Giới hạn của dãy số –

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.Như vậy, (un) có giới hạn là 0 khi n → +o nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là m đủ lớn. – – – (-1)” Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với un = .Biểu diễn (un) trên trục số (h.47):-1 113 us ա4 ዞ2 i i”, i 1. i 9 25 16 4. ‘ulo – do Hình 47Người ta chứng minh được rằng lim u, = 0, nghĩa là Ju, có thể nhỏ hơn /1→ +OOmột số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.Chẳng hạn :|un||0,01 hay lu, 嵩( -với mọi n thoả mãn ท* > 100 hay n > 10. Nói cách khác, lu,| < 0,01 kể từ số hạng thứ 11 trở đi. Tương tự,1 100000|un|| < 0,00001 hay |un|| ከ với mọi n thoả mãn n” > 100.000 hay n > N100 000 s:316.2. Vậy lu,| < 0.000 01 kể từ số hạng thứ 317 trở đi.ĐINH NGHIA 2 Ta nói dãy số (yn) có giới hạn là số a (hay vì dần tớia) khi n → +ơo, nếu lim (vn - a) = 0. ዘገ → +CCKí hiệu: lim v) = a hay vn-> a khi n → + CO. JIー>+○○8-ĐAI số , GIẢI TÍCH 11-A 113Ví dụ 2. Cho dãy số (yn) với vn 2n + 1 . Chứng minh rằng lim vn *1-*+○○Giải. Ta có lim (vn – 2) = lim + 1 -) o m →÷oC –oolim 1. = 0.n-» +oo / 2n + 1Vậy lim vn = lim = 2. — ho –h2.Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau : a) lim l = 0 .– » +oo V7lim = 0 với k nguyên dương: n—» +oronb) lim q” =0 nếu lạ| < 1 ; ከ → +OOc) Nếu un = C (c là hằng số) thì lim u, = lim c = c. -- ho - ho CHÚ ÝTừ nay về sau thay cho lim un = a, ta viết tắt là limum = a. JI-*+○○II - ĐINH LÍ VÊ GIỞI HAN HỨU HANViệc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên người ta thường áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí sau đây mà ta thừa nhận. ĐINH Lí 1 a). Nếu limum = a và lim vn = b thìlim(u, + v) = a + b * lim (un — v) = a - b* lim(u,...v) = a.b • lim"n = 3 (nếu b+0). ve bb) Nếu un > 0 với mọi n và limum = a thìa >0 và lim Nu, = Na.114 8-ĐAI SỐ & GIẢI TÍCH 11-B2 Ví dụ 3. Tìm in-공 1 +2 3— Giải Chia tử số và mẫu số cho n”, ta được 3. ዘገ 1 + n, 부부-1 Vì im-= limਤੇ -lin = 3-0 = 3 Iገ – 1 1 . 1 … 1 – và lim | — + 1 | = lim •. lim – + lim1 = 0.0 + 1 = 1 hገ ከ 1 – 1 2 3 – – – im(3-) mêm limo” ” = lim 1 Iገ –뉴–3 1 + n … + 1 m – ) ከ ከ Iገ m | 2 Ví dụ 4. Tìm lim\} **. 1 – 2n 2 1 是…} Giải. Ta có limY!” “ = lim\,\”)4 1 – 2n 1 – 2n 1 1 n — +4 — +4 2 2 = lim = lim – ! = 2 = -1 1 1 -2 n- -2 – -III – TÔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LỦI VÔ HAN• Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.Chẳng hạn, hai dãy số sau là những cấp số nhân lùi vô hạn:1 - Dãy số >, y so보. 보. .. … với công bội q = 1. 48 2″ 21151 1 1 Y- 1 , –, –, -, …, — , … Với công bội q = —. 9 (- g Do q = -Vì lạ| < 1 nên lim q” = 0. Từ đó ta cólimS = inGiới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) và được kíhiệu là S= l{1 + H2 + u2 +...+ un +... Như vậyS=- (M< 1) - q1 Ví dụ 5a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với un = 3n-1 b) Tính tổng 一号一器--凯十, 2 4 28 Giaii a) Vì u,= + nên u = }.., q = }. Do đó ვn 3. 3 1. --------- -b) Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1,IV - GIỐI HAN VÔ CƯC1. Định nghĩa2汽。 nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn. Gọi ut là bề dày của một tờ giấy, u2 là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, ua là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, ..., un là bề dày của một chồng giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy, ta Có được dãy số vô hạn (un). Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm)//ình 48 của một số chồng giấy. Lባ1 י"י || 1000000000}} | "יי || 1000000י 1 ''' 1 1000" | "יי Ար - - - 0.1 ! ... 100 ... 100 000 ... IOOOOOOOO ... fa) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của u, khi n tăng lên vô hạn. b). Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng ? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384 000 km hay 384.10' mm).(Ta cũng chứng minh được rằng u, = f có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, dãy số (u,..) nói trên được gọi là dần tới dương vô Cực, khi n → +oo).117 2.