Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn –

Ta đã biết cách giải : Phương trình bậc nhất (ẩn x) là phương trình có dạng ax + b = 0 (a và b là hai số đã cho với a ≠ 0). Phương trình bậc hai (ẩn x) là phương trình có dạng ax^2 + bx + c = 0 (a, b và c là ba số đã cho với a ≠ 0); delta = b^2 – 4ac gọi là biệt thức, delta’ = b”? – ac (với b = 2b’) gọi là biệt thức thu gọn của phương trình bậc hai. Trong bài này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải và biện luận các phương trình bậc nhất và bậc hai có chứa tham số.Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0Kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được nêu trong bảng sau đây.1) a 7-0 : Phương trình có một nghiệm duy nhất x = b. – 2) a = 0 và b = 0: Phương trình vô nghiệm. 3) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x = R.Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m(1) Giải. Ta biến đổi tương đương (1)<> (mio — 1)x = 2(m — 1). (1a)Xét các trường hợp sau đây. 1) Khi m+ + 1 (tức là m = 1 và m z-1), ta có m” – 1 #0 nên (la) có nghiệm 2(n-1) 2 Y – – – – – m-1 m+1 Đó là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.22) Khi m = 1, phương trình (la) trở thành 0x = 0; phương trình này nghiệm đúng với mọi x = R nên phương trình (1) cũng nghiệm đúng với mọi x = R.3). Khi m = -1, phương trình (la) trở thành 0x = -4 ; phương trình này vô nghiệm nên phương trình (1) cũng vô nghiệm. Kết luận2 2 m z +1: (1) có nghiệm x = ~~~~ | tập nghiệm là $ = {-^-} |m + 1 m+1m=-1 ; (1) vô nghiệm (tập nghiệm là $ = (2). m=1: (1) nghiệm đúng với mọi x = R (tập nghiệm là S= R). DGiải và biện luận phương trình dạng ax° + bx + c = 0Kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax’+ bx + c = 0 được nêu trong bảng sau đây.1) a = 0: Trở về giải và biện luận phương trình bx+ c = 0.2) a z 0: • A > 0: phương trình có hai nghiệm (phân biệt) – b — NA -b + NA _\ = ~~~~~ và Y = -**: : 2α 2a• A=0: phương trình có một nghiệm (kép) =-, (1 • A <0: phương trình vô nghiệm.н1] Trong trường hợp nào thì phương trình ax° + bx+ c = 0 : a) Có một nghiệm duy nhất ? b) Vô nghiệm ? Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m ma-2(m -2)x + m -3 = 0. (2)Giải. Với m = 0, phương trình (2) trở thành 4x-3=0; nó có nghiệm x = Với m z 0, (2) là phương trình bậc hai với biệt thức thu gọn làA = (m-2)- m(m-3) = 4-m.74Do đó : - Nếu m > 4 thì A’<0 nên (2) vô nghiệm:- Nếu m = 4 thì A'=0 nên (2) có một nghiệm x = -- – Nếu m < 4 và m z0 thì A'>0 nên (2) có hai nghiệm \ = ~~~~~~ và \ = ~~~~~~~. Kết luận. m >4:(2) vô nghiệm: m=0; (2) có nghiệm x = }; 0z m < 4:(2) có hai nghiệm x = -2-1(hai nghiệm này trùng nhau và bằng khi m = 4).H2 Giải và biện luận phương trình (x- 1)(r - mY+2)=0, theo tham số m.Ví dụ 3. Cho phương trình3x +2 = -a+x+ a.(3)Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình (3) tuỳ theo các giá trịcủa tham số a,Giải. Trước hết, ta đưa phương trình (3) về dạng y a' + 2 + 2 = a. (4)Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệmcủa phương trình (4) và bằng số giao điểm của parabol(P):y=x^+ 2\ +2 với đường thẳng (d):y= a. Quan Msát đồ thị (h.3.1), ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểm . ." }_M(-1 ; 1), khi a thay đổi thì đường thẳng (d) cũng - 1 Ο thay đổi nhưng luôn song song (hoặc trùng) với trụchoành. Từ đó, ta suy ra: Hình 3.] - Với a < 1, phương trình (3) vô nghiệm (đường thẳng (d) và parabol (P)không có điểm chung);- Với a = 1, phương trình (3) có một nghiệm (kép) (đường thẳng (d) tiếp xúcvới parabol (P));- Với a > 1, phương trình (3) có hai nghiệm (đường thẳng (d) cắt parabol (P)tại hai điểm phân biệt).DCHÚ ÝKhi viết phương trình (3) dưới dạng x + 3x + 2 = x + a, ta thấy kết quả trên còn cho biết số giao điểm của paraboly = x° +3x + 2 