Góc và cung lượng giác –

Ta đã có khái niệm góc giữa hai tia chung gốc mà người ta còn gọi là gốc hình học. Trong bài này, ta sẽ xây dựng khái niệm góc lượng giác liên quan chặt chẽ với góc hình học. ĐINH NGHIA Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian, gọi tắt là Cung 1 radian. Góc ở tâm chắn Cung 1 radian gọi là góc có số đo I rađịan, gọi tắt là góc 1 radian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Η2 Để hình dung góc 1 rad người ta quẩn đoạn dây dài bằng bán kính đường trònquanh đường tròn đó (h.6.1). Hãy làm điều trên và đo xem góc 1 rad xấp xỉ bằng bao nhiều độ. R• Xét các cung của đường tròn bán kính R. Vì cung tròn có độ dài bằng Rthì có số đo 1 rad nên: – Toàn bộ đường tròn (do có độ dài bằng 2.ItR) có số VADđo rađian là 2-2.- Cung có độ dài bằng 1 thì có số đo rađian là IR Vậy cung tròn bán kính R có số đo a rađian thì có độ dài Hình 6,1 và khi R= 1 (tức là trên đường tròn đơn vị) thì độ dài cung tròn bằng số đo rađian của nó. • Bây giờ, ta xét quan hệ giữa số đo rađian và Số đo độ của cùng một cung tròn. Giả sử cung tròn có độ dài l. Gọi a là số đo rađian và a là số đo độ của cung đó, Khi đó, theo các công thức về độ dài cung, ta có TOI I = R = TI-R,180 Suy ra180 Vậy cung có số đo 1 rađian thì có số đo độ là 180, tức là TL80o 1 rad= । is 57°17’45”. Л. Cung có số đo 1 độ thì có số đo rađian là tức là 1 = rads 0.0175 rad. 180 185 2.186CHÚ Ý Vì tính chất tự nhiên và thông dụng của rađian, người ta thường không viết chữ rađịan hay rad sau số đo của cung và góc, chẳng hạn통 rad cũng được viết là 풍GHINHỞ Bảng chuyển đổi số đo độ và số đo rađian của một số cung tròn| Độ 30° 45° 180°270’360’TITI TIL 3爪4 3 2 2120°| 135°|150°27t 3.60′ 90’3.л 4.Radian 冗 2π.Góc và cung lượng giác Khái niệm góc và cung lượng giác gắn chặt với việc quay quanh một điểm trong mặt phẳng.a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng• Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ (và chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm) (h.62).vAymHình 6,2 Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì ta nói tia Om quay góc 360° (hay 2It rad), quay đúng hai vòng thì nói nó quay góc 720° (hay 4It rad), quay theo chiều âm nửa vòng thì nói nó quay góc −180° (hay –Tt rad), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy (tức vòng) thì nóinó quay góc 360° (hay -rad) — • Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ow thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia đẩu Ou, tia cuối Ov. Khi quay như thế, tia Om có thể gặp tia Ov nhiều lần, mỗi lần ta được một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Do đó, cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) tia đầu Ou, tia cuối Ow. Mỗi góc lượng giác như thế đều được kí hiệu là (Ou, Ov). Khi tia Om quay góc a” (hay a rad) thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo a” (hay a rad). Như vậy:Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đẩu Ou, tia cuốiOv và số đo độ (hay số đo rađian) của nó. Ví dụ 2. Trên mỗi hình 6,3 a), b) đều có biểu diễn góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 150°. a) Góc thứ hai trên hình 63 a) có được do tia Om quay tiếp theo chiều dương hai vòng nữa nên có số đo 150° + 2.360° (= 870°). b). Góc thứ hai trên hình 63 b) có được do tia Om quay theo chiều âm từ Ou đến trùng Ov lần đầu tiên nên có số đo –(360°-150°)=150°–360°(=–210°). Nếu cho tia Om quay tiếp một vòng nữa theo chiều âm thì được góc lượng giác (Ou, Oy) có số đo 150° – 2.360° (=-570°).(N 50°a) 150′ +2.360 = 870′ b) Hình 6-3|H3. Trên hình 64 có ba góc lượng giác(Ou, Ow), trong đó một góc có số đoHỏi hai góc lượng giác còn lại có số đo bao nhiêu ? Hình 64187 Tổng quát: Nếu một góc lượng giác có số đo a” (hay a rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng a”+ k360° (hay &+ k2.It rad), k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k. Ví dụ 3. Giả sử góc hình học uOv trên hình 6,5 có số đo 60°. Khi đó dễ thấy các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Oy có số đo 60° + k360°, còn các góc lượng giác tia đầu Ow, tia cuối Ou có số đo —60° + k360° (k e Z). OHình 6,5CHÚ Ý Không được viết a”+ k2.It hay & + k360° (vì không cùng đơn vị đo).b) Khái niệm cung lượng giác và số đo của chúng• Vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn đó. Chiều quay của tia Om cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn: chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ như ở hình 6,6. Đường tròn với chiều di động đã được chọn như thế gọi là đường tròn định hướng.Hình 6,6 Gọi giao của các tia Ou, Ov nói trên với đường tròn đó là U và V. Khi tia Om quét nên góc lượng giác (Ou, OV) thì điểm M chạy trên đường tròn luôn theo một chiều từ điểm U đến điểm. V. Ta nói điểm M vạch nên một cung lượng giác 188 mút đầu (điểm đầu). U. mút cuối (điểm