Hệ toạ độ trong không gian –

Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ toạ độ Oxyz (h.3.1). Hình 3.1 Điểm O được gọi là gốc toạ độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ, Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. Vi i. i. * là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: -2 – 2 -2 i = j = k = 1 va iյ=յk=ki = 0. A. Trong không gian OXyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i, j & đã cho trên các trục Ox,Oy. Oz.2. Toạ độ của một điểm Trong không gian OAyz, cho một điểm M. tuỳ ý. Vì ba vectơ i. j. R không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x : y); z) duy nhất sao cho:OM = xi+yj+ zik (h.3.2).Hinh 3.2 Ngược lại, với bộ ba số (x, y, z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thoả mãn hệ thức OM = xi+ уј + zk. Ta gọi bộ ba số (x, y, z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho và viết: M = (\; y; 2) hoặc M(\; y; 2). 3. Toạ độ của vectơ Trong không gian Oxyz cho vectơ ä, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (aq; a2 ; a3) sao cho: d =a+a)+ask Ta gọi bộ ba số (at; a2; a3) đó là toạ độ của vectơ ả đối với hệ toạ độ Oxy: cho trước và viết ä = (a, ; a2: a3) hoặc ả(a: ; a2; a3). Nhận xét. Trong hệ toạ độ O\yz, toạ độ của điểm M chính là toạ độ của vectơ OM. Ta có: M = (x : y); z) → OM = (x; y, z).A. Trong không gian OXyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’có đỉnh A trùng Với gốc 0. Có AB. AD, AA” theo thứ tự Cùng hướng Với j, 8 và có AB=a, AD=b, AA’= c. Hãy tính toạ độ các vectơ AB.AC, AC và AM với M là trungđiểm của cạnh CD” II- BIÊU THỨC TOA Độ CỦA CÁC PHÉPTOÁN VECTO| Định lí Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ä = (a, ; a2; a3) vàБ= (b. Б. Б.). Та са :b) d=b=(ai -bi : ao -by : a3-bs),c) kā = k(a: a:a)=(ka; ka: kas)với k là một số thực. Câứng minh Theo giả thiết: ä=aii + a2.j+aạo, 5=b,ĩ+b.j+b}*. = a+b=(a+b+(a+b)+(a+b).Vậy ả+5= (a + b : a2 + b : a + b). Chứng minh tương tự cho trường hợp b) và c).Hệ quả a) Cho hai vecto āi = (a; a ; als) Và b=(b, b: b3). a=h Ta có: ä = b <=> 3 a2 = b. – ds=bs… b) Vecto 0 cό toạ độ là (0; 0, 0). c) Với 5z Ở thì hai vectơ ä và 5 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho : a1 = khi, a2 = kh2, d3 = kh d) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm A(x,4; y A, 2A), B(xB; yB ; zB) thi :AB =OB-OA = (x – xA:ye-YA:26-2A). • Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB làM*AT *B*AB 2 2 2III. TÍCH VÔ HUỐNG I. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng pլոh If Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ α = (α1, α2 : ας) να b ={b1, b2; bi) được xác định bởi công thức= a(b + aეb) + dვbვ Chứng minh-2 — — – – = a1b1i + a1b2i.j + absi, k + a2b jili +-2 – – — – – -2 + a2by j + aეbვ.jik+ aვby ki+ aვby k.j+ dვხვk .Vì f=7° =ē=1 và ij=j{={i=0 nêndb= aqb| + aეხ2 + dვხვ. 2. Ứng dụng d) Độ dài của một vectơ. Cho vectơ ä = (a, ; a2; a3).Ta biết rằng = hay läl= Nã”. Do đó|d = Na+aਨੂੰ+a. b) Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(\A; yA; 2A) và B(\p; yp; Zp). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ AB. Do đó ta có:AB = |AB| = W(x – xA) + (y-ya) + (-a -zA)”.c) Góc giữa hai vectơ. Nếu () là góc giữa hai vectơ ä = (a, ; a2; aạ) và5=(h: b; b) với ā và 5 khác ổ thì cos() = • Do đó: |al.5 – . а+ b + аn>bn + a (p = cos(a, b) = * |b| + aეb2 + dვbვ+。Từ đó ta suy ra ä || 5 <> aqb) + aეb2 + a3b3 = 0.As Với hệ toạ độ OXyz trong không gian, cho ä = (3: 0:1), b = (1; -1, -2), ẽ = (2; 1;-1). Hãy tính ả(5+c) và lã+5.IV- PHƯONG TRìNH MẢTCÂU| Định lí | Trong không gian Oxy2, mặt cẩu (S) tâm /(a, b, c) bán kính r + Có phương trình là : Chứng minh Gọi M(\; y; z) là một điểm thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r (h.33). Khi đó: M = (S) → IIMi=r 6-> +(y-b)* +(z-c)* = r e (y-a) + (y-b)+(2-c) = r.Do đó (x-a)* +(y-b)* +(z-c)* = r la phương trình của mặt cầu (S).Hình 3.3As Viết phương trình mặt cầu tâm |(1;–2:3) có bán kính r = 5.Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng: 2 +y + = -2a Y-2by–2C2 + d’= 0 với d’= a’ + b + c2-r.Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng x° + y^+-”+2Ax+2By+2C2 + D = 0 với điều kiện A° + B° +C*-D> 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(-A ; -B ; -C) có bán kínhr = NA? + B + Co — D. Ví dụ. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :2 +y+: +4xー2y+6z+5=0.67 Cho ba điểm A = (1;–1;1), B = (0;1;2), C = (1;0;1). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Hệ toạ độ trong không gian

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!