Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
• Sách giáo khoa hình học 12
• Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
• Giải Toán Lớp 12
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Hệ trục toạ độ trong không gian. Trong hình học phẳng, ta đã biết hệ trục toạ độ trên mặt phẳng. Hệ đó thường được kí hiệu là Oxy hoặc (O; i ;j). Bây giờ ta thiết lập hệ trục toạ độ trong không gian. Trong không gian, xét ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz có chung điểm gốc O và đôi một vuông góc với nhau (h.56).ĐịNH NGHIA 1Hệ gồm ba trục Ox,Oy, O2 đôi một vuông góc được gọi làhệ trục toạ độ vuông góc trong không gian. Thuật ngữ và kí hiệu Hệ trục toạ độ trong định nghĩa trên còn được gọi đơn giản là hệ toạ độ trong không gian, và kí hiệu là OAy2. Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy. O: lần lượt là i,j, k và còn kí hiệu hệ trục toạ độ là (O: i,j, k) Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ, hoặc đơn giản là gốc toạ độ, OY gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung, O2 gọi là trục cao. Các mặt phẳng đi qua hai trong ba trục toạ độ gọi là các mặt phẳng toạ độ, ta kí hiệu chúng là mp(Oxy), mp(Oy2) và mp(O.Y2), hoặc đơn giản hơn là (Oxy), (Oyz), (OX2). Khi không gian đã có một hệ toạ độ Oxyz thì nó được gọi là không gian toạ độ Oxyz hoặc đơn giản là không gian O\yz. Ta cần chú ý tới các đẳng thức sau đây:Tại sao ta có các đẳng thức trên ? 70 2. Toạ độ của vectơ Trong không gian toạ độ Oxyz với các vectơ đơn vị ĩ.j. k trên các trục, cho một vectơ lĩ. Khi đó có bộ ba số duy nhất (x,y,z) sao cho tỉ= xỉ + yj+ k. ܢBộ ba số đó cũng được gọi là toạ độ của vectơ tỉ đối với hệ toạ độ Oxyz và kí hiệu tỉ = (x : y); z) hoặc tỉ (x : y); z). Vậy :i=(x:y:z)<= i(x:y:z)や = x + j +Hiển nhiên theo định nghĩa và kí hiệu trên, ta có i = (1,0,0) , j = (0:1:0) : k = (0, 0:1). |?2]. Tại sao nếu vectơ и сб toạ độ (x : y); ...) đối với hệ toạ độ (O; i,j, k ) thì x = nulli ; y = u.j = ? Ví dụ 1. Trong không gian toạ độ (O j, F), gọi J, J K là các điểm sao cho i = OI, j = OJ. & = OK. Gọi M là trung điểm của JK, G là trọng tâm tam giác IJ.K. a). Xác định toạ độ của vectơ OM. b). Xác định toạ độ của vectơ MG. Giải (h.57)a) Ta có7-07-05-0 - 봉| 1 do đó OM =(0;};} Hình 57 b) Ta có MG = OG- OM = I(O) + OJ + OK) – (OJ + OK) Từ định nghĩa về toạ độ của vectơ, ta dễ dàng suy ra các tính chất sau đây:Cho Các vectơ டி =(\m : y1 : 1). ம =(x2:y2:22)wdsöktuyy. fa có :1) "η πιο «o ν = 2, ν = y2, ε = 22 2) it tu, (A, txi yi ty; it.) 3) ku = (kx); ky kzn ) *)cm=やや+y。サー。 一1_F 5) |m= l, F )+)+壬 - - V、Y。十V:V。十二、二 6) cos(, )= *1x2+ysy2+ーに2 2 - .2 2 .2 . .2 2 *「+y「+ー・Vx5+yg+。 νόήι έ0, τις με 07) It, L - டி = 0 = r, +yiy2+zー2=0.3. Toạ độ của điểm Trong không gian toạ độ Oxy-, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi vectơ OM (h.58). Bởi vậy, nếu (\; y: 2) là toạ độ của OM thì ta cũng nói (\:y:: - là toạ độ của điểm M và kí hiệu là M = (\; y:: -) hoặc M(\:y:2),Như vậy :Hith 58Nếu điểm M có toạ độ (x : y:: -) thì số \ gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số 2 gọi là cao độ của điểm M. |23|Cho hệ toạ độ Oxyz và điểm M(\:y; z). Tại sao có các khẳng định sau: ? a) M = O => x = y = z = 0. b) M = (Oxy) → 2 = 0, tức là M = (x : y:0). M = (0yz) x_2 \ = 0, tức là M = (0:y:: -). M = (O\z) x=> y = 0, tức là M = (\: 0: -). |?4Với điều kiện nào của x, y, z thì điểm M(\:y; z) nằm trên một trục toạ độ ?1 Trên hình 59 có một hệ trục toạ độ Oxyz cùng với các hình vuông có cạnh bằng đơn vị.