cuối) V, tương ứng với góc lượng giác (Ou, Ov). Vậy hai điểm U và V trên đường tròn định hướng xác định vô số cung lượng giác (họ cung lượng giác) mút đầu U. mút cuối V, cùng được kí hiệu là Մy:ܢ¬ܐ2 * Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou, Ow) là số đo của cung lượng giác UV tương ứng. Từ đó:Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác được xác định bởi mút đầu, mút Cuối và số đo của nó. Nếu một cung lượng giác UV có số đo a thì mọi cung lượng giác cùng mút đầu U, mút cuối V có số đo dạng a + k2.It (k = 7); mỗi cung ứng với một giá trị của k, Nếu oz là số đo của cung lượng giác UV vạch nên bởi điểm M chạy trên đường tròn theo chiều dương từ U đến gặp V lần đầu tiên thì 0 < & c. 27t và a chính là số đo củacung tròn (hình học) {n! (h.6.7).Hình 6,73. Hệ thức Sa-lơ• Ta đã biết, độ dài đại số AB của vectơ AB trên trục số OA (với vectơ đơn vị i) là số xác định bởi AB = (AB)ỉ. Khi đó, với ba điểm tuỳ ý A, B, C trên trục số, từ AB + BC = AC suy ra đẳng thức số AB + BC'=AC gọi là hệ thức Sa-lơ về độ dài đại số. Ta thừa nhận một hệ thức có dạng tương tự gọi là hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác:Mi-sen Sa- Với ba tia tuỳ ý Ou, Ow, Ow, ta có (Michel Chasles 1793 — 1880)|sdicou, ov) + sdcov, Ow) = sd(ou, Ow) + k2rt (k ez). Đó là một hệ thức q ộng trong tính toán về số đo của góc lượng giác. Từ hệ thức trên suy ra: Với ba tia tuỳ ý O\, Ou, Ow, ta có sd(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) - sd(Ox, Ou) + k2nt (ke Z).189 123.4.5190Ví dụ 4. Nếu một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo và một góc lượnggiác (O, O) có số đo Î thì mọi góc lượng giác (Ou, O) có số đo -2 (k e Z). O• Đối với các cung lượng giác, ta cũng có hệ thức Sa-lơ: Với ba điểm tuỳ ý U, V, W trên đường tròn định hướng, ta có A> صبر sd’+sd’= sd ീ+ 2f (i = z).Câu hủi và bài tập Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? a) Số đo của cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó. b) Độ dài cung tròn tỉ lệ với số đo của cung đó. c) Độ dài cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó. d) Nếu Ou, Ov là hai tia đối nhau thì số đo của các góc lượng giác (Ou, Ow) là (2k + 1)ft, k = Z. Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện TP. Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét ? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ. Điền vào các ô trống trong bảngSó do độ || -60° -240′ 3100′ radian 4 3. 5a). Đổi số đo độ của các cung tròn sau thành số đo rađian (chính xác đến hàng phần nghìn) 21°30′ và 75°54′. b) Đổi số đo rađian của các cung tròn sau ra số đo độ (chính xác đến phút): 2.5 rad và 2. rad (có thể dùng máy tính bỏ túi, xem bài đọc thêm).ЛТ Coi kim giờ đồng hồ là tia Ou, kim phút là tia Oy. Hãy tìm số đo của các góc lượng giác (Ou, OV) khi đồng hồ chỉ 3 giờ, chỉ 4 giờ, chỉ 9 giờ, chỉ 10 giờ.6.Chứng minh rằng:S S SqqqSSSS SS 10爪 227 . . . . a) Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là Và thì có cùng tia cuối ; b) Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là 645° và −435° thì có cùng tia cuối. 7. Tìm số đo a”, -180 < a < 180, của góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc trên mỗi hình sau (h.6.8):300° -420P Ο III Ο II — 180° -120° Hinih 6.8 Luyệm tập8. Cho ngũ giác đều AợA1A2A3A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắpxếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo (độ và radian)của các cung lượng giác 1. 1A (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, #j). 9. Tìm góc lượng giác (Ou, OV) có số đo dương nhỏ nhất, biết một góc lượnggiác (Ou, Ow) có số đo:a)-90'; b) 1000'; c) : d) 一署 10. Tìm số đo rađian (x, – Tt < 0 < It, của góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuốivới góc trên mỗi hình sau (h.6.9):4n 57. 2. 3. l ́5rt 4.Hình 6,9 11. Chứng minh rằng hai tia Ou và Ov vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc lượng giác (Ou, OV) có số đo (2k + 1). ke Z.191Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí tia Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau khoảng thời gian 1 giờ (t lấy giá trị thực không âm tuỳ ý), kim giờ đến vị trí tia Ou, kim phút đến vị trí tia Ow. a) Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo -r kim phút quét góc lượng giác (Ox,Oy) có số đo −27tt. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou, OV) theo t. b) Chứng minh rằng hai tia Ou và Oy trùng nhau khi và chỉ khi t = vi k = 0, 1,2,3,... c) Chứng minh rằng trong vòng 12 giờ (0 < 1 < 12), hai tia Ou và Oy ở vị trí hai tia đối nhau khi và chỉ khi t = ck +1) với k = 0, 1, ..., 10.35π.. Hỏi hai góc lượng giác có số đo rađian và 安 (m là số nguyên) có thểcó cùng tia đầu, tia cuối không ?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Góc và cung lượng giác

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!