Phương trình lượng giác cơ bản –

Ta xét bài toán sau: Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo hình elip (h, 1.18). Độ cao h (tính bằng kilômet) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi Công thức trong đó f là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250km. Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó. Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình冗 Л. 2 550+ 450 cossot = 250, hay cols =一す。Nếu đặt \ = thì phương trình trên có dạng cosx = – iTrên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải các phương trình có một trong các dạngsin_\ = m, cos \ = m, tan_\ = m và cot \ = m, trong đó x là ẩn số (x = R) và m là một số cho trước. Đó là các phương trình lượng giác cơ bản.Phương trình sinx = m. a) Để làm ví dụ, ta xét một phương trình cụ thể, chẳng hạn1 – – 1 SIIA 2 (1) н1 Tìm một nghiệm của phương trình (1).Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể làm như sau : B Xét đường tròn lượng giác gốc A. Trên trục 1sin, ta lấy điểm K sao cho OK = 2. ‘ Đường thẳng qua K và vuông góc với trục sin cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2: き hai điểm này đối xứng với nhau qua trục sin B’ (h.1.19). Ta cóHinih II 9sin(OA, OM)= sin(OA, OM.) = OK = 불Dễ thấy, số đo (rađịan) của các góc lượng giác (OA, OM) và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm của (1). Lấy một nghiệm tuỳ ý của (1), chẳng hạn x = . Khi đócác góc (OA, OM) có số đo 품- k27t ; các góc (OA, OM2) có số đo*ーで+ k2ft (k = 7). Vậysin x = i; ○二> x = + k2n hoặc x = it-it k2n (k e Z).Sử dụng kí hiệu “[” thay cho từ “hoặc”, ta có thể viết lại kết quả trên như sau:1. 2x = + k2n ○二> (k e Z). x = 1 – + k2nsin x =b). Giả sử m là một số đã cho. Xét phương trìnhsin x = m. (I) Hiển nhiên phương trình (I) xác định với mọi x = R. Ta đã biết, sinx| < 1 với mọi x. Do đó phương trình (I) vô nghiệm khi m| > 1. Mặt khác, khi x thay đổi, sinx nhận mọi giá trị từ -1 đến 1 nên phương trình (I) luôn có nghiệm khi |m]< 1. Làm tương tự như đối với phương trình (1), ta cóNếu a là một nghiệm của phương trình (I), nghĩa là sina = m thì = k2 sin x = m V – O + K.2 (k e Z). (Ia) x = л — ox + k.2лTa nói rằng x = a + k27t và \ = ft = a + k2.It là hai họ nghiệm của phương trình (L). Kể từ đây, để cho gọn ta quy ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lượng giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc Z. Chẳng hạn, x = a + k2.It có nghĩa là Y lấy mọi giá trị thuộc tập hợp{α, α + 2π, α + 4π., α + 6π, …}. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:J3 … 2 1) sin x = – – – ; 2) sin x = 3 Gidi ( n) J3 1) Do sin(-i) — nênX = – + K2π. – sinx K=> sin x = sin(-) ぐ二>2 3 x = -(-) 2.x = – + k2n,ぐ二> ،ܐܶ x = + k2n. 2 2 2). Vì ã < 1 nên có số a để sina=$. Do đó 2 - - Α = α + K2π, Sın X - -- «32» S1n_A" - S.1ThQY <> O 3 x = л — oz + k.2л.21H2 Giải phương trình sin \ =sTrong mặt phẳng toạ độ, nếu vẽ đồ thị (G) của hàm số y = sinx và đường thẳng (d): y = m thì hoành độ mỗi giao điểm của (d) và (G) (nếu có) là một nghiệm của phương trình sin_x = m.|H3. Trên đồ thị hàm số y = sinx (h.1.20), hãy chỉ ra các điểm có hoành độ trongkhoảng (0,5ft) là nghiệm của phương trình sin_\ = 프2 N2 – ܢ-ܡ1P– L 2 Oル/目 N. 21كرو N3r 4طر N5. ‘S – – – t ゞーイ語。 +N/4 ` -1 //ình 1.20 CHÚ Ýl) Khi m = {0; +1}, công thức (la) có thể viết gọn như sau: sin x = 1 == 2rsin x = -1 <=> x = -흥 + k27t,sin x = 0 <=> x = kTt. 2) Dễ thấy rằng với m cho trước mà |m]< 1, phương trình 五. エ 2 2 ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsin m (đọc là ác-sin m). Khi đósin_x = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn Người- x = arcsin m + k27t, S1 W = 72 ki> – x = TI – arcsin m + k2nt.Vậy ở ví dụ 1 câu 2) có thể viết2 – E. acsin + k27t,sin x = 3. … 2W = T一 arcsin + k2TL.H2 Giải phương trình sin \ =sTrong mặt phẳng toạ độ, nếu vẽ đồ thị (G) của hàm số y = sinx và đường thẳng (d): y = m thì hoành độ mỗi giao điểm của (d) và (G) (nếu có) là một nghiệm của phương trình sin_x = m.