Phương trình lượng giác cơ bản –

Trong thực tế, ta gặp những bài toán dẫn đến việc tìm tất cả các giá trị của x nghiệm đúng những phương trình nào đó, như 3 sin 2x + 2 = 0 hoặc 2cos x + tan 2x – l = 0, mà ta gọi là các phương trình lượng giác. Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thoả mãn phương trình đã cho. Các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng radian hoặc bằng độ. Việc giải các phương trình lượng giác thường đưa về việc giải các phương trình sau, gọi là các phương trình lượng giác cơ bản : sin x = a, cos x = a, tan v = a, cotx = a, trong đó a là một hằng số.18 2-ĐAI SỐ (, G|ẢI TÍCH 1-o1. Phương trình sinx = a2 Có giá trị nào của x thoả mãn phương trình sinx = -2 không ?Xét phương trình sin_x = a. (1) Trường hợp la| > 1 Phương trình (1) vô nghiệm, vì sinx| < 1 với mọi x.Trường hợp la| < 1Vẽ đường tròn lượng giác tâm O, trục hoành là trục côsin, trục tung là trục Sin. Trên trục sin lấy điểm K sao cho OK = a. Từ K kẻ đường vuông góc với trục sin, cắt đường tròn lượng giác tại M và M' đối xứng với nhau qua trục sin (nếu |a| = | thì M trùng với M") (h.14).A"//ình 14y Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM" là tất cả các nghiệm của phương trình (1).- y مر Gọi C là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM, ta có sd AM = oy + k27Li, k e= Z ;sd AM''' = TI - a + k2TT, k e Z. Vậy phương trình sinx = a có các nghiệm làΑ = α + K2π, k e Z;x = л — ox + k.2л, k e= Z.- < a. s. . . . . - 2 2 thì ta Viết Cx = arcsin aNếu số thực & thoả mãn điều kiện Sin Cx = a (đọc là ac-sin-a, nghĩa là cung có Sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là x = arcsin a + k2TT, k e Z và Y = ft – arcsin a + K27t, & = Z.19 CHÚ Ý:a) Phương trình sinx = sin C, với a là một số cho trước, có cácnghiệm làΑ = α + K2π, k e Z Và χ = π- α + K2π, k E Z. Tổng quát,f(x) = g(x) + k27t, k e Z f(x) = Tt — g(x) + k2Tt, k e Z. b) Phương trình sinx = sin/3” có các nghiệm là x = (3' + k360', k e Z và x = 180” – B'+ k360”, k. e. Z. c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. d). Các trường hợp đặc biệt: • a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm làsin f(x) = sin g(x) <=>α = 5 + K2π, kε Ζ. 2 * a =-1 ; Phương trình sinx = -1 có các nghiệm là A = – + K2, kez. • a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là x = kít, k e Z.Ví dụ 1. Giải các phương trình sau :а) sin x = i; b) sin x =1.5Gidia). Vì 1. sin” nên Sin_\ = 1. < > sin x = sin “*. 2 6 2 6Vậy phương trình có các nghiệm làx = + k2ri, ke z và x = n – ; + k2n = o + k2r, ke Z.b) Ta có sin \ = khi x = arcsin Vậy phương trình sinx – có các nghiệm làx = arcsin+ k2rt, k e z và x = Fe – arcsin + k2rt , ke Z.3. 汽。 các phương trình sau : V2а) b) sin(x+45° =一す。