- Giải Toán Lớp 10
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 10
- Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10
- Sách giáo khoa đại số 10
- Sách giáo khoa hình học 10
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10
- Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao
- Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
- Giải Toán Lớp 10 Nâng Cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10
- Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
%200055.jpg)
%200056.jpg)
%200057.jpg)
%200058.jpg)
%200059.jpg)
%200060.jpg)
%200061.jpg)
%200062.jpg)
%200063.jpg)
%200064.jpg)
%200065.jpg)
%200066.jpg)
%200067.jpg)
%200068.jpg)
%200069.jpg)
Ta biết rằng một tam giác hoàn toàn được xác định nếu biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề; nghĩa là Số đo các cạnh, các góc còn lại của tam giác này hoàn toàn xác định. Như vậy, giữa các yếu tố của tam giác có những mối liên hệ nào đó, mà ta sẽ gọi chúng là các hệ thức lượng trong tam giác. Trong mục này ta sẽ làm quen với một số hệ thức đó. 1. Định lí côsin trong tam giácNếu ABC là tam giác vuông tại A (h.44) thì theo định lí Py-ta-go ta cóBC? = ACP + AB? 2܀- 2+- 2+- hay BC = AC + AB . (*) B Có thể chứng minh ngắn gọn đẳng thức (*) như sau Hình 44 -+2 – – –2 –2 – – -2 -2 BC = (AC — AB)? = AC + AB“ — 2AC, AB = AC + AB. [?1]. Trong chứng minh trên, giả thiết góc A vuông được sử dụng như thế nào ?Bây giờ ta hãy xét một tam giác ABC tuỳ ý.1 Hãy làm tương tự như chứng minh trên, rồi đặt BC = a, CA = b.AB = c, để đi đến Công thức ao = bo+ co-2becos A. Như vậy ta được định lí sau đây, gọi là định lí côsin trong tam giác.ĐINH LíTrong tam giác ABC, với BC = a, CA = b., A-B = C, ta có ao = bo + co — 2bc cos A : bo = ao + co — 2ac cos B ; co = a + bo – 2ab cos C.2汽 định lí trên, hãy phát biểu bằng lời công thức tính một cạnh của tam giác theo hai Cạnh Còn lại và CÔsin của góc xen giữa hai cạnh đó.|?2]. Khi ABC là tam giác vuông, chẳng hạn A = 90°, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc nào ?3. 汽 định lí cÔsin hãy viết công thức tính giá trị cOSA, cos B. cosC theo a, b, c,Từ hoạt động này ta có hệ quả sau đây trong tam giác ABCHÊ QUẢ 2ور _2م, + 2 cos A = P * * ; 2bc 2 – 2 h2 cos B = ” ” ” : 2ac 2 2 2 cos C = a + b – c. 2abVí dụ 1. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60°. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí ? (1 hải lí s: 1,852 km). Giải (h.45). Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB= 40, AC=30,  = 60°. Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có ao = bo + co — 2bc cos A = 30° + 40° — 2.30.40, cos 60° = 900 + 1600- 1200 = 1300. Vậy BC = V1300 s. 36 (hải lí). A. Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Hình 45 Ví dụ 2. Các cạnh của tam giác ABC là a = 7, b = 24, C = 23. Tính góc A. Giải (h.46) Theo hệ quả của định lí cÔsin ta cóB 2 2 2 23 cos A = P * * * 7 2bc A 242 + 232 – 72 C = — is 0.9565. Hình 46 2.24.23Từ đó ta được  = 16°58′.Cg- CHÚ Ý Nếu sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) để tính góc A, khi biết cosA = 0,9565, ta có thể làm như sau 1). Đối với MTBT CASIOfY-220 hoặc fY-500A thì ấn 0.9565 SHIFT SHIFT]|o, J. Kết quả:  = 16°58′. 2) Đối với MTBT CASIOf\-500MS thì ấn SHIFT 0,9565 |=||o, J. Kết quả: Ả s 16°58′.Ngoài ra, có thể dùng một số loại MTBT khác để tính toán, như CANON, SHARP hoặc các MTBT có chức năng tương đương.2. Định lí sin trong tam giácA. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b., AB = c C nội tiếp đường tròn (O; R). /z, ༄། ༽ Nếu góc A vuông (h.47) thì a = 2R và dễ thấy C B a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. (1)Bây giờ xét trường hợp góc. A không vuông. Tachứng minh các công thức (1) vẫn đúng. Hiրի 47* (Để chứng minh các công thức (1)Gọi (O; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vẽ đường kính BA’ của đường tròn. Hãy chứng tỏ sin BAC = sin BAC trong cả hai trường hợp : Góc BAC là góc nhọn (h.48a), là góc tù (h.48b). Từ đó hãy kết thúc chứng minh.5556F/ình 48 Từ đó ta có định líVới mọi tam giác ABC, ta có 4 b 2 = گR, sin A sin B sin C trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Ví dụ 3. Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi (h, 49). Biết rằng độ cao AB bằng 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30′. Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất ? Giải (h.49) Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có CAB = 60°, ABC = 105’30”, c = 70. Ĉ = 180° — (A + B) = 180° — 165°30′ = 14°30′. Theo định lí sin ta có b. c. sin B sin C hay b 70 sin 105°30′ sin 14°30′ O Do đó AC = b =”5″*” s2694 (m). sin 14°30′ Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 30° nênHình 49 CH = 荃 R 34 = 134,7 (m).Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.CHÚ Ý oNếu sử dụng MTBT để tính biểu thức b =”5″o” thì ta cósin 14°30′ thể làm như sau 1). Đối với MTBT CASIO_f\-220 hoặc f\-500A thì ấn 70 [x] [(…] 105 o 30 or sin (…)] + [(… 14 o 30o. }]|=]. Kết quả:b s:2694. 2) Đối với MTBT CASIOfY-500MS thì ấn70 [x] (sin) 105 o 30 or + sin 14 o 30 (or =).Kết quả:b s: 269,4.Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6. Chứng minh rằngsin A — 2 sin B + sin C = 0.Giải. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ định lí sin, ta cósin A = “ , sin B = 2, sin C = – 2R 2R 2Rsin A — 2 sin B + sin C —(in-2n-o) = 0 = (6 +10-4) لیے. 2R 2RĐịnh lí côsin trong tam giác còn được gọi là định líAn Ka-si (AL Kashi) – tên của nhà thiên văn học vàtoán học Trung Á, một trong những nhà bác học lớncuối cùng của trường phái Xa-mác-kan (Samarkand) đầu thế kỉ XV.{ AL Kashi 3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác Bài toán 1. Cho ba điểm A, B, C, trong đó BC= a > 0. A. Gọi I là trung điểm của BC, biết AI = m (h.50). Hãy tính AB° + AC” theo a và m.|?3. Nếu m – thì có thể thấy ngay AB° + AC” bằngbao nhiều hay không ? C Hình 505 (Để giải Bài toán 1)SSSSSS -2 -2 Hãy viết AB = AI + IB, AC = AI + IC rồi tính AB + AC để đi đến kết quả2 AB + ACo = 2mo +Bài toán 2. Cho hai điểm phân biệt P, Q. Tìm tập M hợp các điểm M sao cho MP° + MO” = k”, trong đó k là số cho trước. Hướng dẩn. (h. 51). Gọi I là trung điểm của PQ và đặt PO = a. Theo Bài toán 1, ta có2 P I Ο MP + MO = 2M1 + Hình 512 Vậy MP° + MQ° = k” khi và chỉ khi 2 MI” + = ko hay(2 M2 = ட்26 (*) hãy suy ra lời giải của Bài toán 2.Bài toán 3. Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mẹ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh BC = a, CA = b., AB = c. Chứng minh các công thức sau đây, gọi là công thức trung tuyếnb? – c. ? 2 a’ + c, b? 2 ‘ + b? 2 LS SiiS SSiS CSiS2 4 2 4 “e 2 4.Giải. Từ kết quả của Bài toán 1, ta suy ra ngay các công thức cần chứng minh. 584. Diện tích tam giácVới tam giác ABC, ta kí hiệu ha, hb, họ là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB ; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = |- là nửa chu vi tam giác.Ta có thể tính diện tích S của tam giác ABC bằng các công thức sau đây1 1 1 S = jah, = bh, =ch, : (1) 1 1 – 1 . . S = — absin C = — ac sin B = — bcsin A : (2) 2 2 2 abc = – ; 3. 