|H3. Trên đồ thị hàm số y = sinx (h.1.20), hãy chỉ ra các điểm có hoành độ trongkhoảng (0,5ft) là nghiệm của phương trình sin_\ = 프2 N2 – ܢ-ܡ1P– L 2 Oル/目 N. 21كرو N3r 4طر N5. ‘S – – – t ゞーイ語。 +N/4 ` -1 //ình 1.20 CHÚ Ýl) Khi m = {0; +1}, công thức (la) có thể viết gọn như sau: sin x = 1 == 2rsin x = -1 <=> x = -흥 + k27t,sin x = 0 <=> x = kTt. 2) Dễ thấy rằng với m cho trước mà |m]< 1, phương trình 五. エ 2 2 ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsin m (đọc là ác-sin m). Khi đósin_x = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn Người- x = arcsin m + k27t, S1 W = 72 ki> – x = TI – arcsin m + k2nt.Vậy ở ví dụ 1 câu 2) có thể viết2 – E. acsin + k27t,sin x = 3. … 2W = T一 arcsin + k2TL.Do |m] < 1 nên đường thẳng (!) cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M, và M2. Hai điểm này đối xứng với nhau qua trục côsin (chúng trùng nhau nếu m = +1). Ta thấy số đo của các góc lượng giác (OA, OM1) và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm của (II). Nếu ox là số đo của một góc trong chúng, nói cách khác, nếu a là một nghiệm của (II) thì các góc đó có các số đo là (a + k2.It và — a + k27t. Vậy ta cóNếu a là một nghiệm của phương trình (II), nghĩa là cosa = m thìx = a + k27t, COSV = 71 ki> (IIa) x = -0 + k27t. н5 Giải phương trình sau: cos \ = – s CHÚ Ý 1). Đặc biệt, khi m = {0 ; +1}, công thức (lla) có thể viết gọn như saucos x = 1 <> x = K27, cos x = -1 <=> x = T + k2ITI, cos x = 0 <=> x = + Kπ. 2) Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước mà| m | < 1, phương trình cosx = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn [0 ; T[]. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccosm (đọc là ác côsin m). Khi đó x = arccosm + k27, COSA = 71 co x = -arccosm + k27. mà cũng thường được viết là X = + arccosm + k2.It. 3) Từ (Ila) ta thấy rằng: Nếu a và/3là hai số thực thì cos/? = cosa. khi và chỉ khi có số nguyên k để /3 = a + k2ft hoặc /? = –ơ + k2rt, k e Z.3.Hãy giải phương trình cos(2.x + 1) = cos(2.x – 1). Phương trình tanx = m. Cho m là một số tuỳ ý. Xét phương trình tank = 1. (III) Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (III) là cosx z 0. Ta đã biết, khi x thay đổi, tanx nhận mọi giá trị từ –ơo đến +2O. Do đó phương trình (III) luôn có nghiệm. Để tìm tất cả các nghiệm của (III), trên trục tang, ta lấy điểm Tsao cho AT = m. Đường thẳng OT cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm MI và M2 (h. 1.22). Ta có tan(OA, OM) = tan(OA, OM2) = AT = m.Hình 1.22Gọi số đo của một trong các góc lượng giác (OA, OMT) và (OA, OM2) là ơ: nói cách khác, ở là một nghiệm nào đó của phương trình (III). Khi đó, các góc lượng giác (OA, OMT) và (OA, OM2) có các số đo là a + kft. Đó là tất cả các nghiệm của phương trình (III) (hiển nhiên chúng thoả mãn ĐKXĐcủa (III)). Vậy ta cótanx = m x = a + kTt.Nếu a là một nghiệm của phương trình (III), nghĩa là tana = m thì(IIIa)Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:1) tanx = — 1 ; 2) tant = 3. Gidi 1). Vì –1 — mêm冗 tanx = — 1 x = – + Kπ.25 4.2). Gọi ø là một số mà tanor = 3. Khi đó tant = 3 α = α + Kπ « » ν = 3α + K3π.