Hàm số liên tục –

Trong định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm, ta không giả thiết hàm số xác định tại điểm đó. Hơn nữa, nếu hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn (nếu có) và giá trị của hàm số tại điểm đó không nhất thiết bằng nhau. Tuy nhiên với những hàm số thường gặp như các hàm đa thức, các hàm phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác,…, giới hạn và giá trị của hàm số tại mỗi điểm mà nó xác định là bằng nhau. Các hàm số có tính chất vừa nêu đóng vai trò quan trọng trong Giải tích và trong các ngành Toán học khác. Người ta gọi chúng là các hàm số liên tục.2.|H1. Xét tính liên tục của hàm sốf(x)=x tại điểm x=0(h.4.11). Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số x° +1 với x z-1f(x) = 2. Với \ = – 1 tại điểm x = -1. Gidi Ta cóI 2lim f(x) = lim (x° + 1) = 2 và/(-1)= A — —Hình 4.]] Vì lim f(x) z f(-1) nên hàm sốfgián đoạn tại điểm Y = -1 (h.4.12). O *一>-1\ y a. ^ y ܛ 2 η ܐ ܢ ܓ. سمي- [- — — — – ܚܐ 2 -1 Ο 1 Hình 4.12 Hinih 4. || 3|H2]Xét tính liên tục của hàm số 2 . ܟ ܢ f(x) = \“ + 1. Với \| < 1 Y – 1. Với x > 1 tại điểm x = 1 (h, 4.13). Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn ĐINH NGHIA a) Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó. b). Hàm số f xác định trên đoạn [a ; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b). x – a 1 -y h169 Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = Ji-y trên đoạn 1–1 : 1].Giaii Hàm số đã cho xác định trên đoạn E-1; 1).Vì với mọi x,0) = (-1:1) ta cólim f(x) = lim Wi – A = W – \ổ = f(x0), A → Vዐ x – »vonên hàm sốfliên tục trên khoảng (-1:1). Ngoài ra, ta cóHinih 4/4/lim f(x) = lim VI – A = 0 = f(-1) x→(-1)””10-)«- u܂ và lim f(x) = lim Wi-x = 0 = f(1). x- — Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn [-1 ; 1] (h.4.14). O CHÚ Ý:Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [a ; b), (a + b}, [a :+2) và (-20; b] được định nghĩa tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.H3 Chứng minh rằng hàm số f(x) = \|x + 1 liên tục trên nửa khoảng [-1 ; +2) (tức là liên tục trên khoảng (-1, +ơo) và lim f(x) = f(-1)).A —» (—I)” Qua các ví dụ đã xét, chẳng hạn ví dụ 3, ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng hoặc trên một đoạn có đồ thị là một đường ‘liền nét”. Trong Ví dụ 2, hàm số f gián đoạn tại điểm x =-1 ; đồ thị của nó không phải là một đường liền nét. Nhận xét. Từ định lí 1 và nhận xét sau định lí 1 trong N4, dễ dàng suy ra 1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0). 3.2). Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). Ta thừa nhận định lí sauĐINH LÍ1Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cos \, y = tan\, y = cot\ liên tục trên tập xác định của chúng.. Tính chất của hàm số liên tụcĐINH Lí 2 (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]. Nếu f(a) z f(b) thì Với mỗi số thực M nằm giữa fia) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c = (a ; b) sao cho f(c) = M.Ý nghĩa hình học của định lí f(b. = f(x) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và M là một số thực nằm giữa fia) và f(b) thì M NU/ y = M đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ a O C b ፲ ce (a ; b) (h. 4.15).Hinih 4.5HÊ QUẢNếu hàm số f liên tục trên đoạn [a : b] và f{a) f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c = (a ; b) sao cho f(c) = 0.Ý nghĩa hình học của hệ quả Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a)/(b) < 0. Hhì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ C = (a ; b) (h.4.16). Ví dụ 4. Cho hàm số P(x) = a + x -1. Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình P(\) = 0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1. Hinih 4/6171 172GidiHàm số Pliên tục trên đoạn [0:1]. P(0) = -1 và P(1)= 1. Vì P(0)P(1) < 0. nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm C = (0: 1) sao cho P(c) = 0. x = c chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình P(x) = 0. D2. - Cho hàm số f(x) = Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểmc e= (0; 2) sao chof(c) = —0,8.Câu hủi và bài tậpChứng minh rằng:3. a) Các hàm số f(x) = x* - \ +3 và g(x) = 1 liên tục tại mọi điểm A + 1 xi e R. x -3.x + 2 või A # 2 b). Hàm số f(x) = x - 2 1 Với \ = 2 liên tục tại điểm x = 2. 3. - Với \ + 1, c) Hàm số f(x) = { \ - 2 Với \ = 1gián đoạn tại điểm x = 1.. Chứng minh rằng:a). Hàm số f(x) = x* - x° + 2 liên tục trên R :1 Wi -c) Hàm số f(x) = \8 - 2\” liên tục trên đoạn |-2:2];b). Hàm số f(x) =liên tục trên khoảng(-1 ; 1);d). Hàm số f(x) = N.2 Y – 1 liên tục trên nửa khoảng ; + c).48. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:2 a) f(x) = . . ; b) f(x) = 1 + 2 x.2 x + 1 49. Chứng minh rằng phương trình vocos x + x sin x +1 = 0có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0: 7t).Eżż άρα ήδη'TIM GIÁ TRI GÂN ĐÚNG NGHIÊM CỦA PHƯONG TRINHdụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tụ Giả sử hàm số fliên tục trên đoạn [a : b] và f(a), f(b) trái dấu. Khi đó, khoảng (a ; b) chứa ít nhất một nghiệm của phương trình f(x) = 0.Ta sẽ đưa ra một kĩ thuật tìm giá trị gần đúng nghiệm của một phương trình nhờ áp C.Gọi m là trung điểm của đoạn [a; b), tức là m = (1 i b 1. Nếu f(m) = 0 thì m là một nghiệm của phương trình, 2. Nếu f(m) + 0 thì f{m) trái dấu với/{a) hoặc trái dấu vớif{b). a) Nếu f(m) trái dấu vớif{a) thì phương trình có nghiệm nằm trong khoảng (a: m). b) Nếu f(m) trái dấu vớif{b) thì phương trình có nghiệm nằm trong khoảng (m:b). Giả sử xảy ra trường hợp a). Gọi mì là trung điểm của đoạn [a : m], tức là n = t". Ta lại xét giá trịf{m}) như đã làm ban đầu. Tiếp tục quá trình đó, sau một số hữu hạn bước, ta tìm được hoặc một nghiệm của phương trình hoặc giá trị gần đúng của một nghiệm với độ chính xác mong muốn vì các đoạn chứa nghiệm ngày càng "thắt" lại. Ví dụ 1. Hàm số f(x) = -2\° + 7×” + 6Y – 21 liên tục trên R. Vìf{-2) = 11 và f(-1) = -18, nên phương trình -2\\ + 7x° + 6 x - 21 = 0. Có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2: -1). Ta tìm giá trị gần đúng của nghiệm đó theo cách đã nêu.173 174• Trung điểm của đoạn |-2; -]] là -15 : Vì f(-1.5) = -7,5 nên phương trình có nghiệm nằm trong khoảng (–2: -1.5). • Trung điểm của đoạn [–2: -1.5] là -1.75: Vì f{-1,75) = 0,65625 nên phương trình Có nghiệm nằm trong khoảng (-1,75: -1.5). Ta tiếp tục làm như vậy cho đến khi đạt được giá trị gần đúng của nghiệm với độ Chính xác Cân CÖ.Quy tắc thực hành Trong tính toán ta không quan tâm đến các giá trị liên tiếp của f(x) mà chỉ quan tâm đến dấu Của chúng. Vì vậy, ta ghi các giá trị liên tiếp của x trong một bảng gồm hai Cột: Cột + và cột...→ Trong Cột + ta ghi các giá trị của X, tại đó f{\) lấy giá trị dương. → Trong Cột – ta ghi các giá trị của Ý, tại đó /{\) lấy giá trị âm. • Mỗi giá trị tiếp theo của x là trung bình cộng của giá trị sau cùng của cột + và giá trị sau Cùng của Cột – trước nó. o Nghiệm của phương trình nằm giữa giá trị sau cùng của Cột + và giá trị sau cùng của cột...,Chẳng hạn, với ví dụ 1, ta có bảng sau:-- - f(-2) = 11 -2 -1 f(-1) = -18 -15 f—15)=一75 f–1,75) = 0,65625 -1.75 -1,625 f—1625)=一368359375 -16875 st-1,.6875) = -1,5805664063 -1.71875Phương trình Có nghiệm An thoả mãn -1.75 < x 0 gián đoạn tại điểm x = 0. b). Mỗi hàm số või x < g(x) = \\ - 3 và h{\) = -- -- wGi .