4R (3) S = pr; (4) S = /p(p — a)(p — b)(p — c). . (5)(Công thức (5) gọi là công thức Hê-rông).7 (հ. 52) Hãy tính hạ trong tam giác AHB theo cạnh c và góc B, rồi thay vào công thức S = ah. để được công thức (2) (chú ý xét cả hai trường hợp H nằm trong, H nằmngoài đoạn BC).A. A. B H a C H B C Hình 528 Công thức (2) và định lí sin, hãy suy ra công thức (3).(հ. 53) A Gọi (O , r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Để ý rằng S là tổng diện tích các tam giác OBC, OCA, OAB. Hãy áp dụng công C か thức (1) để suy ra công thức (4). • Chứng minh công thức Hê-rông RTa có S=}besin A, suy T3 /ހހަ\_B C S’ = — cos* A) Hình 53 2 – 2 – 22 – 12.21 (0 t e – d. 4 4b22(2bc +b+c-a’)(2bc-b-e’-a’)” + c) – – (b- o) 16 b + c + a b + c – a a – b + c a + b – c. 2 2 2 2 = p(p – a)(p – b)(p – c.). Vậy S = \p(p – a)(p + b)(p – c). • Người ta gọi tam giác có độ dài các cạnh là ba số nguyên liên tiếp và códiện tích bằng một số nguyên là tam giác Hê-rông. Các tam giác có độ dài các cạnh như sau3:4: 5, 13; 14; 15, 51 : 52:53,là những tam giác Hê-rông.10 tính diện tích của ba tam giác Hê-rông ở trên. . 605. Giải tam giác và ứng dụng thực tế Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Biết a = 17.4 ; B = 44°30′: C = 64”. Tính gốc A và các cạnh b, c của tam giác đó.Giải. (h.54)Ta có A = 180°- (B+C) = 180′-(44’30’ + 64″) = 71’30’. Theo định lí sin ta có Hình 54 o b= a. sin B 17, 4. sin 44’30 is 12.9sin A sin 71°30′ a sin C — 17.4. sin 64”- 16.5. sin A sin 71°30’Ví dụ 6. Cho tam giác ABC. Biết a = 49.4 ; A b = 26.4 ; C = 47°20. Tính hai góc A, B và 26,4 Cạnh C. B 49.4 47″20צאc Giaii. (h. 55) Hình 55Theo định lí côsin ta có co = ao + bo — 2ab cos C = (49,4)*’ + (26,40° — 2.49,4. 26,4. cos 47°20′ is 1369,58. Vậy c = N 1369.58 s 37,0.b’ + c് – 696.96+ 1369,58-244036as – 0, 1913. 2bc 2.26.4.37cos A = Dùng bảng số hoặc MTBT, tìm được Âs 101°2′. Từ đó B s 180°- (101’2′ + 47’20’) = 31°38′. 61 Ví dụ 7. Cho tam giác ABC. Biết a = 24 ; b = 13 : c = 15. Tính các gócA, B, C. A. Giaii. (h. 56) 15 13 Theo hệ quả của định lí côsin, ta có B C b’ + c – a cos A = ──────- Hình 56 2bc – “t 22570 – – – – – 0.4667. 2.13.15 15Vậy  = 117°49.b – – – – – nên sin A sin B – – O sa O i sin B = b. sin A ~ 13. sin 117’49 13: 11 is 0.4791.Vì cạnh AC ngắn nhất nên góc B’ nhọn. Suy ra B is 28’38”; C s 180°-(117°49′ + 28’38”) = 33°33′.Ví dụ 8. Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A A.đến vị trí C dài 8 km, góc tạo bởi haiđường dây trên bằng 75°. Tính khoảng 10 f f* tCách từ vị trí B đến vị trí C (h.57). t tGiải Áp dụng định lí cÔsin vào tam giác :شعاص- – tABC, ta có 叶 十c Hình 57ao = bo+ co-2bc.cos. A * 8 + 10 – 2,810,cos75 = 123. Suy ra a s 1 1 (km). Vậy khoảng cách từ B đến C xấp xỉ 11 km.Ví dụ 9. (h. 58). Một người ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đổ ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60°. Khi tàu đổ ở ga B, người đó nhìn lại vẩn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp Hình 58 tạo với hướng ngược với hướng đi của tàumột góc 45°. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu ? Giải. Xét tam giác ABC. Ta cóC = 180°- (60′ + 45″) – 75″.Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta được -*=-o. sin B sin C o Suy ra b = sin45″ s 6 (km). sin 75oVậy khoảng cách từ ga A đến tháp C xấp xỉ 6 km.Em có biết ? ?CIAI TAM CIAC VA MET MAUNgay sau Cách mạng 1789 ở Pháp, người ta quyết định xây dựng một hệ đo lường phổ cập, trong đó có đo độ dài.Về độ dài, người ta lấy độ dài vòng kinh tuyến của Trái Đất làm cơ sở (“dưới chân mỗi người đều có kinh tuyến”). Người ta coi vòng kinh tuyến Trái Đất dài 40000 km, tức4x107 mét, vậy một mét là của một phần tư độ dài vòng