//ình 59 a)Xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, b). Dựng điểm P nếu P = (3): 6: -3).4. Liên hệ giữa toạ độ của vectơ và toạ độ của hai điểm mút Cho hai điểm A(VA: yA: 2A) và B(\p; y B: ZB). Theo định nghĩa, ta có OA = (VA, VA, 2A) và OB = (\p:yp: -p). Ta lại biết rằng AB = OB — OA. Từ đó ta suy ra toạ độ của vectơ 4B và độ dài của nó:1)巫=(\aーやa;ya-ya:。一ー)2 2 .7 VA)” + (yp–yA)” +(=p -zA۔ – p\۔2Trong không gian toạ độ Oxyz cho bốn điểm không đồng phẳng A(vA: ya: -2), *(\a;ygーa) C(\c:Xcーc) P(xp:Yp:ーp) a) Tìm toạ độ của trung điểm đoạn thẳng AB. b) Tìm toạ độ của trọng tâm tam giác ABC. c) Tìm toạ độ của trọng tâm tứ diện ABCD. Ví dụ 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 3: -1), B(2: 3: – 4), C(1:2:0), D(3 : 1; -2).1. Chứng minh rằng:a). Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng : b) Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau : c) Hình chóp D.ABC là hình chóp đều. 2. Tìm toạ độ chân đường Cao H của hình chớp D.ABC,Giải1. a) Ta phải chứng minh ba vectơ DA = (2: 2: 1), DB = (−1 : 2 : –2) và DC = (-2: 1: 2) không đồng phẳng. Rõ ràng hai vectơ DB và DC không cùng phương nên nếu ba vectơ DA. DB, DC đồng phẳng thì phải có các số m và n sao cho-n – 2n = 2 mDB + n DC = DA hay 2m + n = 2 -2n + 2n = 1.Dễ thấy hệ phương trình trên vô nghiệm, suy ra ba vectơ ấy không đồng phẳng. b) Ta có DA = (2; 2: 1) và BC =(-1;–1:4). Vậy DABC = -2-2 + 4 = 0. Suy ra DA || BC. Làm tương tự ta cũng có DB || AC và DC || AB.c) DA = V2 + 2 + 1 = 3;DB – (-r) + 2 + -2 = 3;DC = (–2) + 1 + 2* = 3. Tương tự, ta cũng có AB = BC = CA = Vậy D.ABC là hình chóp đều. 2. Vì DABC là hình chóp đều nên H trùng với trọng tâm tam giác ABC hayOH = {{OẢ+ OB +OC). Từ đó suy alH=(-). 3 3 35. Tích có hướng của hai vectơTa đã biết về tích vô hướng của hai vectơ. Ta cần nhớ rằng tích đó là một số và có thể tính được dễ dàng nếu biết toạ độ của hai vectơ. Sau đây ta sẽ nói về tích có hướng của bai vectơ. Khác với tích vô hướng, tích có hướng không phải là một số mà là một vectơ, bởi vậy tích có hướng còn được gọi là tích vectơ. ĐịNH NGHIA 2 Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ ü(a; b; c) và V(a’; ‘b’; c”) là một vectơ, kí hiệu là [ũ, V] (hoặc ü AV), được xác định bằng toạ độ như sau :- 1_P ‘. (a,r)=(|0 Ví dụ 3. Cho tỉ = (1: 0; -1) và V = (2 : 1 : 1) thì ta có:エ エ lー O -1-1 1||1 O H – – – -(i. 3: 1).Đối với hệ toạ độ (O; i.j.k) , hãy chứng tỏ các Công thức sau đây đúng:CC Clb = (bc” — b’c; ca ” — c’a; ab” — a “b). α’ b3.Tính chất của tích có hướngCác tính chất sau đây của tích có hướng thường được áp dụng khi giải một số bài toán hình học :1. Vectơ [ũ, V] vuông góc với cả hai vectơ ữ và V, tức là 阮可i=证可可=0 2. |[ū, v) = |ül.lvl. sin(ū, v).3.[a,可 =0 khi và chỉ khi hai vectơ ữ và 7 cùng phương. hứng minh 1. Giả sử u = (a + b : C) và V = (a’; ‘b’; c”). Từ định nghĩa của tích có hướng ta có[ii, v) = (bc”— b’ c ; ca — c’a ; ab — a’ b). Suy ra[ui, v’]. Ti = (bc”— b’c)a + (ca”— c’a)b + (ab”— a “b)c= bc” a — b’ ca + ca ” b — c’ab + ab ‘ c — a ” bc = 0.Tương tự ta cũng có [[ỉ, V].V = 0. 2. Nếu một trong hai vectơ ữ và V là vectơ 0 thì tính chất 2 là hiển nhiên. Bây giờ ta xét trường hợp cả hai vectơ đó đều khác 0. Khi đó, vì cos(ii, v) = ii.iv Thêm枋,円liil.livoisin (ili, v) = liii.lvi|V i — cos* (ii, vo)(i.v.) 22 2 =h 叫.1一 = Wii. v. – (i.v.) 