à ¬ 1 liên tục trên tập xác định của nó. . Giải thích vì sao5 1.a). Hàm sốf(x) = \” sinx – 2 cos”x + 3 liên tục trên R:x + x cos x + sinxb) Hans) =liên tục trên R:52. Chứng minh rằng hàm sốf.A) = x° + x + 3 +(2x + 1) sin x - coso vc) Hàm só h(x) = A"S1T1 Vliên tục tại mọi điểm x z &It, k = 7.A 2 liên tục trên tập xác địnhcủa nó. 53. Chứng minh rằng phương trình x° + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn – 1. 54. Cho hàm số I ܲܦ ܟ f(x) = r Với x = 0 -1 với \ = 0176a) Chứng tỏ rằng f(-1)f(2) < 0. b) Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0, không có nghiệm thuộc khoảng (-1: 2). c) Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục hay không ?$3 ياما CÔ-SI, NHẢ TOÁN HọC LỞNNhà toán học Pháp Cô-si (Cauchy) là một trong những người sáng lập ra Giải tích hiện đại, đồng thời ông cũng có nhiều đóng góp sâu sắc trong các ngành toán học và khoa học khác. Ông đã để lại dấu ấn thiên tài của mình trong nền Toán học thế kỉ XIX. Sinh ở Pa-ri, từ rất sớm ông đã ham mê toán học. Năm mười sáu tuổi ông vào học Đại học Bách khoa Pa-ri và trở thành kĩ sư. Sau đó, ông tham gia xây dựng quân cảng Sec-bua (Cherbourg). Hăng say lao động nhưng sức khoẻ không tốt, ông đành phải trở về giảng dạy Giải tích và Cơ học tại Đại học Bách khoa Pa-ri. Từ thế kỉ XVIII, nhà toán học Thuỵ Sĩ Lê-ô-ma C-le (Leonhard Euler, 1707 - 1783) đã phát triển phép tính vị phân của nhà toán học Anh Niu-tơn (Newton, 1642- 1727) và nhà toán học Đức Lai-bơ-nít (Leibniz, 1646 – 1716). Tuy nhiên, các khái niệm Vô Cực, Võ Cùng bé và Vô Cùng lớn vẫn còn tối nghĩa, không rõ ràng, lập luận còn thiếu chặt chẽAugustin Louis Cauchy 89-1857) Trong giảng dạy, Cô-si quan tâm đặc biệt đến việc định nghĩa các khái niệm một cách chặt chẽ. Nhiều định lí và phương pháp do ông chứng minh và phát minh mang tên ông. Chính ông là người đầu tiên đã trình bày khái niệm giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ như hiện nay đang được giảng dạy trong các trường đại học. Giáo trình Giải tích mà ông giảng dạy và Công bố đã ngay lập tức bị các sinh viên và Các đồng nghiệp phê phán bởi vì nội dung của nó vượt xa mục tiêu đào tạo các kĩ sư tương lai thời đó. Cuộc cách mạng năm 1830 đã làm gián đoạn sự nghiệp của ông. Trung thành với Sác-lơ X (Charles X), ông đã từ chối không tuyên thệ trung thành với Vua Luoi Phi-líp. Đooc-lê-ăng (Louis Philippe d'Orléan), người thay thế Sác-lơ. Ông đã bị đi đày ở Tu-rin, sau đó ở Pra-ha. Tại đây ông đã làm gia sư cho công tước Booc-đô (Bordeaux), cháu của vua Pháp bị phế truất. Trở về Pa-ri năm 1838, tính cố chấp của ông về chính trị đối với chế độ mới đã khiến Ông bỏ lỡ nhiều vị trí công tác mà nhiều người ao ước. Cuộc Cách mạng Cộng hoà năm 1848 đã giải lời thề trung thành cho các công chức. Nhà toán học thiên tài đã hết ưu phiền và nhận ghế Giáo sư Thiên văn - Toán tại Đại học Sooc-bon (Sorbonne). Ông giảng dạy và nghiên cứu ở đó cho đến cuối đời Ông đã có nhiều đóng góp về Giải tích, Đại số, Hình học, Số học, Lí thuyết hàm số phức, Cơ học, Quang học, Thiên văn học,...

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Hàm số liên tục

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!