Khái niệm đạo hàm –

Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bị cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Trong Vật lí 10 ta đã biết: Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t = 0) và bỏ qua sức cản của không khí thì phương trình chuyển động của viên bi lày = f(t) = (g là gia tốc rơi tự do, gs 9,8 m/s”). Giả sử tại thời điểm to, viên bi ở vị trí Mo có toạ độ yọ = f(t) : tại thời điểm ft (t: > to), viên bi ở vị trí M1 có toạ độ y = f(t). Khi đó, trong khoảng thời gian từ 10 đến 11, quãng đường viên bi đi được là M0M1 = f(t) = f{{0) (h.5.1). Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó làf(t) – f(lo) (1) 1) – կ0 Nếu t! – to càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại O thời điểm to. Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ .”אצלר f(t), số /(կ) – f(to) khi f { dần đến 10 là vận tốc tức to – – – – – – (tại to):(M0 {‘ thời tại thời điểm to của viên bi, kí hiệu là v(to). Nói cách khác, سم سے (tại tỉ м v(to) = lim if (t1) – f (to) D t- 有一fo Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, hoá học, sinh học,… dẫn đến bài toán tìm giới hạn in f(x) – f(‘o), x – to X – No trong đó y = f(x) là hàm số nào đó. Hình 5.1184Trong toán học, người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm sốy = f(x) tại điểm xo.2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm xo thuộc khoảng đó.ĐINH NGHIA Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến xo được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm \o, kí hiệu là f'(x0) hoặc y (\o), nghĩa làf(x)-f(x) Y – -f'(x) = lim .( -) *0o Trong định nghĩa trên, nếu đặt A\ = \ – \0 và Ay=f(\o+ AY)-f(x0) thì ta có T(XO + Δx) – f(xo) Δy.Δ.Χ. =”云 (2)f(x) =jಕ್ಟ್ರ CHÚ Ý 1). Số AY = x – \o được gọi là số gia của biến số tại điểm xo; số Ay= f{\0 + AY) – f{\0) được gọi là số gia của hàm số ứng với Số gia Ax tại điểm \o. 2) Số AY không nhất thiết chỉ mang dấu dương. 3). Ax và Ay là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: AY là tích của A vớix, Ay là tích của A với y.н1 Tinh số gia của hàm sốy = x” ứng với số gia AY của biến số tại điểm \n=-2.b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩaTa có quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) theo định nghĩa như sau:185QUY TÁC Muốn tính đạo hàm của hàm sốftại điểm \o theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau :• Bước 1. Tính Ay theo công thức Ay = f{\0 + \\}-f(\o), trong đó AY là Số gia của biến số tại \0• Bước 2. Tìm giới hạn lim Δy. Δ. Ο ΔνTrong quy tắc trên và đối với mỗi hàm số được xét sau đây, ta luôn hiểu Ay là số gia của hàm số ứng với số gia Ax đã cho của biến số tại điểm đang xét. Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm sốy = x” tại điểm \o=2. Giải. Đặt f(x) = x”, ta thực hiện quy tắc trên như sau: • Tính AyAy = fixo + Av)-f(x0) = (2 + Avo” — 2° = Ax(4 + Av). • Tìm giới hạnlim Δν lim (4 + Ax) = 4. Ar-»0 AX Av —»0 Vậyf'(2) = 4. DNhận xét Nếu hàm sốy = f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên tục tại điểm \o. ܼܓ · Ay Thật vậy, giả sử hàm số f có đạo h ”(\o), tức là lim *- = f'(xn). !t Vạy, gla S sốfcó đạo hàm f(t), tức là lim,x =f(t) Ta có – . Δν . Δν . lim Ay = lim Ax = lim – lim Ay = f ‘(x). 0 = 0. y “A “At f'(x) Do đó lim (f(x) – f(\o)) = lim Ay = 0. Điều này chứng tỏ x→x0 A-0 lim f(x) = f(x). x-vo Từ đó suy ra rằng hàm số f liên tục tại điểm xo.1863. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y = {{\) có đồ thị (C), một điểm Mo cố định thuộc (C) có Myhoành độ xo. Với mỗi điểm M .תזו, י-יז thuộc (C) khác M0, ta kí hiệu \\ là a vily Mo イr hoành độ của nó và kỵ là hệ số góc J v nij7 của cát tuyến MOM. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn k0 = lim kỵ . / WM-».