2. Phương trình cosx = a.Trường hợp a > 1 Phương trình cos \ = a vô nghiệm vì lcosx| < 1 với mọi x. Trường hợp la| < 1 Tương tự trường hợp phương trình sinx = a, ta lấy điểm H trên trục côsin sao cho OH = a. Từ H kẻ đường vuông góc với trục côsin, cắt đường tròn lượng giác tại M và M' đối xứng với nhau qua trục côsin (nếu |al = 1 thì M = M") (h.15).Hình 15Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM" là tất cả các nghiệm của phương trình cos \ = a.Gọi a là Số đo bằng radian của một cung lượng giác ÁM, ta có: sd AM = a + k27t, ke Z;sd AM = -a+ k2t, ke Z. Vậy phương trình cosx = a có các nghiệm làχ = Eα + K2π. K E Z.21 CHÚ Ý: a) Phương trình cos \ = cos C, với Cx là một số cho trước, có các nghiệm là x=土a + k2T、ke Z. Tổng quát, cos f(x) = cos g(x) f(x) = +g(x) + k2tt, ke Z. b) Phương trình cosx = cos/?” có các nghiệm là x = + 6′ + k360”, k. e. Z. c). Nếu số thực & thoả mãn các điều kiện 0 < or < лEthì ta viết Cx = arccosa (đọc là ac-cÔsin-a, có nghĩa là cung cócôsin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cosx = a còn được viết làx = + arccos a + k27t, k e Z.d). Các trường hợp đặc biệt: * a = 1 : Phương trình cosx = 1 có các nghiệm là X = k2π, k E Z.• a = −1 : Phương trình cosx = -1 có các nghiệm là α = π + K2π, k E Z. * a = 0: Phương trình cosx = 0 có các nghiệm làx = + kit, kez. 2Ví dụ 2. Giải các phương trình sau :a) cosx = cos" b) cos 3x = _V2 6 2 c) cosx = d) cos(x + 60') =Gidia) coSv = cos့် x=士 ; + K2π. K E Z.b). Vì v2. – cos nên 2 4. cos 3.x = – < > cos 3x = cos; <> 3x = + + K2π.; x = + “” + k2f , ke Z ج> 4. 3c) cos x = x= |accos + K2π, Κ Ε Ζ :V2d). Vì = cos 45° nêncos(x + 60o) = cos(x + 60°) = cos 45° <=> x + 60° = +45° + k360°x = -15′ o – ,)κε Ζ( “” “|جيx = -105′ + k360′ 4. Giải các phương trình sau:b) cos x = 3 c) cos(x +30o) =J31 a) cos x = – ; 23. Phương trình tanx = aĐiều kiện của phương trình là Y Z s + Kπ (k E Z).Căn cứ vào đồ thị hàm số y = tanx, ta thấy với mỗi số a, đồ thị hàm số y = tanx cắt đường thẳng y = a tại các điểm có hoành độ sai khác nhau một bội của It (h. 16). y3π.흥 풍丁一n -2/- 2n х) — л O2 %/x1+n 2%、+2nHình 16Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình tan x = a.Gọix là hoành độ giao điểm (tanx = a) thoả mãn điều kiện – < x < 5.Kí hiệu x = arctan a (đọc là ac-tang-a, nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tan_x = a làx = arctana +kt, kie Z.a) Phương trình tan_x = tan o, với a là một số cho trước, có các nghiệm làCHÚ Ý:Α = α + Kπ, kε Ζ. Tổng quát, tan f(x) = tang(x) => f(x) = g(x) + kft, k e Z. b) Phương trình tanx = tan/?” có các nghiệm là x = 6′ + k180”, k. e. Z Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:a) tanx = tan; ; b) tan 2 x = – c) tan (3x + 15″) = V3i.1. 3 Giải a) tanx = tant Wー л + kant, k e Z. 5 5b) tan 2x = – x = -arctan –- + k-, k e Z. 2 3 2c) Vì N3 = tan 60° nên tan(3x + 15°) = N3 <> tan(3x + 15°) = tan 60° “3x = 45” + k180 < > x = 15′ + kó0”, k. e. Z. I5 * các phương trình sau :a) tan x = 1 ; b) tanx = -1 ; c) tanx = 0.244. Phương trình cotx = aĐiều kiện của phương trình là x z kft, k e Z. Căn cứ vào đồ thị hàm số y = cotix, ta thấy với mỗi số a, đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = cotx tại các điểm có hoành độ sai khác nhau\một bội của Tt (h.17).Hình 17 Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình cotx = a. Gọi \! là hoành độ giao điểm (cotxt = a) thoả mãn điều kiện 0 < x < 1. Kí hiệu x = arccota (đọc là ac-côtang-a, nghĩa là cung có côtang bằng a).Khi đó, các nghiệm của phương trình cot. x = a làCHÚ Ýa) Phương trình cot \ = cot a, với a là một số cho trước, có cácnghiệm là Α = α + Kπ, k E Z.Tổng quát, cot f(x) = cot g(x) => f(x) = g(x) + kft, k = Z. b) Phương trình cotx = cot/?” có các nghiệm là A = 6’+ k180”, k. e. Z. 25Ví dụ 4. Giải các phương trình sau : a) cot 4x = cot 27t7 b) cot3 =-2:1c) cot (2x – 10″) = –.J3 Gidi27t 2π. 7. a) cot 4x = cot- -> 4x = – + k7 -> y = k k e Z.b) cot 3.x =-2 ke 3.x = arccot(-2) + kit X ニ arccot(-2) + ki, e Z.c). Vì = cot 60° nênJ3 1 o cot(2x-10″) = – cot(2x-10′)=cot60 -> 2x – 10′ = 60′ + k 180″ x = 35° + k90′, k = Z =6 汽。 các phương trình sau:a) cotx = 1 ; b) cotx = -1 ; c) cotx = 0.GHINHỞ Mỗi phương trình sin x = a (la s 1); cos x = a (la < 1); tan x = a ; cotx = a có vô số nghiệm. Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.B Ả I ĐQ C TH Ê MG|ẢI PHƯơNG TRìNH LƯợNG GIÁC CO BẢN | BẢNG MÁY TÍNH BỞ TÚ|Có thể sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) để giải các phương trình lượng giác cơ bản. Tuy nhiên, đối với phương trình sin \ = a máy chỉ cho kết quả là arcsin a với đơn vị là radian hoặc đã được đổi ra độ. Lúc đó, theo công thức nghiệm ta viết Các nghiệm làx = arcsin a + k2TT, k e Z Và x = Tt — arcsin a + k2Tt, k e= Z. Tương tự, đối với phương trình cosx = a máy chỉ cho kết quả là arccosa, đối với phương trình tan_x = a máy chỉ cho kết quả là arctana. Ví dụ. Dùng MTBT CASIO fX – 500 MS, giải các phương trình sau : a) sin x = 0,5 ; b) cos x = - C) tanx = v3. Giải a). Nếu muốn có đáp số bằng độ thì bấm ba lần phím rồi bấm phím "1" để màn hình hiện ra chữ D. Sau đó bấm liên tiếpiena E a B Dòng thứ nhất trên màn hình hiện ra sin 0.5 (có nghĩa là arcsin 0,5) và kết quả ở dòng thứ hai là 30°0°0 (arcsin 0,5 đã được đổi ra độ). Vậy phương trình sinx = 0,5 có các nghiệm làx = 30° + k360°, ke Z Và x = 180՞ — 30" + k360° = 150" + k360°, k = Z , b) Bấm liên tiếpFt ( ) (cos) (()) ( 1 ) (GBR) ( 3 ) G = GCDDòng thứ nhất trên màn hình là cos" — (1 - 3)(Có nghĩa là arccos( và kết quảl 3. ở dòng thứ hai là 109°28'16.3" (arccos() đã được đổi ra độ).27 1.2.3.Vậy phương trình cos \ -- có các nghiệm là Y s+ 109°28'16"+ k360°, ke Z.SHIFT C) Bấm liên tép■@屬@ o) dòng thứ nhất trên màn hình là tan "N3 (có nghĩa là arctan\3) và kết quả ở dòng thứ hai là 60°0'0 (arctan\3 đã được đổi ra độ). Vậy phương trình tan x = N3 có các nghiệm là x = 60° + {180°, k = Z. = CHU Y a) Để giải phương trình sinx = 0,5 với kết quả là radian, ta bấm ba Moo lần phím rồi bấm phím @ shift Sau đó, bấm liên tiếp 鳕 ta được kết quả gần đúng là 0,5236 (arcsin 0,5 s 0.5236), Vậy phương trình sin_x = 0,5 có các nghiệm là χε 0,5236 + K2π, Κ, Ε. ΖVà x = r = 0,5236 + k2rt, keZ. b) Để giải phương trình cotx = a bằng MTBT, ta đưa về giải phươngmàn hình hiện ra chữ R.trình tan_\ = l Bời tộp Giải các phương trình sau : a) sin(x + 2) = 1 ; b) sin 3x = 1 ; c) n --0 d) sin(2x +20°) = -Với những giá trị nào của Y thì giá trị của các hàm số y = sin3.x và y = sinx bằng nhau ?Giải các phương trình sau:b) cos 3x = cos 12”;2 - 1) = : a) cos (x - 1) 3.oo --- - d) cos*2x =28 Giải các phương trình sau : a) sin 3x — cos 5x = 0 ; b) tan 3x tanx = 1.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Phương trình lượng giác cơ bản

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!