(Có thể tìm được một số & thoả mãn tana = 3 bằng cách tra bảng số hoặc dùng máy tính bỏ túi. Cụ thể là a s: 1.249).CHÚ Ý1) Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương trình tan Y = m có 冗 2. hiệu nghiệm đó là arctan m (đọc là ác-tang m). Khi đótanx = m X = arctan m + kTt.2) Từ (IIIa) ta thấy rằng: Nếu a và 6 là hai số thực mà tana, tan/? xác định thì tan/3 = tana khi và chỉ khi có số nguyên k đểđúng một nghiệm nằm trong khoảng |-3 ; 흥 . Người ta thường kíGiải phương trình tan 2 x = tanx.Phương trình cotx = m Cho m là một số tuỳ ý, xét phương trìnhCOt.A – 777. (IV) ĐKXĐ của phương trình (IV) là sinx z 0. Tương tự như đối với phương trình tan_\ = m, ta cóNếu a là một nghiệm của phương trình (TV), nghĩa là cota = m thì cotx = m -> x = a + kit. (IVa)Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:1) cotx = – ; 2) cot3x = 1.Gidi1). Gọi ø là một số mà coto = – tức là tana = -3 (chẳng hạn, bằng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được ơ s–1,249). Khi đó1 COV = – κ-» X = α + Kπ.5.2) col3 = 1 c col3 =cot – 3x = T + kt x= +k D4 12CHÚ ÝDễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương trình cot \ = m cóđúng một nghiệm nằm trong khoảng (0 ; TU). Người ta thường kíhiệu nghiệm đó là arccotm (đọc là ác-côtang m). Khi đó cott = m -> y = arccotm + kit.Giải phương trình cot 2x + =tan6 3.Một số điều cần lưu ý1) Khi đã cho số m, ta có thể tính được các giá trị arcsin m, arccosm (với|m|< 1), arctan m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin ', cos " và tan " (xem bài đọc thêm trang 30).2) arcsin m, arccosm (với | m | < 1), arctan m và arccotm có giá trị là những тt 4 3). Khi xét các phương trình lượng giác ta đã coi ẩn số x là số đo radian của các góc lượng giác. Trên thực tế, ta còn gặp những bài toán yêu cầu tìm số đo độ của các góc (cung) lượng giác sao cho sin (cÔsin, tang hoặc côtang) củasố thực. Do đó ta viết, chẳng hạn arctan1 = 3 mà không viết arctan1 = 45°.chúng bằng số m cho trước chẳng hạn sin(x + 20°) = • Khi giải các phương trình này (mà lạm dụng ngôn ngữ, ta vẫn gọi là giải các phương trình lượng giác), ta có thể áp dụng các công thức nêu trên và lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong "công thức nghiệm" cho thống nhất, chẳng hạn viết x = 30°+ k360° chứ không viết x = 30° + k2rt. Tuy nhiên, ta quy ước rằng nếu không có giải thích gì thêm hoặc trong phương trình lượng giác không sử dụng đơn vị đo góc là độ thì mặc nhiên ẩn số là số đo rađian của góc lượng giác.J3Ví dụ 5. Giải phương trình sin(x +20°) =1. 4.1 51. 6Gidi Vi = sin60° nênsin(x + 20°) = sin(x + 20°) = sin60°x+20°-60° +k360″ x = 40′ + K360′ y–20-180°-60′ +K360′ x = 100′ + k360′ D Giải các phương trình sau:V21) cos(3x – 15°) = – 2) tan 5x = tan 25”.Câu hủi và bài tập. Giải các phương trình sau:… t. … x + 1) – 1.a) sin4* = sin ། b) sin| 5 — TITI 2c) cos = cos^2 d) cos(x 嗣 =5。- a) Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoànhđộ thuộc khoảng (-It: 47t) là nghiệm của mỗi phương trình sau1) sinx — 2) sin x = 1 ;b) Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau 11) cos x = 3 2) cos x = -1.. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã choa) sin2 = – νόi 0 – γ < π :J3b) cos(x - 5) = vái一T tanx = tan(-i) ○二> x = – + Kπ.2 2Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy – V3 = tan- nên giải như sau : 2冗 2冗 tanx = – N3 tan x = tan- A = + krt.Theo em, ai giải đúng, ai giải sai ?