Tích vô hướng của hai vectơ –

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ OA = a và OB = b (h.35). Khi đó: Số đo của góc AOB được gọi là Ο số đo của góc giữa hai vectơ a và b, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ a và b.2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ Trong Vật lí, ta có khái niệm “công sinh bởi một lực”. Giả sử một lực không đổi F tác dụng lên một vật làm cho vật đó di chuyển từ điểm O đến điểm O'(h. 37).Khi đó lực F đã sinh ra một công A tính theo công thứcHình 37A = |Fioolcosco, trong đó 因 là cường độ của lực F tính bằng Niutơn (kí hiệu là N), |Oofii là độ dài vectơ OO’ tính bằng mét (kí hiệu là m), (2 là góc giữa hai vectơ F và OO”. Công A được tính bằng Jun (kí hiệu là J). Như vậy J = N. m. Trong Toán học, giá trị A trong biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ F να οΟ’. Tích vô hướng của hai vectơ ä và 5 là một số, kí hiệu là ά δ, được xác định bởi α. b = |a|.||5||cos(ā, Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh a và trọng A tâm G (h. 38). Tính các tích vô hướng sau đây ABAC ; AC. CB ; AG. AB ; GB. GC : BGGA : GABC. Giải. Theo định nghĩa, ta cóAB. AC = a.a. cos 60° = a? Hình 38AC. CB = a.a. cos 120o = – شهAG. AB = ༩ ༩.cos.30’ – 1.2 . 3. 3. – – 2 BG . GA = ad a cos6 = . ; 3 3. 6 GABC = aa.cos9 = 0.22 Trong trường hợp nào thì tích vô hướng của hai vectơ ä và b bằng 0 ? Bình phương vô hướng Với vectơ ā tuỳ ý, tích vô hướng ā.ã được kí hiệu là (a) hay đơn giảnhơn là đ” và gọi là bình phương vô hướng của vectơ ā. Từ định nghĩa của tích vô hướng ta códo-lal.laicosOo =lao.VậyBình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.Héc-man Grat-xơ-man (Hermann Grassmann 1808 – 1877), nhà toán học Đức, là cha đẻ của tích vô hướng của hai vectơ mà ông đã kí hiệu là tỉ ^ W. Chính việc nghiên cứu thuỷ triều dẫn ông đến các khảo sát về vectơ.3. Tính chất của tích vô hướng |23] Với hai số thực a và b, ta có ab = ba. Vậy với hai vectơ đi và b, ta có tính chất tương tự hay không ? 46 ĐINH LíVới ba vectơ ä, 5, c tuỳ ý và mọi số thực k, ta có1) ά , b = b . ά. (tính chất giao hoán); 2) ά.5 = 0 κ. ά Ι 5 : 3) (kā). b =ā.(kb) = k(ā.b);) 4) ā.(5 + C)= d. 5 + ả.ẽ (tính chất phân phối đối với phép Cộng) ; ã (5 – C)= ā.5 – ả.ẽ (tính chất phân phối đối với phép trừ).Ta có thể dễ dàng chứng minh được các tính chất 1, 2, 3. Tính chất 4 được thừa nhận, không chứng minh.Dùng các tính chất của tích vô hướng, ta có thể chứng minh các hệ thức sau(a + b)” = a + bo+2d5; (1)(а — Бу* = a* + 5* – 2аb { (2)– -12 (a + bi).(a-b)=a-b =a-b. (3)Sau đây ta chứng minh hệ thức 3. Theo tính chất phân phối, ta có (a+b)(a-b) = d.(a – b) + b (a-b;- – – -12Ba-b = a-b = a-b.)2 汽。 chứng minh các hệ thức (1) và (2). Ta biết rằng với hai số thực bất kì a và b, luôn có (ab” = a”b”. Vậy với hai vectơ bất kì ả và 5, đẳng thức (ã.5* = đ”.5° có đúng không ? Viết thế nào mới đúng ? Bài toán 1. Cho tứ giác ABCD. a) Chứng minh rằngAB“ + CD° = BC* + AD°+2CA.BD. b) Từ câu a), hãy chứng minh rằng : Điều kiện Cẩn và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.Giaii. (h. 39) B a) Ta có AB + CD? — BC? — AD? A. C = (CB – CA) + CD – CB – (CD-CA) = -2CB.CA + 2CD.CA = 2CA.(CD — CB)=2CA.BD. D Hình 39Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Từ a) ta có ngay :CAL BD «-> CA. BD = 0 <=> AB? + CD? = BC? + AD?.Bài toán 2. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số ko. Tim tập hợp các điểm M sao cho MA.MB = k”. Giải (h.40). Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB, ta cóMA. MB = (MO + OA). (MO + OB) = (MO + OA). (Mo — OA)-2 -2 = MO – OA = Moo — OA? = Moo — a?. Hình 40Do đó MA.MB = k – MO – a = k – MO = k + a. Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = \k° + a”. Bài toán 3. Cho hai vectơ OA, OB. Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. Chứng minh rằng OA. OB = OA. OB”. Chứng minh. Nếu AOB < 90° (h.41a) thì B. OA. OB = OAOB. cosÃOB= OA. OB" - O - OAOB", cos 0 O B" A Β Ο A. = OA, OB". Hình 41Còn nếu AOB > 90° (h. 41b) thì OA. OB = OAOB. cos AOB = – OAOB. cos BOB = — OAOB” = OA, OB”, cos 180o = OA. OB”.Vector OB’ gọi là hình chiếu của vectơ OB trên đường thẳng OA.Công thức OA. OB = OA. OB” gọi là công thức hình chiếu.3.汽。 phát biểu bằng lời kết luận của Bài toán 3. Bài toán 4. Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng 4 thay đổi, luôn đi qua M, cắt đường tròn đó tại hai điểm A và B. Chứng minh rằngMA.MB = Mo” – R”.Chứng minh. (h.42). Vẽ đường kính BC của đường tròn (O; R). Ta có MA là hình chiếu của MC trên đường thẳng MB. Theo công thức hình chiếu, ta cóHình 42 MAMB = MC. MB = (MO + OC). (Mo + OB ) – – – – -2 -2 = (MO – OB).(MO + OB) = MO – OB= d” – R” (vớid=MO).4-hhoNC-A CS- CHÚ Ý1) Giá trị không đổi MA.MB = d” – R” nói trong Bài toán 4 gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là 7°M/(O)7 o = MA. MB =d – R” (a-Mo.)2) (h, 43). Khi điểm M nằm ngoài đường tròn (O), MT là tiếp tuyến của đường tròn đó (T là tiếp điểm), thìT -+2 3/мо = MT7 = Mт”. Hình 43 4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Trong hệ toạ độ (O: i, j) Cho d = (x : y) và b = (x”; y”). Tính- 2- 7. .ܝ ب- ب 42- 2– a) ή ) , ή , b) d.b.; c) a ; d) cos(a,b).Các hệ thức quan trọngCho hai vectơ ä = (x : y) và b = (X’; y’). Khi đó 1) d.5 = X.x’+ yy’; 2)团=V°+y°; —2 23) cos(ā, b) = ά και ό. 5 και ό). +y’Đặc biệt : ä | b <> X.xʻ + yyʻ = 0.5 汽。 hai vectơ ä = (1:2) và b = (-1; m). a) Tìm m để ä và b vuông góc với nhau. b) Tìm độ dài của ä và 5. Tìm m để läl=|5| 50a-hhonic-b 4.5.6.HÊ QUẢ Trong mặt phẳng toạ độ, khoảng cách giữa hai điểm M(YM ; yM) và N(\\; yN) làMN = MN = (xx-x) + (yx -y).Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm M(-2; 2) và N(4; 1). a) Tìm trên trục Ox điểm P Cách đều hai điểm M. N. b) Tính côsin của góc MON.Giải a). Vì P thuộc trục Ox nên P có toạ độ (p:0). Khi đó MP = NP «=> MP° = NP° «=> (p + 2)° + 2° = (p — 4)° + 1°.Từ đó ta được phương trình 12p= 9, suy ra p = Vậy P = ;0).b) Ta có OM = (-2; 2) và ON = (4; 1). Vậycos MON = cos(ом. ON)Côu hỏi và bài tộp Trong trường hợp nào tích vô hướng ά.5 cό giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0 ? Cho tam giác ABC. Tổng (AB. BC) + (BC, CA) + (CA, AB) có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau:90”; 180°: 270°; 360°? Cho tam giác ABC vuông ở A và B = 30°. Tính giá trị của các biểu thức sau a) cos(AB, BC) sin(BA, BC) u (ACCP)b) sin(AB, AC) — cos(BC, BA) cos(CA, BA).Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A (-4 ; 1), B (2 ; 4), C(2 ; -2). Tính chu vi và diện tích của tam giác đó. Tìm toạ độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I, G, H.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Tích vô hướng của hai vectơ

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!