励°jf+ bo+ 2) (a 2+ b’+ 2) — (aa’+bb’+ αρ’)”Whe- b’c) + (ca’-e’a) + (ab”-a’b) o = |li, 미. 3. Tính chất này được suy ra trực tiếp từ tính chất 2 = G= CHÚ Ý:Ta vẽ các vectơ OA = ữ : OB = V. it.” Nếu hai vectơ tỉ và V không cùng phương (h.60), ta gọi S là diện tích hình bình hành có hai cạnh là OA Và OB, khi đó |u|.||v||. sin (u, v) = OA. OB. sin A OB = S.Vậy độ dài của vectơ [ũ, V] bằng số đo diện tích hình bình hành nói trên. Hit (50 Ứng dụng của tích có hướng a) Tinh diện tích hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì theo chú ý trên, ta có s=[AB. AD | b) Tính thể tích khối hộp Nếu ABCD,A’B’C’D’ là hình hộp với [AB, AD5|| diện tích đáy ABCD là S, chiều cao là D’ h = AH, () là góc hợp bởi hai vectơ AA” và [AB. AD] (h.61) thì thể tích của hình hộp đó làV = Sh= [AB, ADIAH[AB, AD IAAlcoso.Vậy V = [AB.AD]. AAl. 4 Hãy chứng tỏ rằng ba vectơ ữ. V. ở đồng phẳng khi và chỉ khi [[ĩ, V].ỷ = 0.ÇoA.Hình 61Như vậy, chúng ta nên nhớ một số tính chất liên quan đến tích vô hướng và tích có hướng sau đâili L v° «—> ui.1” = 0. ũ và 7 cùng phương x->[ũ, V]=0.ũ, V. ở đồng phẳng s=>[ũ, V]. ở = 0.Ví dụ 4. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(0: 1:1), B(-1:0:2), C(-1:1:0) và D(2): 1: -2), a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng. b) Tinh độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó. c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD. d) Tinh thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của Tứ diện kể từ đỉnh D.Giải a). Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ BA, BC, BD không đồng phẳng hay [BA. BCBD 产0, Ta có BA = (1:1: -1), BC = (0; 1: -2), BD = (3; 1:–4). Suy ra: — –‐1 [ 11 -1| |-1 11 11 [BA BC = 1 1 -2 (-2. O. O. 1 [BA. BC]. BD = (—1),3 + 2.1 + 1.(—4) = —5 # 0. Vậy bốn điểm đã cho không đồng phẳng.b) Ta có SABC = [BA. BC -1) + 2 + 1 = sNếu gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì— 1).–ས་ཙམ་- – ཙམ་ Vol 4-1 + (-2)? Nếu gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và 2p là chu vi của tam giác đó thì SABC = p.r. Dễ dàng tính được 2p = AB + BC + CA = N3 + N5+ N2AH- ABC – BE — – —-p V5+ 3 + 2 BCBD___9_BC.BD V130Nếu gọi ø là góc giữa hai đường thẳng AB và CD thìnên ta có SABC V6c) cos CBD = cos(BC, BD)COS Y – |cos(AB, CD) 關 -d) Ta dễ thấy thể tích khối tứ diện ABCD bằng thể tích khối hộp có ba cạnh là BA, BC, BD. Như vậy:VАвстр = 岩[丽 BC).BD – Nếu gọi DK là đường cao của tứ diện kẻ từ D thì6. Phương trình mặt cầu Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu S(1: R) có tâm l(\o; yo; 20) và bán kính R (h.62). Điểm M(\; y : -) thuộc mặt cầu đó khi .và chỉ khi IM = R hay Ім*= R“. nghĩa là(iv – ് + (y- ് + (2 – = R.Phương trình trên được gọi là phương Hình 62 trình của mặt cẩu S(1: R). Như vậy, nếu biết toạ độ của tâm và biết bán kính mặt cầu thì ta có thể dễ dàng viết được phương trình của mặt cầu đó.Mặt cầu tâm J{\0; yo:20), bán kính R có phương trình+(yーyo)* +(-ー。)* = R *இ 5 |y च\\। Hãy viết phương trình mặt cầu có đường kính A1A2. Với 41 = (a 1; bị : C1) và 42 = (a2, b2: C2) theo hai Cách. Sau: – Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.