\t)Khi đó, ta coi đường thẳng Mo Tđi //ình 5.2 qua M0 và có hệ số góc k0 là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi M di chuyển dọc theo (C) dần đến M0, Đường thẳng Mo T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm Mo, còn Mo gọi là tiếp điểm. Bây giờ giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm \0 Chú ý rằng tại mỗi vị trí của M trên (C), ta luôn có kỵ = feito) (հ. 5.2), M 0.Vì hàm sốfcó đạo hàm tại điểm \o nên f'(x) = lim JCM) – f'(to) xy —»xც ~VM -Wolim kM = ko. so Từ đó ta có thể phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \, là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M2(\0, f(x0)). GHINHỞNếu hàm sốy = f(x) có đạo hàm tại điểm \0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm Mø(\0, f(\o) có phương trình làу = f'(xo)(х — хо) +/(хо).1874.188Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm cóhoành độ \0 = -1. Gidi Trước hết ta tính đạo hàm của hàm sốf(x)=x^ tại \o=-1. • Tính AyAy = fixo + A) — fixo) = (-1 + Avoo – (-1) = Ar (3 — 3A + Ar*). * Tính giới hạn .3 = (lim (3 – 3A + A2 = الاث lim0-0AY AرAu Vậyf'(-1) = 3. Ngoài ra, ta có f(\0) = (-1) =-1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm lày =3(x + 1) – 1, hay y = 3x +2. D |H2. Dựa vào kết quả của Ví dụ 1, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy= x” tại điểm Mo(2:4).Ý nghĩa cơ học của đạo hàm Xét sự chuyển động của một chất điểm. Giả sử quãng đường s đi được của nó là một hàm số s = s(t) của thời gian I (s = s(t) còn gọi là phương trình chuyển động của chất điểm). Tương tự như ví dụ mở đầu, khi || Af | càng nhỏ (khác 0) thì tỉ số s(to + At) – s(to) Atcàng phản ánh chính xác độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to. Người ta gọi giới hạn hữu hạn s(to + AT) – S(to) ‘(t) = lim – – v(10) At (nếu có) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to, Từ đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm như sau: Vận tốc tức thời v(to) tại thời điểm to (hay vận tốc tại to) của một chuyển động có phương trình $ = x(t) bằng đạo hàm của hàm số = s(t) tại điểm to, tức là v(to) = s'(to).5.Chẳng hạn, trong ví dụ mở đầu, ta có 2 – 2, آنها = f(t)-f(t) = 盎ss 后]1 ig (t + to) (t-to). Do đó đạo hàm của hàm số y = f(t) làf(t) = im ft. (o) t-», to t – lo= lim (t + to) = glo. t-to 2 Vậy vận tốc của viên bi tại to là v(t) = f'(t) = g{0. |H3. Một chất điểm chuyển động có phương trình x = P ( tính bằng giây, s: tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm to = 2 (giây) bằng : (A) 2 m/s; (B) 3 m/s, (C) 4 m/s (D).5 m/s. Chọn kết quả đúng trong các kết quả trên. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng a) Khái niệm Cho hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó. Ta có định nghĩa sau đây. ĐINH NGHIA 1) Hàm sốfgọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f'(x) tại mọi điểm x thuộc J. 2). Nếu hàm số f có đạo hàm trên J. thì hàm số f ‘ xác định bởi f”’: J-> R gọi là đạo hàm của hàm số f: r一f(x) Đạo hàm của hàm số y = f(x) cũng được kí hiệu bởi y”. Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số y = x° trên khoảng (-CO; +ơo). Gidi Với mọi x thuộc khoảng (-CO; +o) ta có: · Ay = (x + Av)’ – A = At (3. + 3.Α.Δ.Α + Ax*) 189 . Δ · lim – lim (3x + 3x. Ax + Ax*) = 3.x.Av-»0 Aw Ax – »0 Vậy hàm số y = x” có đạo hàm trên khoảng (-CO; +CC) và y’= 3.x. D a) Chứng minh rằng hàm số hằng y = c có đạo hàm trên R. Tìm đạo hàm đó, b) Chứng minh rằng hàm số y = x có đạo hàm trên R. Tìm đạo hàm đó. b) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp Ta có định lí sau :ĐINH Lía). Hàm số hằng y = C có đạo hàm trên R và y’= 0; b). Hàm số y = x có đạo hàm trên R và y’= 1; c) Hàm sốy= x”(n = N, n>2) có đạo hàm trên R và y = n\”’;d) Hàm sốy= VA có đạo hàm trên khoảng (0;+) và y=== 2-yChứng minh Qua hoạt động , ta đã chứng minh các kết luận a) và b). Sau đây ta chứng minh hai kết luận còn lại. c). Với mỗix thuộc R ta tính đạo hàm của hàm số tại điểm x theo định nghĩa: * Tính Ay: Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn đối với (x + AY)”, ta có Ay= (x + Ay)” – “= Cx”‘Ax + Cix”‘A’ +…+ CyAx” + Ax”. • Tìm giới hạn (chú ý rằng C} = n.). Δν . 