Đường thẳng Vuông góc với mặt phẳng –

Trong thực tế, hình ảnh của sợi dây dọị vuông góc với nền nhà cho ta khái niệm về sự vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng.I. ĐINH NGHÎAĐường thẳng d được gọilà vuông góc với mặtphẳng (C) nếu d vuông / góc với mọi đường thẳng །ཛ། a nằm trong mặt phẳng(O) (h.3.17).Khi d’ vuông góc với (CZ) ta còn nói (C) vuông góc với d, hoặc d và (CZ) vuông góc với nhau và kí hiệu là d |(CZ).Hình 3.17II. ĐIÊU KIÊN ĐÊ ĐƯờNG THẢNG VUÔNG GỐC VỞI MặTPHÂNGĐịnh lí Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phäng dу.Câứng minf Giả sử hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (O) là a, b lần lượt có các vectơ chỉ phương là m, fi (h.3.18). Tất nhiên khi đó m và ĩ là hai vectơ không cùng phương. Gọi C là một đường thẳng bất kì nằm trong mặt phẳng (C) và có vectơ chỉ phương Ð. Vì ba vectơ m, rĩ, p đồng phẳng và 7. Tỉ là hai vectơ không cùng phương nên ta có hai số Y và y Sao cho p = xm + yї. Gọi tỉ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì d || a và d + b nên ta có tỉ m = 0 và tỉ.ĩ = 0. Khi đó ü.p = й.(xm + yї) = x.й.m + yії.ї = 0. Vậy đường thẳng d vuông góc với đường thẳng C bất kì nằm trong mặt phẳng (C) nghĩa là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (O). Hዘrገh 3.18 Hệ quả 5. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.A. Muốn chứng minh đường thẳng d Vuông góc với một mặt phẳng (C), người ta phải làm như thế nào ?A2 Cho hai đường thẳng a và b Song song Với nhau. Một đường thẳng d Vuông góc vớia và b. Khi đó đường thẳng d có VuÔng góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thăng song Song a Và b không ?III. TÍNH CHẤT Từ định nghĩa và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có các tính chất sau:Tính chốt 1Có duy nhất một mặt O phẳng đi qua một – điểm cho trước vàvuông góc với một đường thẳng cho trước (h.3.19).dHዘrገh 3.19Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳngNgười ta gọi mặt phẳng đi qua trungđiểm I của đoạn thẳng AB và vuônggóc với đường thẳng AB là mặt phẳngtrung trực của đoạn thẳng AB .3.20).Tĩnh chốf2 o Có duy nhất một | đường thẳng đi qua O | một điểm cho trước vàvuông góc với một mặt phẳng cho trước (h.3.21).Hዘnh 3.21Hình 3.20 IV. LIÊN HÊ GIỦA QUAN HÊ SONG SONG VẢ QUAN HÊ VUÔNG GóC CỦA ĐƯỞNG THẢNG VẢ MATPHẢNG Người ta có thể chứng minh được một số tính chất sau đây về sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song của đường thẳng và mặt phẳng. Tĩnh chốf 1 | a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia (h.13.22). b) Hai đường thẳng phânbiệt. Cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song Song với nhau.al hTĩnh chốf2 Hình 3.22a) Cho hai mặt phẳng Song song. Đườn al thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì Cũng vuông góc với mặt phăng kia (h.3.23).b) Hai mặt phẳng phân biệt / Cùng vuông góc với một /6) đường thẳng thì song Song với nhau (h.3.23). Hirገh 3.23Tĩnh chốf3 かmặt phẳng (C) song フ Song với nhau. Đườngthẳng nào vuông gócvới (O) thì cũng vuông góc với a (h.3.24). b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì Chúng song song với nhau (h.3.24).Hዘnh 3.24101 Ví dụ J. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).a) Chứng minh BC || (SAB). b). Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH || SC.P.Sa). Vì SA || (ABC) nên SA || BC (h.3.25). Ta có BC || SA, BC || AB. Từ đó suy ra BC |(SAB).b). Vì BC || (SAB) và AH nằm trong (SAB) nên BC || A.H. Ta lại có AH || BC, AH || SB nên AH |(SBC). Từ đó suy ra AH || SC. Hình 3.25V. PHÉPCHIÊU VUÔNG GỐC VẢ ĐINH Lí BA ĐƯỞNG VUÔNG GỐC 1. Phép chiếu vuông góc Cho đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng NB (C). Phép chiếu song song theo phương của A lên mặt phẳng (C) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (C) (h.3.26).Nhận xét. Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép ^ A. R chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu Song song. Chú ý rằng người Hình 3.26 ta còn dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng (C)” thay cho tên gọi “phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (C)” và dùng tên gọi -77 là hình chiếu của 77 trên mặt phẳng (C) thay cho tên gọi 7/” là hình chiếu vuông góc của 7 trên mặt phẳng (C).2. Định lí ba đường vuông góc | Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (ø) và b là đường thẳng không thuộc (O) đồng thời không vuông góc với (O). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (CZ). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’. Câứng minh Trên đường thẳng b lấy hai điểm A, B phân biệt sao cho chúng không thuộc (C). Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (CZ). Khi đó hình chiếu b’ của b trên (O) chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B'(h.3.27).Vì a nằm trong (C) nên a Vuông góc với AA”.- Vậy nếu a vuông góc với b thì a Vuông Hình 3,27 góc với mặt phẳng (bo. b). Do đó a vuông góc với b’.- Ngược lại nếu a vuông góc với b° thì a vuông góc với mặt phẳng (b’, b). Do đó a vuÔng góc với b. 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳngĐịnh nghĩa | Cho đường thẳng d và mặt phẳng (O). Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (C) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (C) bằng 90°. Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (C) thì góc giữa d và hình Chiếu d” của nó trên (CZ) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (O).Khi d không vuông góc với (O) và d cắt (O) tại điểm O, ta lấy một điểm A tuỳ ý trên d khác với điểm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (CZ) và (2 là góc giữad và (O) thì AOH = (2 (h.3.28). Chú ý. Nếu (2 là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (C) thì ta luôn có 0° < p < 90°.Hình 328Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = a N2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).103 a) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên các đường thẳng SB và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AMN).b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). - P- Sa) Ta có BC || AB, BC || AS, suy ra BC || (ASB). Từ đó suy ra BC || AM, mà SB || AM nên AM -L (SBC). Do đó AM || SC (h.3.29). Tương tự ta chứng minh được AN || SC. Vậy SC || (AMN). Do đó góc giữa SC và mặt phẳng B (AMN) bằng 90°. +ብnh 3,29 b) Ta có AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên SCA là góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD). Tam giác vuông SAC cân tại A có AS=AC=a N2. Do đó SCA = 45°,BẢI TÂP1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (CZ). Các mệnh đề sau đâyđúng hay sai ?a). Nếu a // (O) và b |(O) thì a Lib.b) Nếu a // (CZ) và b || a thì b |(CZ).c). Nếu a // (CZ) và b // (CZ) thì b//a.d) Nếu a + (O) và b || a thì b // (CZ). 2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnhđáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (AD1).b). Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc vớimặt phẳng (BCD).3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA=SB=SC=SD. Gọi Olà giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD);104 Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) H là trực tâm của tam giác ABC.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Đường thẳng Vuông góc với mặt phẳng

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!