với đường thẳng y = x + a.3. Ứng dụng của định lí Vi-ét • Ở lớp dưới, chúng ta đã học định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai.Hai số x và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai αν” + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức- à _C X1+ X2 =一;”やや=エĐịnh líVi-ét có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn như: 1) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai; 2) Phân tích đa thức thành nhân tử:Nếu đa thức f(x) = ax° + bx + c có hai nghiệm x, và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(Y-x})(\ = \3) (xem bài tập 9); 3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là $ và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình x – Sv = P = 0.|H3Có thể khoanh một sợi dây dài 40 cm thành một hình chữ nhật có diện tích $ cho trước trong mỗi trường hợp sau đây được hay không ?a) S = 99 cm; b) S = 100 cm; c) S = 101 cm.• Sau đây, ta sẽ tìm hiểu một ứng dụng quan trọng khác của định lí Vi-ét là xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.Định lí Vi-ét cho phép ta nhận biết dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai mà không cần tìm các nghiệm đó. Ta có nhận xét sau đây.75 76Nhận xét Cho phương trình bậc hai ax^+ bx + c = 0 có hai nghiệm Y và \2 (, so). Đặt s=-” và P= o. Khi đó: al – Nếu P<0 thì x < 0 < \2 (hai nghiệm trái dấu); - Nếu P > 0 và S > 0 thì 0 < x < x 2 (hai nghiệm dương); - Nếu P > 0 và S<0 thì x < \> < 0 (hai nghiệm âm). Ví dụ 4. Phương trình (1-N2)x^-2{1+V2)x + N2 = 0 có ở = 1 - N2<0 và c = N2>0 nên P<0. Vậy phương trình đó có hai nghiệm trái dấu. O CHÚ Ý Trong ví dụ 4, cả hai kết luận phương trình có hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu đều được suy ra từ P< 0. Trường hợp P > 0, ta phải tính A (hay A) để xem phương trình có nghiệm hay không rồi mới tính S để xác định dấu các nghiệm. Ví dụ 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình sau (nếu có) (2-5) +2(1-5) +1=0 (*) Giải. Ta có a = 2-N3 >0 và c=1>0 => P> 0; Δ = (l -3)-(2 -N3)= 2-N3 = A >0 (vậy(*) có hai nghiệm phân biệt): a = 2-V3 >0 và -b’=-{1-N3)= \3-1> 0 = S > 0, Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm dương. D Với mỗi phương trình cho trong a) và b) dưới đây, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định đã choa) Phương trình – 0,5x° +2.7x + 1,5 = 0(A). Có hai nghiệm trái dấu; (B). Có hai nghiệm dương, (C) Có hai nghiệm âm, (D) Vô nghiệm. b) Phương trình x” –(N2 + \3)x + \6 = 0 (A). Có hai nghiệm trái dấu; (B). Có hai nghiệm dương, (C) Có hai nghiệm âm : (D) Vô nghiệm. • Việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai giúp ta xác định được số nghiệm của phương trình trùng phương. Ta đã biết, đối với phương trình trùng phươngax’+ b + c = 0, (4) nếu đặty = a (y > 0) thì ta đi đến phương trình bậc hai đối với yay + by + c = 0. (5) Do đó, muốn biết số nghiệm của phương trình (4), ta chỉ cần biết số nghiệm của phương trình (5) và dấu của chúng. H5 Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ? a). Nếu phương trình (4) Có nghiệm thì phương trình (5) có nghiệm, b) Nếu phương trình (5) có nghiệm thì phương trình (4) Có nghiệm. Ví dụ 6. Cho phương trìnhV2s’ – 2(V2 – V3)x – V12 = 0. (6)Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình (6) có bao nhiều nghiệm ?Giải. Đặty=\” (y>0), ta đi đến phương trình V2y’ – 2(V2 – 3)y – V12 = 0. (7) Phương trình (7) có a = N2 >0 và c ==N12 < 0. nên có hai nghiệm trái dấu. Vậy phương trình (7) có một nghiệm dương duy nhất, suy ra phương trình (6) có hai nghiệm đối nhau. D 775.6.7.8.9.1. 0.* Câu hủi và bài tậpXem các bài giải sau đây và cho biết mỗi bài giải đó đúng hay sai. Vì sao ?