Một số phương trình lượng giác thường gặp –

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0, (1) trong đó a, b là các hằng số (a +0) và t là một trong các hàm số lượng giác. Ví dụ 1 a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx, b) N3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với tanx.* các phương trình trong Ví dụ 1.2.3.Cách giảiChuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 3cos x +5 = 0: b) N3 cotx — 3 = 0. Gidi a) Từ 3cosx + 5 = 0, chuyển vế ta có 3cos x = – 5. (2)Chia hai vế của phương trình (2) cho 3, ta được cos \ — Vi – x = + krt, ke Z . .Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giácVí dụ 3. Giải các phương trình sau :a) 5cos x -2sin2x = 0; (4) b) 8 sin. A cos x cos 2x = -1. (5) Giaii a) Ta có5cosx – 2sin 2x = 0 <>5cosx + 4Sinx cosx = 0 <> COS X(5 – 4Sinx) = 0 cos x = 0 — 4 sin x = 0.o cosx = 0 – x = s + Kπ, Κ E Z.* 5 — 4sin x = 0 <=> 4 sin x = 5 <=> sin x = vi > 1 nên phương trình này vô nghiệm.Vậy phương trình (4) có các nghiệm là x = s + Kπ. K Ε Ζ .b) Ta có 8sin Arcos.xcos 2x = -1 <=> 4 sin 2.x cos 2.x = -1 <=> 2sin 4x = -1 1 4x = 5 + K2π x = – 4 k” = n— = ぐ二> * 2 (k e Z). 1 4x = 1 + k2n = 1 + k, 6 24 2II – PHƯONG TRìNH BÂCHAI ĐỐI VỞI MộT HẢM SỐ LƯợNG GIÁC1. Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng ato + bt + c = 0,trong đó a, b, c là các hằng số (a + 0) và f là một trong các hàm số lượng giác.Ví dụ 4a) 2sin *x + 3 sin x – 2 = 0 là phương trình bậc hai đối với sinx,b) 3coởx-5cotA-7=0là phương trình bậc hai đối với cot.\,2Giải các phương trình sau :а) 3cos x -5cos x + 2 = 0b)3 tanov – 2V3 tanx + 3 = 0.2. Cách giải Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.313.Ví dụ 5. Giải phương trình 2 sin’ + 2 sin – 2 = 0. Sl 2 2Giải. Đặt sino = t với điều kiện2 ー1 < t < 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t 2i + 2 - 2 = 0. (1) - V2 Phương trình (1) có hai nghiệm t1 = - N2 và t2 =す nhưng chỉ cóo 「2 = s thoả mãn điều kiện (*). Vậy ta cóx 2. . . S1 - = - ki> S1- = S1 Il2 2 2 4. – = + k2n x = + k e Z). I( 2||ج> * = k2n x = + k4t 2 4 2Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác3.Hãy nhắc lại:a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:b) Công thức cộng;c) Công thức nhân đôi;d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.Có nhiều phương trình lượng giác mà khi giải có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Sau đây là một số ví dụ.Ví dụ 6. Giải phương trình6cos*x + 5 sin x – 2 = 0. (2)Giải. Biến đổi cos”x = 1 – sin”x, ta đưa phương trình (2) về dạng Đặt sin \ = [ với điều kiện – 1 < 1 < 1, ta được phương trình bậc hai theo 1- 6 4.5 + 4 = 0. (3)Phương trình (3) có hai nghiệm t1 = và t2 = - nhưng chỉ có t2 = -thoả mãn điều kiện. Vậy ta có1 SII Y = - - <> Sın A = S1|| – – 2 6x = – + k2n -| , 6 (k e Z). Vʻ = It K2π. 6 Ví dụ 7. Giải phương trình V3 tanx – 6cotx + 2N3 – 3 = 0. (4)Giải. Điều kiện của phương trình (4) là cos \ = 0 và sinx z 0.Vì cot \ = t nên phương trình (4) có thể viết dưới dạng al V3 tanx — I – + 2N3 – 3 = 0, tany hay J3tan (2.3 – 3) tanx – 6 = 0.Đặt tan_x = 1, ta được phương trình bậc hai theo 1 (5) Phương trình (5) có hai nghiệm: n = V3, (2 = -2.Với n = N3 ta có tanx = \3 → tan x = tan –> x = 3 + kri, ke Z.3-ĐAI SỐ & G|ẢI TÍCH 11-AVới t2 = -2 ta có tanx = -2 &->x = arctan(-2) + kT(, k e Z. Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện nêu trên nên chúng là các nghiệm của phương trình (4). Ba4. fk phương trình 3cos’6x + 8sin3.x cos 3x – 4 = 0. Ví dụ 8. Giải phương trình 2sinox – 5sinir cos x – cos*x = -2. (6) Giải. Trước hết, ta thấy nếu cosx = 0 thì phương trình (6) có vế trái bằng 2, còn Vế phải bằng -2, nên cosx = 0không thoả mãn phương trình (6). Vậy cosx +0.Vì cosx z0 nên chia hai vế của phương trình (6) cho cos ox, ta được->2tan’s -5tanx – 1 = -2(1 +2 2tanx – 5tanx – 1 = – 2 COS XTa đưa được phương trình (6) về phương trình bậc hai theo tanx4tan’s – 5tanx + 1 = 0• tan x = 1 -> x = i + kri, ke Z.tanX = 1. ex-arctant + kT, k e Z. 4. 