Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp –

Hoán vị là gì ? Ví dụ 1. Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì các khả năng sau đây đều có thể xảy ra. Kết quả cuộc thi chạy là một danh sách gồm ba người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba. Danh sách này gọi là một hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu}. Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình, Châu} là {a, b, c} thì tập này có tất cả sáu hoán vị là (a, b, c), (a, C, b), (b, a, C), (b, c, a), (C, a,b),(c,b, a). Một cách tổng quát, ta cóCho tập hợp A có n (n > 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).|H1 Cho tập hợp A={a, b, c, d). Hãy viết tám hoán vị của A.b) Số các hoán vị Bài toán đặt ra là: Nếu tập hợp A có n phần tử thì có tất cả bao nhiêu hoán vị của A ? 2.Kí hiệu P là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. Ta cóĐINH LÍ1Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là P = n = n(n-1)(n-2)…l.Chứng minh Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của A là một công việc gồm n công đoạn. Công đoạn 1 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ hai, công đoạn 3 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ ba, …, công đoạn n là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ n. Ở công đoạn 1 ta có thể chọn bất kì phần tử nào trong n phần tử của A nên có n cách thực hiện. Sau khi chọn xong phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, ở công đoạn 2 ta có thể chọn bất kì phần tử nào trong n − 1 phần tử còn lại của A để xếp vào vị trí thứ hai nên có n − 1 cách thực hiện. Tiếp tục như vậy ở bước 3 ta có n = 2 cách thực hiện, …, và ở bước thứ n (bước cuối cùng) ta chỉ còn 1 cách thực hiện. Theo quy tắc nhân, ta có cả thảy n(n − 1)(n − 2). 1 = n! cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có n! hoán vị. D Ví dụ 2. Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan bảy địa điểm A, B, C, D, E, G và H ở thủ đô Hà Nội. Họ đi tham quan theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn B->A → C → E->D -> G-> H. Như vậy, mỗi cách chọn thứ tự các địa điểm tham quan là một hoán vị của tập {A, B, C, D, E, G, H}. Thành thử, đoàn khách có tất cả 71 = 5040 cách chọn. D|H2. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau: ? Chỉnh hợp a) Chỉnh hợp là gì ? Ví dụ 3. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Mỗi danh sách có xếp thứ tự 5 cầu thủ được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu thủ.5758Một cách tổng quát, ta có Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 < k < m. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).|H3! Cho tập hợp A={a,b,c). Hãy viết tất cả các chỉnh hợp chập 2 của A.Nhận xét Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này mà không là phần tử của chỉnh hợp kia, hoặc các phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau. b) Số các chỉnh hợp Ví dụ 4. Trở lại ví dụ 3, hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách 5 cầu thủ. Gidi Huấn luyện viên của mỗi đội có thể chọn một trong 11 cầu thủ để đá quả đầu tiên. Tiếp theo có 10 cách chọn cầu thủ đá quả thứ hai, rồi có 9 cách chọn cầu thủ đá quả thứ ba, rồi lại có 8 cách chọn cầu thủ đá quả thứ tư và cuối cùng có 7 cách chọn cầu thủ đá quả thứ năm. Theo quy tắc nhân, huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có11.10.9. 8.7 = 55440 cách chọn. O Bài toán tổng quát đặt ra là: Cho một tập hợp có n phần tử và số nguyên k với 1 < k < m. Hỏi có tất cả bao nhiêu chỉnh hợp chập k của tập hợp đó ? Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử được kí hiệu là A. -ĐINH LÍ2 Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 < k < J1) là A = n(n-1)(n -2)...(n - k + 1). (1) Chứng minhViệc lập một chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được coi như một công việc gồm k công đoạn. Công đoạn 1 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất. Công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai, ... Công đoạn k làchọn phần tử xếp vào vị trí thứ k. Vì tập hợp có n phần tử nên công đoạn l có n cách thực hiện. Sang công đoạn 2 chỉ còn n − 1 phần tử chưa chọn cho nên có n − 1 cách thực hiện. Tương tự công đoạn 3 có n − 2 cách chọn, ... và ở công đoạn cuối (công đoạn thứ k) ta có n = k + 1 cách thực hiện. Theo quy tắc nhân, ta có n(n − 1)(n −2)...(n - k + 1) cách lập ra một chỉnh hợp chập k. Đó cũng chính là số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử. D Nhận xét Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên AZ = P = n!. Ví dụ 5. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này ? Gidi Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm. (A, B) cho ta một vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Thành thử số vectơ cần tìm làA = 6.5 = 30. O CHÚ Ý • Với 0< k < n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng* - " . A it (2) • Ta quy ước 0! = 1 và A'= 1. Khi đó công thức (2) đúng cho cả k = 0 và k = n. Vậy cÔng thức (2) đúng với mọi số nguyên k thoả mãn 0 < k

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!