- Tính các góc của tam giác ABC, biết AB = V2 cm, AC = V3 cm và đường CaOAH = lcm. (Gợi ý : Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H và trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H).DỦNG MÁY TÍNH BỞ TÚI Để TIM MộT GỐC KH|B|ÉT MÔT GIÁ TRI LƯONG GIÁC CỦA NÖ Các phím sin ‘, cos’ và tan ” của máy tính bỏ túi CASIOf\ – 500MS được dùng để tìm số đo (độ hoặc rađịan) của một góc khi biết một trong các giá trị lượng giác của nó. Muốn thế đối với máy tính CASIO_{\ – 500MS ta thực hiện hai bước sau: Bước 1, Ấn định đơn vị đo góc (độ hoặc rađịan). Muốn tìm số đo độ, ta ấn [1]. Lúc này dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ D. Muốn tìm số đo rađịan, ta ấn [2]. Lúc này dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ R. Bước 2: Tìm số đo góc. Khi biếtsin, côsin hay tang của góc a cần tìm bằng m, ta lần lượtấn phím SHIFT] và một trong các phím sin, , rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím = . Lúc này, trên màn hình cho kết quả là số đo của góc (z (độ hay rađịan tuỳ theo bước 1).CHÚ Ý 1) Ở chế độ số đo rađan, các phím sin ‘, cos ‘cho kết quả (khi |m]< 1) là aresin m, arccosm; phím tan " cho kết quả là arctan m. 2) Ở chế độ số đo độ, các phím sin' và tan 'cho kết quả là số đo góc a từ-90° đến 90°; phim cos' cho kết quả là số đo góc & từ 0’ đến 180°. Các kết quả ấy được hiển thị dưới dạng số thập phân, chẳng hạn 7.065272931”.Ví dụ 1. Để tìm số đo độ của góc ở khi biếtsina = – 0,5, ta lần lượtấn D -0.5 = ܐ-ܝܢ-ܠ ܐ-ܝܢ-– EuሰGC 1 Bước 2 Trên màn hình hiện kết quả –30, nghĩa là a = −30°. Ví dụ 2. Để tìm số đo độ của góc a khi biếtsina = 0,123, ta lần lượtấnMODEMODEMODE DI SHIFT sini 0,123= الصريح الصريحBL/Őc 1 BLÓC 2Trên màn hình hiện kết quả 7.065272931, nghĩa là ox > 7.065272931”. Muốn đưa kết quả này về dạng độ phút-giây, ta ấn tiếpSHIFTI[5m) Trên màn hình hiện kết quả 7-3°54.98, nghĩa là a s:7°3’54,98’s 7°3’55”.Ví dụ 3. Để tìm số đo rađịan của góc 2 khi biếttana = N3 – 1, ta lần lượtấnMODE MODE MODE [2] SHIFT kan (C) N 3 DI DE=} ートペーン一イBƯớc 1 BL/3C 2 .)1 — h hiệ i.e. 31914312, đó là giá trị gầ .” arctan(N3 ܬܥܝܐ ܢܝ ܥܐ Luyệm tập 23. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: – 1 – cos x . sin(x – 2) . a) y = 2 sin x + N2 ” b)y= cos 2x — cos x tail1 C) y=ー: d) y = — )y千Tエ y N3cot2x + 1 24. Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-Vơ-ran (Canaveral)ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng31Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán (quanh đường Xích đạo) của mặt đất như hình 1.23 : điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng A mô tả cho đường xích đạo. Khoảng cách h (kilômet) từ M. đến A được tính theo công thức, trong đó với t (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d>0 nếu M ở phía trên A, d<0 nếu M ở phía dưới A. a) Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-Vơ-ran (tức là ứng với t=0). Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng A, trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-Vơ-ran. b) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d=2000. c) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = -1236.(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).kính 2,5m ; trục của nó đặt cách mặt nước 2m (h. 1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đóy = 2 + 2.5 sin| 2=(x - Hình 1.24 Với X là thời gian quay của guồng (Y>0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y> 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hoà trang 15). Hỏi: a) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ? b) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ? c) Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào ? Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, giải các phương trình sau:a) cos 3x = sin 2x ; b) sin(x - 120°) — cos 2x = 0.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Phương trình lượng giác cơ bản

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!