4. Vậy phương trình (6) có các nghiệm làx = * + kt 4 và x = arctan, + kt (k e Z).34 3-ĐAI SỐ & GIẢI TÍCH 11-BIII – PHƯỞNG TRìNH BÂC NHẤT ĐỐI VỞI sinx VẢ cosx1.2.Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx5Dựa vào các công thức Cộng đã học:sin (a + b) = sin acos b + sin bicos a : cos (a + b) = cos acos b — sin asin b : sin (a – b) = sin acos b-sin bicos a ; cos (a – b) = cos acos b + sin asin b và kết quả cos့် =sin – , hãy chứng minh rằng:a) sin x + cosx = J2 cos[…- 😉 b) sinx – cos x = 2in i).Trong trường hợp tổng quát, vớiasin x + bcos x = Na + b” in — Na” +b Na? + bo2 か 2 Vi = 1 nên có một góc 2 sao chova” +b Na” +b かKhi đó asinx + bcosx = \a° + b° (sin \cosa + cosx sina)- wa +b’ sin(x + Cz).Vậy ta có công thức sau asin x + bcos x = Na” + b? sin(x + oz), (1)với cos a = : “:= và Sin & — Nao + boPhương trình dạng a sinx + b cosx = cXét phương trình asin x + bcos x = c, (2)với a, b, c = R: a, b không đồng thời bằng 0 (ả° + b° +0).Nếu a = 0, b z 0 hoặc a z 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu a z 0, b = 0, ta áp dụng công thức (1). Ví dụ 9. Giải phương trình sin x + V3 cos x = 1. Giải. Theo công thức (1) ta có sin x + V3 cos x = Wi (V3). sin(x + O) = 2sin (x + a), 1 .trong đó cOS (Y = 2. SIIO = o. Từ đó lấy Z =# thì ta cósin x + V3 cos x = 2in –Khi đó sin x + V3 cosx = 1 -> 2sin t = 1 <> sin(x t l 3. 3. 2 (༣) + (i) = sin# <> SIV — – – Sin3. 6 x + i = + k2n x = – + k2n 3 6 6 x + i = it-T + k2n x = 1 + k2n (k = Z). = 3. 6 2 Giải phương trình N3 sin3.x-cos3x = \2. Bời tộp 1. Giải phương trình sin * v- sin x = 0. 2. Giải các phương trình sau :a) 2cosy-3cos x + 1 = 0; b) 2sin2x + N2 sin 4x = 0.Giải các phương trình sau : a) (sin^2)(x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8(cos^2)x + 2sinx – 7 = 0; c) 2(tan^2)x +3tanx – 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0. Ta xét trường hợp –1 s a < 1 thông qua Ví dụ sau. Ví dụ 1. Giải bất phương trình2 SAD - 1 inx 2 (1)Giải. Vẽ đường tròn lượng giác tâm O. Trên trục sin lấy điểm K sao cho- J')OK - (h. 18). Kẻ từ K đường thẳng vuông góc với trục sin, cắt đường tròn tại hai điểm M và M''.Rõ ràng, nếu cung AD có số đo thoả mãn bất phương trình (1) thì D phải nằm trênCung MBM'' và ngược lại. }{in} /8Ta có sỞ AMή κλπ, κε Z vàR sd ÁM =# + k2nt, k = Z.Vậy nghiệm của bất phương trình sin \> s là-器、 + k21, k e Z.Chú ý. Điểm cuối của Cung có số đo là nghiệm của bất phương trình sinx < 学phải nằm trên cung M'B'M và ngược lại (h.18). Khi đó, nghiệm của bất phương trình là+ k2nts as + K2π.hay+ k2n six < 警 + K2π. (K E Z).|| - BẤT PHƯONG TRINH cosx < a Nếu a 1 thì mọi số thực x đều là nghiệm của bất phương trình cosx < a. Ta xét trường hợp − 1 < a < 1 thống qua Ví dụ sau đây. Ví dụ 2. Giải bất phương trìnhCOSA < -V2 2Giải. Trên trục côsin lấy điểm H có hoànhđộ là -. Kẻ từ H đường thẳng vuônggóc với trục côsin, cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M và M'' (h.19).Rõ ràng, nếu cung AE có số đo thoả mãn bất phương trình (2) thì E. phải nằm trên Cung MA'M’ và ngược lại. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là3rt -2***** + k2TI, k e Z. 4. 4Chú ý. Bất phương trình cosx > có nghiệm là57t+ k27L Cy C (-) + K2π. 4. 4.57thay 芋、 Z.|- BẤT PHƯơNG TRINH tanx > a Với mọi số thực a, bất phương trình tan x > a luôn có nghiệm. Ta xét ví dụ sau đây.Ví dụ 3. Giải bất phương trình(3) Giải. Lấy trên trục tang điểm I sao cho A = 1.tanx > 1.(2)côsintangNối OI cắt đường tròn lượng giác tại M và M’ t(h,20). Nếu Cung AE có số đo thoả mãn bất phương trình (3) thì điểm E phải nằm trên một trong hai cung MB và M’B’, và ngược lại, Vậy nghiệm của bất phương trình (3) làт + Kπ και α < β + Kπ (κε Z ). 4 - 2Hình 20--39 Giải các phương trình sau : a) (sin^2)(x/2) - 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8(cos^2)x + 2sinx – 7 = 0; c) 2(tan^2)x +3tanx - 1 = 0; d) tanx - 2cotx + 1 = 0.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Một số phương trình lượng giác thường gặp

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!