– Nhận xét rằng điểm M nằm trên mặt cầu khi và chỉ khi A. M. A2M = 0.6 然 Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(0; 0, 0), B{1; 0, 0), C{0, 1; 0), D(0; 0, 1). Nhận xét. Nếu ta khai triển phương trình mặt cầu $(I: R) và viết dưới dạng f(x, y, z) = 0 thì dễ thấy rằng f(x,y,z) là đa thức bậc hai đối với x, y, z, có các hệ số của vo, yo, -” đều bằng 1 và không có các hạng tử chứa xy, y2, 2\, Bây giờ ta xét vấn đề ngược lại: Phương trình dạng A* + y*+ z* + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (1) có phải là phương trình mặt cẩu trong không gian toạ độ Oxyz cho trước hay không ?79 Phương trình (1) có thể viết như sau :(a + a) + y +b) + (2 +c) = a + b + c – d. (2) Gọi I là điểm có toạ độ (-a:-b : -c) và M là điểm có toạ độ (x : y : -) thì vế trái của (2) chính là IM”. Bởi vậy ta dễ dàng suy ra : Nếu a° + b° + c” – d > 0 thì IM = Na° + b° + c” -d. Vậy (1) là phương trình của mặt cầu có tâm I(-a: -b : -c) và có bán kínhR = Na” +b +c .Nếu a° + b^+ c”-d=0 thì IM=0 và phương trình (1) xác định điểm I duy nhất. Nếu a” + b° + c” – d’<0 thì không có điểm M nào có toạ độ thoả mãn (1). Vậy :Phương trình x + y + 2 +2ax + 2by + 2C2 + d = () là phương trình của mặt câu khi và chỉ khi a° + b + c” > d. Khi đó tám mặt cầu là điểm I(-a : – b : -c) và bán kính mặt cẩu làR = Na+b+c – d.7 Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu hay không ? Nếu phải thì hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đóa) + y — + 2 – y + 1 = 0; b)3 + 3y + 3: – 2x = 0; c)2 + 2y = (x + y) — + 2 – 1: d) (x + y) = 2xy-2-1.Côu hỏi vòi bời tộpTừ nay trở đi, các bài tập liên quan đến toạ độ đều được xét trong không gian tog do Ovyz.1. Cho các vectơ:=-2.j :=3 + 5 (-) : w=2i-k+3j.a) Tìm toạ độ của các vectơ đó. b) Tìm côsin của các góc (y°, i), (v, j) và (v”, R). c) Tính các tích vô hướng ủ.v, ủ.w, v.w.2. Cho vectơ ủ tuỳ ý khác 0. Chứng minh rằng:cos (iii,ii) cos (i. + cos് (i. = 1. 3.4.S.6.7.9.1 O1. 1Tìm góc giữa hai vectơ ũ và v trong mỗi trường hợp sau : а) и = (1:1:1); v = (2:1; — 1):b) zi = 3i + 4j ; v = —2j + 3k.Biết = 2, s = 5, góc giữa hai vectơ ũ và ” bằng Tìm k để vectơ p = k + 17 vuông góc với vectơ d =3i-v.Cho điểm M(a, b, c). a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ. b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ. c) Tìm toạ độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ. Cho hai điểm A(x1, y1 ; 21) và B(\2; y2 ; 22), Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là MA = kMB), trong đó k + 1. Cho hình bình hành ABCD với A(−3: –2: 0), B(3 : –3: 1), C(5: 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ AC và BD. a) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục OY sao cho M cách đều hai điểm A(1:2:3) và B(−3: –3: 2).b) Cho ba điểm A(2:0: 4), B(4; V3 : 5) và C(sin5t : cos3f: sin 3t). Tìm [ để AB vuông góc với OC (O là gốc toạ độ).Xét sự đồng phẳng của ba vectơ и, у va w trong mỗi trường hợp sau : а) и (4: 3:4), у (2: -1 : 2) и (1 : 2 : 1): b) u (1 ; -1 ; 1), v(0; 1 ; 2), wo (4; 2; 3); c) u (4; 2; 5), v (3; 1 : 3), wo (2 ; 0 ; 1).. Cho ba điểm A(1: 0; 0), B(0: 0:1), C(2: 1:1).a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. d) Tính các góc của tam giác ABC.. Cho bốn điểm A(1: 0; 0), B(0: 1:0), C(0: 0; 1) và D(-2: 1 : -2),a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.6-ніNннос 12 (Nс). А 81Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b. BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho SN = SB.a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây:a) x + y + — 8x + 2y+ 1 = 0: b)3 + 3y + 3: + 6x -3y + 15: -2 = 0:c) 9x +9y +9: -6x + 18y + 1 = 0.. Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :a). Đi qua ba điểm A(0; 8:0), B(4; 6: 2), C(0: 12:4) và có tâm nằm trên nb) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oy2) và có tâm nằm trên tia Ox; c) Có tâm I(1:2:3) và tiếp xúc với mp(Oyz).