Mặt cầu –

Trong đời sống hằng ngày chúng ta thường thấy hình ảnh của mặt cầu thông qua hình ảnh bề mặt của quả bóng bàn, của Viên bi, của mô hình quả địa cầu, của quả bóng chuyền (h.2.13), v.v… Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu, nghiên cứu những tính chất hình học của mặt cầu. – Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r (h.2.15b).○a) b) Hình 2,15Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó. 2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian. – Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O: r). – Nếu OA r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O, r) cùng với các điểm nằm trong mặt cẩu đó được gọi là khối cẩu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.3. Biểu diển mặt cầuNgười ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn. Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan người ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó (h.2.16).Hình 2,16 4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Ta có thể xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó. Khi đó giaoshociacs tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu (h.2.17).Vĩ tuyếnKinh tuyếnHình 2,17A. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước.II- GIAO CỦA MAT CÂU VẢ MặTPHẢNG Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp sau : I. Trường hợp h > rNếu M là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P) thì OM >OH. Từ đó suy ra OM > r. Vậy mọi điểm M thuộc mặtphẳng (P) đều nằm ngoài mặt cầu. Do đó mặt phẳng (P) không có điểm ്,4-1 ഗ് Chung với mặt cầu (h.2.18). ހPHình 2,18 2. Trường hợp h = r Trong trường hợp này điểm H thuộc mặt cầu S(O; r). Khi đó với mọi điểm M thuộc mặt phẳng (P) nhưng khác với H ta luôn luôn có: OM > 0H = F nên OM > }*. Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O: r) và mặt phẳng (P). Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cẩu S(O:r) tại H (h.2.19).Hዘnh 2,19 Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cẩu S(O: r) và mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Vậy ta có: = Điều kiện cản và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cẩu S(O , r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm Hđó.3. Trường hợp h < r Trong trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cẩu theo đường tròn tâm H, bánkính r'= \r” – h” (h 220).Hình 220 Thật vậy, gọi M là một điểm thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu S(O; r). Xét tam giác vuông OMH ta có MH = \r” - h”, do đó M thuộc đường tròn tâm H nằm trong mặt phẳng (P) và có bán kính r'= Wr2م-h2.Đặc biệt khi h = 0, thì tâm O của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P). Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O: r) là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này được gọi là đường tròn lớn (h.2.21)Đường tròn lớnHình 2.21Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.A 2 a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(0; f) và mặt phẳng (C) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (O) bằngb) Cho mặt cầu S(0; r), hai mặt phẳng (C) và (/) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < 0. Hãy so sánh hai bán kính của Các đường tròn giao tuyến.III- GIAO CỦA MAT CÂU VỞI ĐƯỞNG THẢNG. TIÊP TUYÊN CỦA MÁT CÂU Cho mặt cầu S(O: r) và đường thẳng A.Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên A và d = OH là khoảng cách từ 0 tới A. Tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, ta có ba trường hợp Sau đây: 1. Nếu d > r thì A không cắt mặt cầu S(O: r) (h.2.22), vì với mọi điểm M thuộc A ta đều có OM > r và như vậy mọi điểm M thuộc A đều nằm ngoài mặt cầu.PHình 2,222. Nếu d = r thì điểm H thuộc mặt cầu S(O; r). Khi đó với mọi điểm M thuộc Anhưng khác với H ta luôn luôn có OM > OH = r nên OM > r. Như vậy H làđiểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và đường thẳng A. Khi đó ta nóiđường thẳng A tiếp xúc với mặt cầu S(O: r) tại H. Điểm H gọi là điểm tiếpxúc (hoặc tiếp điểm) của A và mặt cầu. Đường thẳng A gọi là tiếp tuyến củamặt cầu. Vậy ta có: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng A tiếp xúc với mặt cầu S(O, r) tại điểm H là A vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó (h.2.23).Hዘnh 2.23 3. Nếu d’ ( །Hình 2,25 Hình 2,26[à°Chú ý. Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.47 As Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’Có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu: a)Đị qua 8 đỉnh của hình lập phương.b) Tiếp xúc Với 12 cạnh của hình lập phương. c) Tiếp xúc Với 6 mặt của hình lập phương.IV- CÔNG THỨC TÍNH DIÊN TÍCH MÁT CÂU VẢ THÊ TÍCH KHỐI CÂUDùng phương pháp giới hạn người ta chứng minh được các công thức về tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu như sau:Mặt cầu bán kính r có diện tích là:Khối cầu bán kính r có thể tích là:V = ar 3. [è”. Chú ý a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.A. Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó,48Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Tìm tập hợp tâmf các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O: r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.a) Chứng minh rằng MA, MB=MC.MD. b). Gọi MO = d. Tính MA.MB theo r và d. Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng ẤMB=ẤIB.Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’có AA’=a,AB= b.AD = c. a). Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó. b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.. Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi Olà một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.10. Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b.SC = C và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.т. н.м.ннос С. А. 49

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Mặt cầu

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!