2V 2 – 14 – 3 b) lim 2x” +7x -15–Od A +16 d) lim N*”t°.a 3x-1b) lim x→+?x*ー x +2CÁC ĐINH LÍKEPVAĐINHLÍVÊĐIÊU KIÊN TÔNTAIGIỞ HAN HỨU HAN CỦA DẤY SỐ TẢNG HOẢC GIẢMTrong bài này ta sẽ đề cập đến một vài định lí quan trọng trong lí thuyết giới hạn, được sử dụng nhiều trong lí thuyết cũng như trong thực hành.1. Các định lí kẹpTa nhắc lại một định lí ở đầu chương: Cho hai dãy số (u,..) và (v). Nếu |u,|< V, vớimọi n và lim Vn = 0, thì limu, = 0.152Đó là một trường hợp riêng của định lí sau: Định lí 1 (Định lí kẹp về giới hạn của dãy số) Cho ba dãy số (u, ), (vì) và (w). Nếu u, < \, s wn. Với mọi n (1) và limu, = lim wn = L (Le R) thì lim vn = L. Chứng minh. Từ (1) suy ra 0 < V. - u, < wn - u, với mọi n. Vì lim (wn - un) = lim wn - limu, = L - L = 0, nên lim (v) = u,)=0. Do đó lim vn = lim[(V, ... u...)+ u,]= lim (V, ... u...)+limu, =0+ L=L. Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy số (u,..) với 1 1 1-- Giải. Với mỗi số nguyên k mà 1 < k < n, ta có 1 sDo đó= 1, do đó limu, =1, D vno. 1Từ định lí 1 và định nghĩa giới hạn của hàm số ta suy raDễ thấy limĐịnh lí 2 (Định lí kẹp về giới hạn của hàm số) Giả sử J là một khoảng chứa \0 và f. g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp J\{\o}. Nếu f(x)< g(x)< h(x) với mọi x =J\{x0} và lim f(x) = lim h(x)=L x→xo x-vo thì lim g(x) = L. x→xoÁp dụng định lí 2, người ta chứng minh được định lí sau: Định lí 3lim sin x = 1.X-0 Chứng minh Vì x + 0 nên ta chỉ cần xét x trong một khoảng nào đó chứa điểm 0, chẳng hạn e. (3:3) Và Y = 022 -153• Trước hết giả sử \ = (0:5) Trên đường tròn T lượng giáC, ta đặt Cung AM c6 sర do bằng Y rad. Tia OM cắt trục tang tại điểm T (h.4.7). Ta có diện V tích A OAM < diện tích hình quạt OAM < diện tích O A. A 0AT, tức là. Sin x < x < tan A.2 2 -Hiրի 4, 7Vixe (o nên sinx > 0 ; do đó chia các vế của các bất đẳng thức trên cho-in \, ta được1 0. Với re(0:5) nên từ (1) suy raCOS N

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!