1-n-1 . r-2-n-2 n-1_A_n-2 n1im – = … Δα A型。エ Jim (C. + C α” “Δx + … + C α + Δα )- 1 E 2Vậy hàm số đã cho có đạo hàm trên R và y = n\” “,190d) Với mỗi Y thuộc khoảng (0; +ơo) ta có:(NA + ΔΑ – Va)(Na + ΔA + Var)* Δy = Vix + Ax — Nx = Na + Ax + Na – Δα WA + Ax + Vix ” |im Δy lim I – 1 AW Ar-» 0 \/x + Av + Nx 2xx 0د-Ar Vậy hàm sốy = Να cό đạo hàm trên khoảng (0; +ơo) và y’= — D 2\r CHÚ Ý Hàm số y = |\| xác định tại x = 0, tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nó không có đạo hàm tại điểm x = 0. Ví dụ 4a) Tìm đạo hàm của hàm số y = w“. b) Tìm đạo hàm của hàm số y = NY tại điểm x = 9. Gidia). Với y = x’, ta có y’= 4x (với mọi x = R).12vyb). Với y = N.Y., ta có y =(với mọi xe(0; +ơO)).Do đóy(9)====2x/9 H5 ChO hàm sốy = f(x). Tỉnh f'(-1) và f(1) (nếu có) trong mỗi trường hợp sau: a) f(x) = x”; b)f(x) = x.1 6 D1911.2.3.4.5.69.Câu hủi và bài tậpTìm số gia của hàm số y = x – 1 tại điểm \0 = 1 ứng với số gia A\, biết a) Δ.Α = 1 : b) ΔΧ = -0, 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm \o. a) y = 2x + 1, vo = 2 ; b) y= x + 3x, x = 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm \o (a là hằng số).a) y’ = ax +3; b)y=a.Cho paraboly = A* và hai điểm A(2; 4) và B(2 + AY: 4+ Ay) trên parabol đó. a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết AY lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,01, b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A* biết a) Tiếp điểm có hoành độ bằng -1 ;b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8;c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.. Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là S= 불 g!”, trong đó g=9,8 m/svà f được tính bằng giây (S). a) Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ 1 đến t + AI với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và AI lần lượt bằng 0,1:001:0001. b) Tìm vận tốc tại thời điểm t=5.Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x° trên R rồi suy ra f'(-1), f'(-2) và f'(2). Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.a)y= ax” (a là hằng số): b) y= x + 2. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau.1 voix al. 2X – 1 2. ‘b) y = N3 – Y với x < 3.a) y =ĐAO HAM MÔT BÊNTa đã biết rằng đạo hàm của hàm sốftại điểm xo là giới hạn sau đây im s"二s". x-y vo A - so Nếu thay vì xét giới hạn (1), ta xét giới hạn một bên của cùng biểu thức đó thì giới hạn một bên ấy sẽ được gọi là đạo hàm một bên của hàm số đã cho tại điểm \ọ.(1)1. Khái niệm đạo hàm một bên tại một điểm Định nghĩa. Cho hàm sốfxác định trên nửa khoảng [\o; b). Giới hạn bên phải (nếu có) của tỉ số '...! khi x dần đến xo được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số đã cho tại điểm xo, kí hiệu là f'(x0) hoặcy'(x0). f'(x) = lim Jf(x) — J'(x0). x-y to Đạo hàm bên trái của hàm sốfxác định trên nửa khoảng (a; xol, kí hiệu là f'(x0) hoặcy'(x0), cũng được định nghĩa tương tự, nghĩa là f'(xo) = lim f(x)二f(x0). Xo -- ۲. هر x. Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên. > Từ định nghĩa và các kết quả đã biết về giới hạn một bên, ta dễ dàng suy ra: 1) Nếu hàm sốfxác định trên khoảng (a; b) có đạo hàm tại điểm \ọ thuộc khoảng đó thì nó cũng có đạo hàm bên phải và bên trái tạixo, và f'(x) = f'(x0)=f'(x0). 