Phương trình mặt phẳn –

Trong hình học không gian ở lớp 11 ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng, chẳng hạn như xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau, … . Bây giờ ta sẽ xác định mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ.Các bức tường của toà nhà cao tầng hiện đại cho ta hình ảnh của mặt phẳng trong không gian1- VECTO PHÁPTUYÊN CỦA MATPHÂNGĐịnh nghĩaCho mặt phẳng (C). Nếu vectơ rỉ khác ό να ρό giá vuông góc với mặt phẳng (O) thì rỉ được gọi là vectơ pháp tuyến сиа (a).69 Lẽ°Chú ý. Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì km với k = 0, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.(Bài toán Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (C) và hai vectơ không cùng phương ā = (a, ; a2; a3), b = (b. ; b2; bi) có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (C). Chứng minh rằng mặt phẳng (C) nhận vectơm = (aaba — aვb2 : aab) — aqbვ: aab) — aეb|)làm vectơ pháp tuyến. Ta có: ả.ĩ = a(a2b} – aạb2) + a2(aab – a,b3)+ a3(a,b2 = a2 bị)aqaეbვ — aეdqbვ)+(dვaqb) — audვb2) + (aეdვb — dვaეb|)Tương tự 5.ĩ=0.Vậy vectơ m vuông góc với cả hai vectơ ä và b, có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt – phẳng (C) (h.34). Suy ra giá của nỉ vuông góc với mặt phẳng (C). Vì ä, b không cùng phương nên các toạ độ của n không đồng thời bằng 0, مطر( suy ra ni z0. Do đó vectơ nỉ là một vectơ pháp tuyến của mặt Hình 34 phang (a). Vectơ rỉ xác định như trên được gọi là tích có hướng (hay tích . vectơ) của hai vectơ ä và b, kí hiệu là rỉ=ả A b hoặc而=ü列A. Trong không gian OXyz cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4: 0:1), C(-10; 5: 3). Hãy tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẵng (ABC).II. PHƯơNG TRìNH TỐNG QUÁT CỦA MAT PHẢNG(Bài toán 1 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (C) đi qua điểm Mo (\o; yo; zo) và nhận m (A; B: C) làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x, y, z) thuộc mặt phẳng (O) là: A(x-xo) + B(y-yo) + C(2-20) = 0. 9iải Ta có MM = (w – wo : y = yo : z – zo) (h.3.5) Me (a) – MM c(o)e ři || MoMo «» п.мом = о«=» A(x – x0) + B(y — yo) + C(z — zo) = 0.ހޫހހ,، | )ޙީHình 35(Bài toán 2 Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x : y); 2) thoả mãn phương trình AA + By + C2 + D = 0 (trong đó các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận vectơ n = (A : B; C) làm vectơ pháp tuyến. | giải Ta lấy điểm Mo(\o; yo; 20) sao cho A\o+ Byo+ Cz0 + D = 0 (chẳng hạn nếuA #0 thì ta lấy \0= 一尝 ;y0=Z0=0)Gọi (O) là mặt phẳng đi qua điểm Mo và nhận rỉ = (A: B: C) làm vectơ pháp tuyến. Ta có:M E (CY) «-» A(x – x0) + B(y-yo) + C(z — zo) = 0 c=2 Ax + By+ CZ – (Avo+ Bylo + Czo) = 0 «» Ax + By+ Cz + D = 0 v D = – (Avo + Byo + Czo).Từ hai bài toán trên ta có định nghĩa sau.1. Định nghĩa+ Phương trình có dạng AA + By+ C− + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.Nhận xéta). Nếu mặt phẳng (C) có phương trình tổng quát là AA + By + C2 + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là m (A: B: C).b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mo(\o; yo; zo) nhận vectơ ri (A : B: C) khác ổ làm vectơ pháp tuyến là A(x- \0) + B(y – yo)+C(2 – 20) = 0.A. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C): 4X-2y-6z+7=0.As Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP). Với M(1:1; 1), N(4; 3:2),72P(5;2; 1).2. Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (C): Ax + By + Cz + D = 0. (1) a). Nếu D = 0, thì gốc toạ độ O có toạ độ thoả mãn phương trình của mặt phẳng (C). Vậy (C) đi qua gốc toạ độ O (h.3.6).Ax + By + Cz =Hình 3,6 b) Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A=0 thì mặt phẳng (C) có vectơ pháp tuyến là n = (0; B; C). Ta có ni = 0. Do i là vectơ chỉ phương của O\ nên ta suy ra (C) song song hoặc chứa trục OY (h.3.7a).By+Cz+ D=0 Ax + Cz + D = 0 Ax + By + D = 0 a) b) c) Hình 3.7As Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng (C) có đặc điểm gì ?c). Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0, ví dụ A = B = 0 và C. z 0 thì từ trường hợp b) ta suy ra mặt phẳng (C) song song với Ov và Oy hoặc (C) chứa OY và Oy. Vậy (C) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) (h.3.8a).By + D = 0a) b) C) Hình 3873 As Nếu A = C = 0 và B + 0 hoặc nếu B = C = 0 và A z 0 thì mặt phẳng (C) có đặc điểm gì ?Nhận xét Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì bằng cách đặt a = 一尝– P. c=-P, ta có thể đưa B C phương trình (1) về dạng sau đây:Y Z ー+ニー+ー=1. 2 α b c (2)Khi đó mặt phẳng (C) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm Hình 39 có toạ độ là (a); 0: 0), (0; b :0), (0: 0; c). Người ta còn gọi phương trình (2) là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn (h.3.9).Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(1: 0; 0), N(0; 2: 0), P(0:0:3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP).Gidi Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng (MNP) là:.0 = 6 – 22+ hay 6x+3y 1 = 2 + لا +گ 1 2 3III. ĐIÊU KIÊN ĐÊ HAIMATPHÂNG SONG SONG, VUÔNG GỐC As Cho hai mặt phẳng (C)và (/) có phương trình(α) , χ-2y + 3Z+ 1 = 0,(6): 2x-4y + 6z + 1 = 0.Có nhận xét gì Về Vectơ pháp tuyến của Chúng ?74 Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (C4) và (x2) có phương trình (a) : Ax + By + Cl2 + D = 0, (O2) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó (O4) và (O2) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là n = (A : B ; C), n = (A : B ; C2). Ta xét điều kiện để hai mặt phẳng (O4) và (x2) song song hoặc vuông góc Với nhau. I. Điều kiện để hai mặt phẳng song song– п,Nو اسمبر頑。۱) امر+ዘrገh 3.10Ta nhận thấy hai mặt phẳng (O4) và (x2) song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi chúng cùng vuông góc với một đường thẳng, nghĩa là khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến rĩ, và n) của chúng cùng phương (h.3.10).Khi đó ta có: n = km2. Nếu D = kD, thì ta có (C4) trùng với (O2).Nếu D, A. kD, thì (CX1) song song với (O2).75Vậy ta suy rani = kñi, college 7, e B; C)= k(A: B ; C2) D) # kD 2. ñ, = kñi, career,( Al : Bi : Ci ) = k(Ꭺ2 ; Ᏼ, ; C. ) D = kD.yܒ»[à°Chú ý (C4) cắt (23) → fii + kĩ, (h.3.11) ce (A. B. C.) # k(A, B, C).-»G nHình 3:11Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng (C) đi qua điểm M(1: -2:3) và song song với mặt phẳng (6):2\ -3y + 2 + 5 = 0. Giải Vì mặt phẳng (O). Song song với mặt phẳng (/) nên (O) có vectơ pháp tuyến n = (2: -3: 1). Mặt phẳng (C) đi qua điểm M(1;-2:3), vậy (O) có phương trình: 2(x – 1)-3(y +2) + 1 (2-3) = 0, hay 2x-3y +2 – 11 = 0.76 2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông gócHình 3.12Ta nhận thấy hai mặt phẳng (O4) và (x2) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến rĩ, và n) tương ứng của chúng vuông góc với nhau (h.3.12). Vậy ta có điều kiện: B (Cz) i (Cz) <= linx = 0 4- AA+ BB + C C = 0. Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng (C) đi qua hai điểm A(3; 1: -1), B(2; -1,4) và vuông góc với mặt phẳng (/2) có phương trình : 2rーy+3zー1=0. 9ịái Gọi n9 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (6). Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (O) là : AB=(-11-2:5) vip = (21-13). Do đó mặt phẳng (C) có vectơ pháp tuyến: n = ABA = -1 13:5) Vậy phương trình của (CZ) là: -1(xー3)+13(yー1)+5(z+1)=04= xー13yー5z+5=0.77 IV- KHOẢNG CÁCH TƯ MÔT ĐIÊM ĐÊN MÔTMATPHẢNGĐịnh líTrong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (C) có phương trình 2. Ax + By + C2 + D = 0 và điểm M0(\o; yo:20). Khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (C), kí hiệu là d(M0, (x)), đượctính theo công thức:Alvin -- By + Cz +D d M. (2)=oooo."? A + B2 + C2 Chứng minh Gọi M1(\! : y); Z1) là hình chiếu M vuông góc của M0 trên (C) (h.3.13). O Xét hai vectơM1Mo = (x0 - Ai ; yo -- yi ; zo – z1) và n = (A; B: C), ta thấy MIM0 và ^rỉ cùng phương vì giá của chúngcùng vuông góc với (O). Suy ra: Hình 3.13 MMon=|MMon |A(xo - x) + B(yo - y) + C (zo – z1) = |Aixo + Byo + Czo + (-Av — By – Cz). (1) Mặt khác vì M4 thuộc (ø) nên ta có: Ax + By + Cz + D = 0 hay D =-Ax-By-Cz. (2)Thay (2) vào (1) ta được M. Mori =|Axo+ Byo + Czo + D|. Gọi khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (C) là d(M0, (ø)). Vạy de Mo. (a) = |M, MoI- |Axo + Bylo + Czo+ D历h|AYo + Byо + Cго + L이NA? + B + C2Ví dụ I. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm M(1: -2: 13) đến mặt phang (a): 2x-2y-2 + 3 = 0.Giải Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên ta có: 2.(O)-2.(0)-(0)+3 d(O, (Oz)) = |2.0-2.(0)-(0)+3|_3_ l; W2+(-2)?--(-1)? 3 2.1-2.(-2)-13+3 4 d(M. (O) = -------보. W2+(-2)-4-(-)? Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (C) và (/) cho bởi các phương trình. Sau đây: (a): x + 2y+ 2 + 11 = 0, (6): x + 2y + 22 + 2 = 0. .ܶ * • Giải Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. Ta lấy điểm M(0: 0; -1) thuộc (/), kí hiệu d((CZ), (/?)) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ø) và (/?), ta có:O)+2.(O)+2.(-1)+11 aco, (b) - a M. (a)- 1939 ==3.V12 + 2 + 2A7 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (C) và (/) cho bởi các phương trình sau đây:1.23.4.S6.7.(a): x -2 = 0, (6): X-8 = 0.BÂI TÂP Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz. Viết phương trình của mặt phẳng: a). Đi qua điểm M(1:-2:4) và nhận n = (2:3:5) làm vectơ pháp tuyến: b) Đi qua điểm A(0:-l:2) và song song với giá của mỗi vectơ ü = (3): 2: 1) và v” = (—3 ; 0; 1); c) Đi qua ba điểm A(-3:0:0), B(0:–2:0) và C(0; 0;-1).- Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2:3: 7),B(4; 1; 3).a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oỵ2), (0 \z).b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6: -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ.Lập phương trình của mặt phẳng:a) Chứa trục OY và điểm P(4: -1; 2):b) Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4: -3);c) Chứa trục Oz và điểm R(3: –4:7).. Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; l:3), B(1; 6: 2), C(5:0:4), D(4: 0; 6).a). Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD). b). Hãy viết phương trình mặt phẳng (C) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. Hãy viết phương trình mặt phẳng (C) đi qua điểm M{2: -1; 2) và song song với mặt phẳng (6):2x - y +3z+ 4 = 0.Lập phương trình mặt phẳng (C) đi qua hai điểm A(1: 0:1), B(5:2:3) và vuông góc với mặt phẳng (6):2\ = y + 2 – 7 = 0.Giải bài toán sau đây bằng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh bằng 1. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (B'C'D) song song với nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Phương trình mặt phẳn

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!