ĐINH NGHIA* Ta nói dãy số (un) có giới hạn +2O khi n → +ơo, nếu u, có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.Kí hiệu: limum = +ơo hay u, → +ơo khi n → +ơo. • Dãy số (un) được gọi là có giới hạn –CO khi n → +ơo nếu lim(— u,) = +oO.Kí hiệu: limum = –CO hay u, →-2O khi n → +ơo.NHÂN XÉT limи, = + o to lim(- и, ) = - o.* Ví dụ 6. Cho dãy số (un) với un = no.Hình 49 cho một biểu diễn các số hạng của (un) trên trục số.it,Hình 49 Biểu diễn hình học này cho thấy, khi n tăng lên vô hạn thì u, trở nên rất lớn. Hơn nữa, người ta chứng minh được rằng limu) = +ơo, nghĩa là u, có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, u,> 10.000, hay n” > 10.000 khi n > 100. Vậy u, > 10 000 kể từ số hạng thứ 101 trở đi. 20 2 20, . . 10Tương tự, un > 10° hay n” > 10° khi n > 10°. Vậy u, > 10° kể từ số hạng thứ 10″ + 1. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau :a) limno = +2 với k nguyên dương:b) lim q” = +ơo nếu q > 1.1183. Định lí Ta thừa nhận định lí dưới đây. ĐINH Lí 2a) Nếu limu, = a và lim vn = +2, thì limon = 0. Vn b) Nếu limum = a > 0, lim vn = 0 và Vn = 0 với mọi n thì lim “n. ニ十○○。 Vnc) Nếu limu) = +2O và lim vn = a > 0 thì limu, vn = +oo.Ví dụ 7. Tìm limo” – . 5 2 + – Giải. Chia tử và mẫu cho n, ta được 2n + 5. n.3″ ვ” Vì im(2 — = 2 và lim.3”= +ơo nên 2 + – limit = lim n = 0. 2. ვ”Ví dụ 8. Tìm lim (n” – 2n-1). Giải. Ta có n” – 2n-1 = n — 17Vì limn” = +2) và im( 一器一是川 = 1 > 0, nên п п m(—– hi inVậy lim (n” – 2n − 1) = +2, = 119B. A. I ĐQ C TH Ê M QUAY VÊ NG H|CH Lf ZÊ-NÔNGSau khi đã học về giới hạn của dãy số, ta có thể giải thích như thế nào về nghịch lí “A-sin không đuổi kịp rùa” ? Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự). Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1 km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A cách A-sin 100 km (h.50).Hình 50 Ta tính thời gian A-sin đuổi rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A2, …, An-1A, … Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa. Để chạy hết quãng đường OA1 = 100(km), A-sin phải mất thời gian t1 = 器 = 1(հ), Với thời gian tị này, rùa đã chạy được quãng đường AIA2 = 1(km).Để chạy hết quãng đường AIA2 = 1(km), A-sin phải mất thời gian t2 = 志” Với thời gian 12 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3 = (km).1.Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường A-4An = 00-2 100″(km), A-sin phải mấtthời gian tu = 100′(հ),Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A243,…, An-1An,… là “1 +.++. (h)T = 1 + … “…is 100 100 100″1001.2.3.Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội *志 nên ta. Có100 1 T = — = =1–(h). 亡斋-崎” 100Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau giờ.Kết quả trên (đạt được nhờ áp dụng khái niệm giới hạn) cho phép giải thích nghịch lí của Zê-nông.Bời tộpCó 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người (T được gọi là chu kì bán rã).Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (u,..).b) Chứng minh rằng (u,..) có giới hạn là 0.c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chấtphóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biếtchất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ cònlại bé hơn 10 “g.Biết dãy số (un) thoả mãn и, – 1. với mọi n. Chứng minh rằng 1.limu, = 1.Tìm các giới hạn sau :а) limo” 1 b) im” | P = *공 호. 3.n + 2 2n + 13″ +5.4″c) lim-H ; d) lim- H-. 4 + 2 4 – 2121Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51). Hình 51 Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn. a) Gọi u, là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u2 và u, b) Tính lim S, với S, = u1 + u2 + u3 +…+ u, 5. Tính tổng S = -1 + 1 = -1 = + ….. + (-1) +- … 10 102 10′- 6. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1.020 202… (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số. 7. Tính các giới hạn sau: a) lim(n + 2n – n + 1); b) lim (-n’ + 5n – 2); c) lim ー” d) lim(Vn-n + n). 8. Cho hai dãy số (un) và (yn). Biết lim u, =3, lim v) = +ơo. Tính các giới hạn : a) lim Зи, — 1 b) lim Yn + 2} un + 1 – 1122

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Giới hạn của dãy số

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!