Phương trình đường thẳng –

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và có vectơ chỉ phương u(a ; b ; c) (h.66). Vì vectơ u khác vectơ 0 nên ta phải cό a^2 + b^2 + c^2 < 0. Ta biết rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x, y, z) nằm trên đường thẳng d là vectơM0M cùng phương với vectơ ũ, tức là có số Hình 66 te IR sao cho MoM = tử. Chú ý rằng MoM = (x - so : y - yo; 2 - 20)nên điều kiện nói trên tương đương với:(1)Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d với tham số 1. Với mỗi t = R, hệ phương trình trên cho ta toạ độ (x : y); 2 của một điểm nằm trên d. Ngược lại, mỗi hệ phương trình dạng (1) với a° + b° + c° > 0 đều là phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm (\0 ; yo; 20) và có vectơ chỉ phương là tỉ(a, b, c).Từ nay, để đơn giản, trong phương trình (1) ta không viết I e R. 1 Cho đường thẳng d có phương trình tham số:a) Hay tim toạ độ một vectơ chỉ phương của d. b)Xác định toạ độ của các điểm thuộc di ứng với giá trị t=0, t = 1, t = -2. c) Trong các điểm A(3: 1 : -2), B(-3; 4: 2), C(0: 2.5:1), điểm nào thuộc d, điểm nào không ?Xét đường thẳng d có phương trình tham số (1). Trong trường hợp abcz 0, bằng cách khử f từ các phương trình của hệ (1), ta được :그-보 = 그 === -0, với abcz 0. (2) bHệ phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d. Ngược lại, mỗi hệ phương trình như thế đều là phương trình chính tắc của một đường thẳng hoàn toàn xác định, đó là đường thẳng đi qua điểm (x0; yo:20) và có một vectơ chỉ phương là (a;b; c).2 Cho hai mặt phẳng (ø) và (o’) có phương trình:(a):2x+2y+ェー4=0(a):2x-yーz+5=0 a). Hãy giải thích tại sao hai mặt phẳng (a) và (ơ’) cắt nhau. b). Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (ø) và (ø’). Hãy tìm toạ độ của một điểm thuộc d và xác định toạ độ của một vectơ chỉ phương của d. c) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d.2. Một số ví dụVí dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(1: 0: -2) và A (2 : 1 : 1).GiảiVectơ AA’= (1:1:3) là một vectơ chỉ phương của d, ngoài ra d đi qua điểm A nên d có phương trình tham số là921+ s t = -2 +3t.yVí dụ 2. Trong không gian toạ độ Oxy2, cho tứ diện ABCD với A = (0, 0; 2), B = (3; 0; 5), C = (1:1, 0), D = (4:1: 2).a) Viết phương trình tham số của đường cao tứ diện ABCD hạ từ D.b) Tìm toạ độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC).Giảia) Ta có AB = (3:0:3), AC = (1:1: -2),Vi | AB, AC = (-3;9; 3) nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)là n = (1: – 3: – 1).Vậy phương trình tham số của đường cao d’hạ từ D của tứ diện làA = 4 + 1 d : y = 1 -3t z = 2 – i.b). Mặt phẳng (4BC) có vectơ pháp tuyến n = (1: – 3: – 1) và đi qua A(0; 0; 2) nên có phương trình là1(x –0)–3(y –0)–1 (2–2) = 0 hay x-3y-2 + 2 = 0. Hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (ABC). Để tìm toạ độ điểm H., ta giải hệ gồm các phương trình của đường thẳng d và mp(ABC) 😡 = 4 +t y = 1 -3t 2 = 2 – 1A – 3y – z + 2 = 0,Thay các giá trị của \,y,z trong ba phương trình đầu vào phương trìnhcuối, ta có 4 + 1-3(1-3)-(2-1)+2 = 0. Từ đó suy ra t = – Do đó11 * = 1-뷰-뷰 ==2+品=器 Vậy h-器器需)Ví dụ 3. Cho hai mặt phẳng (ø) và (C”) lần lượt có phương trình \ + 2y – 2 + 1 = 0 và x + y + 22 + 3 = 0.Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng đó cắt nhau và viết phương trình tham số củagiao tuyến hai mặt phẳng đó.GiaiiHai mặt phẳng đã cho cắt nhau vì bộ ba số (l; 2: -1) không tỉ lệ với bộ ba, số (1:1: 2).Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm các điểmM(\:y; 2) vừa thuộc (O) vừa thuộc (CZ) nên toạ độ của M là nghiệm của hệ: x + 2y – z+ 1 = 0 x + y + 2 + 3 = 0.(1) Bây giờ ta có thể viết phương trình tham số của d bằng một trong các cách Sau đây : Cách 1. Tìm toạ độ một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó rồi viết phương trình tham số của d. Cụ thể là, trong hệ (1) cho 2 = 0, rồi tìm Y và y, ta được x = -5, y = 2. Vậy điểm A(-5: 2: 0) thuộc d. Gọi n = (1:2:-1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?), n = (1 ; ; 2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (o”). Đường thẳng d vuông góc với haiVecto n, Và n) nên nó có vectơ chỉ phương là t = 阮 n1- ;3-:5( = [ܕ).Vậy, phương trình tham số của đường thẳng d lày = -5 + 5լ y = 2-3t = -1.Cách 2. Tìm toạ độ hai điểm phân biệt A và A’ thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Cụ thể là : Trong hệ (1) cho 2 = 0, ta tìm được x = -5, y = 2. Vậy điểm A(-5; 2: 0) thuộc d. Lại cho 2 = 1, ta được \ = −10, y = 5. Vậy A'(-10; 5: 1) cũng thuộc d. Vectơ chỉ phương của d là AA’= (-5:3; 1) nên d có phương trình tham số là:y = -10 — 5t y = 5+3t z = 1 + t.Cách 3. Trong hệ (1) cho 2 = t rồi tìm x và y theo I, ta đượcy = -5 — 5/ y = 2 +3t 2 = 1Đó cũng là phương trình tham số của đường thẳng d. m.Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng d, và d2 lần lượt có phương trình làY = 1 x yー1 z+2 1 =-1-4″ w = 수 === 2 = 6 + 6tViết phương trình chính tắc của đường thẳng da đi qua điểm M(1 : -1 ; 2),vuông góc với Cả dị và d2.GiảiCác đường thẳng dị và d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u(1: –4: 6) và u2 (2:l:-5).95Đường thẳng dạ vuông góc với cả di và d2 nên một vectơ chỉ phương của d; là ta = it. u Ta tính được ưa = (14: 17: 9) và do đó, d, có phươngtrình chính tắc là3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Trong không gian, cho đường thẳng d đi qua điểm Mo, có vectơ chỉ phương ữ và đường thẳng d” đi qua điểm Mỹ, có vectơ chỉ phương it. Dựa vào ba vectơ ủ, t” và MOMố, ta có thể biết được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d”.a)Hình 67 Cụ thể là: a) d và do trùng nhau khi và chỉ khi ba vectơ ü, u’’ và MoMó đôi một cùng phương (h.67a). b) d’// do khi và chỉ khi ủ và u” cùng phương nhưng không cùng phương với MoMA (h.67b). c) d và do cắt nhau khi và chỉ khi tỉ và u’ không cùng phương, đồng thờiba vectơ ữ, u’’ và MoMó đồng phẳng (h.67c). d) d và d” chéo nhau khi và chỉ khi d, d” không đồng phẳng, hay khi và chỉ khi ba vectơ ữ, u’’ và MoMó không đồng phẳng (h.67d).Vậy ta có:/് d’ trùng nhau → ủ, u’’ và MoMo đôi một cùng phương<=ь [йли]=й. МоМ0]= 0.и va и cùng phương [ս, u = 0 d// d" -> . **ー上 ũ và MoM, không cùng phương [ủ. MộMỹ14 0.ũ và u” không cùng phươn d và d” cắt nhau x=>

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Phương trình đường thẳng

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!