(x -2)(x-1) x -2 x -2 a) - A - = 0 (x – 1) = 0 = 0 hoặc \ – 1 = 0. Nx – 1 Nx – 1 Nx — 1 x -2 Ta có =0 <= x = 2 : x - 1 = 0 <= x = 1. Nx - 1Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={1,2}. ”2x + x - 1 = 2 -- شb)\/x2 - 2 = 1 - x <> x2 – 2 = (1-x)” <> x3=x ج>3 = 2x ج>Vậy phương trình có một nghiệm Y = 를Giải và biện luận các phương trình :a) (mo +2)x-2n = x-3; b) m(x – m) = x + m -2; c) m(x – m + 3) = m(x -2) + 6; d) mov – 1) + m = x(3m -2). Dựa vào hình 3.1 (trang 74), tìm các giá trị của a để phương trình (3) cho trong ví dụ 3 có nghiệm dương. Khi đó, hãy tìm nghiệm dương của (3). Giải và biện luận các phương trình :a) (m. – 1).x + 3 x – 1 = 0;b) – 4x + m – 3 = 0.a) Giả sử phương trình ax° + bx + c = 0 (a + 0) có hai nghiệm là XI và X.2. Chứng minh rằng ta có thể phân tích ax + b\ + c = a(x-\})(\ – \;). b) Áp dụng. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:f(x) = –2-7x + 4 va g(x) = (N2 + 1)xo –2(N2 +1).x +2.. Không giải phương trình A-2x – 15 = 0, hãy tính :a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó; b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó: c) Tổng các luỹ thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.Hướng dẫn, x) +x}=(xỉ + \3)” -2xỉ xả.11. Trong các khẳng định sau đây, có duy nhất một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng đó.Phương trình (3-1)x’+x+2(1-3)=0(A) Vô nghiệm :(B). Có hai nghiệm –(C) Có bốn nghiệm x=#} (3)33-163-) và x=+ N3 ;(D) Có hai nghiệm x =+ N3.Bài đọc thêmG|ẢI PHƯơNG TRINH BÂCHAI BANG MÁY TÍNH CASIOfx – 500MSMáy tính CASIOf\ – 500MS có thể giúp ta tìm nghiệm đúng hoặc nghiệm gần đúng (với chín chữ số thập phân) của phương trình bậc hai ax^+bx+c=0 với các hệ số bằng sốĐể giải phương trình ax° + bx+c=0, trước hếttaấn các phím IMODE][MODE][1]|>]|2| để vào chương trình giải. Sau đó, ta nhập từng hệ số bằng cách ấn phím tương ứng với hệ số đó và phím =].• Để giải phương trình 2\” –5Y-3=0, ta ấn lần lượt các phím sau: IE 22 드 5 드[F3드 Khi đó, kết quả là x = 3, Ấn tiếp phím E=], ta được x = -0,5 • Để giải phương trình 9x” –12\ +4=0, ta ấn lần lượt các phím sau: I E 29E 12 E4E Khi đó, kết quả là x < 0,666666666, Ấn tiếp hai phím |d/c], ta được x = 를Đó là nghiệm kép của phương trình.79 1. 2.1. 3.1. 4.1. 5.1. 6.1. 71. 81. 9• Để giải phương trình 5x° +4x +1= 0, ta ấn lần lượt các phím sau: - 25E4E1 Khi đó, trên màn hình xuất hiện giá trị x = -04 cùng với kí hiệu R <> 1 ở góc trên bên phải. Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho không có nghiệm thực. * Để giải phương trình x”+5,3\ -1,46 = 0, ta ấn lần lượt các phím sau: 回回圆1国53国回146日Khi đó, kết quả là x is 0.262473.175. Ấn tiếp phím 드, ta được x2 s -5,562473 176. Đó là các nghiệm gần đúng của phương trình.LUyệm tậpGiải và biện luận các phương trình sau (m là tham số): a) 2(m + 1)x — m(х — 1) = 2m + 3 : b) m (x – 1) + 3n2 x = (m +3)x – 1: c)3(n + i)x + 4 = 2x+5(n + 1) ; d) mix +6 = 4x +3m. a) Tìm các giá trị củap để phương trình (p + 1)x – (Y + 2) = 0 vô nghiệm. b) Tìm các giá trị củap để phương trình -p = 4\ -2 có vô số nghiệm.. Tính nghiệm gần đúng của các phương trình sau (chính xác đến hàng phần trăm):a) – 5,60x + 6,41 = 0 ; b) 2 x + 4 3 – 22 = 0. Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông, biết rằng cạnh thứ nhất dài hơn cạnh thứ hai là 2 m, cạnh thứ hai dài hơn cạnh thứ ba là 23 m. Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số): a) (m = 1)x +7x – 12 = 0 b) mxo-2(m +3)x+ n + 1 = 0; c) (k+1)x -1(x – 1) = 0; d) (mx-2)(2.mx – x + 1) = 0.. Biện luận số giao điểm của hai parabol y = -a – 2 + 3 va y = x – m theotham số m.. Tìm các giá trị của m để phương trình x* -4\ + m – 1 = 0 có hai nghiệm Y vàxạ thoả mãn hệ thức xỉ +x} = 40.. Giải phương trình x + (4m + 1)x + 2(m –4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệmvà hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!