2). Ngược lại, nếu hàm sốfxác định trên khoảng (a; b) có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại điểm \o sao chof”( Aő }=f'(x0) thì nó cũng có đạo hàm tại Yo. 3) Tuy nhiên, một hàm số có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại điểm xa vẫn có thể không có đạo hàm tại điểm xo (khi f'(xā) #f'(x0). }> Sau đây là một số ví dụ,Ví dụ 1. Xét hàm số y = x”. Dễ thấy hàm số có đạo hàm tại x = 3, do đó nó có đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái tại x = 3 vày'(3′) =y'(3) =y'(3) = 6. D 19313, Daisos GT 1(NC)-AVí dụ 2. Xét hàm số f(x)=x^-2|x|- Ta có :2 lim f(x) – f(0) lim A 2x = -2, of v-0 a-O”2 im Jo Jo – im **** –2. 0وv 0ܟ-Do đó tại điểm x = 0, hàm số f có đạo hàm bên phảif”'(0′) = -2 và đạo hàm bên tráif”'(0) = 2, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. O > Cùng với khái niệm đạo hàm một bên, người ta còn xây dựng khái niệm tia tiếp tuyến một bên của một đường cong tại một điểm. Tia tiếp tuyến bên phải của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm Mo có hoành độ \o có hệ số góc bằng đạo hàm bên phải//ình 5,3f'(xā). Điều tương tự cũng xảy ra đối với tia tiếp tuyến bên trái (h.5.3), Nếu tại điểm \o hàm số f có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái, nhưng chúng không bằng nhau thì đồ thị hàm sốy=f(x) gọi là gãy tại điểm Mo (\0:f{\o)). 2. Đạo hàm của hàm số trên một nửa khoảng hay một đoạnĐịnh nghĩa. Cho hàm số f xác định trên tập K, trong đó, K là một nửa khoảng hay một đoạn. Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng K = [a ; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) và có đạo hàm bên phải tạia, (Tương tự nếu K=[a :+oo). Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng K = (a : b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) và có đạo hàm bên trái tại b. (Tương tự nếu K= (-CO; b]). Hàm số f gọi là có đạo hàm trên đoạn K= [a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm – – – – – – l ܔ܂ : ܓ – ܥܝ ܢܝ یہ خبر ہے۔ ,T — ib, Ví dụ 3. Hàm số y = |x| có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng [0; +oo) và có đạo hàm bằng -1 trên nửa khoảng (–ơo: 0].13. DAISO&GT11 (NC)-B 1.11. 21.I1.. Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b- Hình 5.5 là đồ thị của hàm sốLUyệm tập- a) Tính f'(3) và f'(-4) nếu f(x)=x”.b) Tính f'(1) và f'(9) nếu f(x) = V.Y.. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm \o và đồ thị (G). Mệnh đề sau đâyđúng hay sai ? a). Nếu f'(x0) = 0 thì tiếp tuyến của (G) tại điểm M(\o: f(x0)) song song với trục hoành.b) Nếu tiếp tuyến của (G) tại điểm M(\o; f(x0)) song song với trục hoành thì f'(x) = 0.. Hình 54 là đồ thị của hàm số y = f(x)trên khoảng (a ; b). Biết rằng tại các điểm M4, M2 và Mạ, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận xét về dấu củaf'(x1), f'(x2) và f'(\3).là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x0; f{xo)), điều kiện cần và đủ = f'(x0)αχο + b = f(xo).//ình 54. Cho hàm sốy=||x|-a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0. b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có. c) Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm \o thì có đạo hàm tại X0” đúng hay sai ?y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Dựa vào hình vẽ, hãy cho biết tại mỗi điểm x, X2, Xava X4: a). Hàm số có liên tục hay không ? b). Hàm số có đạo hàm hay không ? Hãy tính đạo hàm nếu có.Hi55195 Vận tốc âm thanh: khoảng 343m/s. Vận tốc chuyển động của vệ tinh cách Trái Đất 200km : 22km/s. Vận tốc chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời : 30km/s. Vận tốc ánh sáng: 300.000km/s. Vận tốc máy bay E-bớt (Airbus):270m/s, Vận tốc tên lửa đưa người lên vũ trụ: khoảng 11 km/s.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Khái niệm đạo hàm

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!