kinh tuyến. Bằng cách nào có được một mét để làm mẫu ?63 1 51.Các nhà thiên văn Pi-e Mê-sanh (Pierre Méchain) và Giăng Đờ-lam-brơ (Jean Delambre) được giao nhiệm vụ đo độ dài Cung kinh tuyến nối hai thành phố Đơn-kec (Dunkerque ở Bắc Pháp) và Bác-xơ-lo-na (Barcelona, Tây Ban Nha). Các phương pháp thiên văn thời đó đã cho biết hai thành phố đó có cùng kinh độ và có vĩ độ khác nhau 10,8 độ. Trên mặt đất, việc đo góc dễ hơn đo độ dài nên người ta xét dãy tam giác sắp xếp kề nhau dọc theo kinh tuyến đi qua hai thành phố nói trên (mỗi tam giác có đỉnh là các địa điểm dễ xác định vị trí như đỉnh lâu đài, nóc nhà thờ v.v…). Trong 7 năm lao động kiên nhẫn miệt mài, Mê-sanh, Đờ-lam-brơ dùng khoảng 500000 phép đo để giải hàng trăm tam giác sắp xếp như thế. Sau đó, qua nhiều tháng kiểm nghiệm đo đạc, tính toán bởi một hội đồng gồm nhiều nhà bác học tên tuổi (trong đó có các nhà toán học Pháp La-pla-xơ (Laplace), Lơ-giăng-đrơ (Legendre), La-gräng-gid (Lagrange) V.V.), kết quả cuối cùng đã được công nhận vào năm 1799 và đã có mẫu một mét bằng bạch kim đặt tại Viện đo lường Pa-ri (Paris) (mẫu một mét “cho mọi thời đại”, “cho mọi dân tộc”). Ngày nay, dùng các phương pháp của Vật lí hiện đại, ta có thể xác định đơn vị đo độ dài chính xác hơn nhiều.(ler onS. Martin du Terre=ataهt”مهنمPanthCÔu hỏi vòi bời tộpTam giác ABC có a = 12, b = 13, c = 15. Tính cos A và góc A,quiereSchristophePeller AnserCho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, A = 60°. Két quả nào trong các kếtquả sau là độ dài cạnh BC ? a) V129 ;c) 49;b) 7:d) 69. 17.1 81 92 2. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC. Hình 60 vẽ một chiếc tàu thuỷ đang neo đậu ở vịHình 59 vẽ một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Bốn bạn An, Cường, Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B đến C như sau An: 5 kmCường: 6 km Trí : 7 km Đức : 5,5 km. Hình 59Biết rằng khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km, góc BAC là 120°.Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất ?. Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định saua) Góc. A nhọn khi và chỉ khi a” bo — co: b) Góc A tù khi và chỉ khi a” > b° + c”:c) Góc A vuông khi và chỉ khi a” = b° + c”.. Tam giác ABC có  = 60°, B = 45°, b = 4. Tính hai cạnh a và c,. Cho tam giác ABC có  = 60°, a = 6. Tính bánkính đường tròn ngoại tiếp tam giác.thoả mãn hệ thức sin A = 2sin B. cosC thì ABC là tam giác cân.trí C trên biển và hai người ở các vị trí quan sát A và B cách nhau 500 m. Họ đo được góc CAB bằng 87° và góc CBA bằng 62”.Tính các khoảng cách AC và BC. Hình 60. Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC. Chứng minh rằng bán kínhcác đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau. 655-hhoNC-A 2 42 S2 62 83. 1.3. 23. 3.3. 4.3. 53. 6. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi 5m; mi + ዘገገ. Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 6. Tính ma. . Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng với B qua C.Tính độ dài AD.. Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC. . Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnhbằng tổng bình phương của hai đường chéo. 2c. Tam giác ABC có b = 6,12: c = 5.35 ;  = 84”. Tính diện tích tam giác đó. . Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứngminh rằngAB“ + BC* + CD°+ DA* = AC°+ BD°+ 4MNo.. Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh rằng S = 2Rosin A sin B sin C.. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéovà sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.. Giải tam giác ABC, biếta) c = 14, A = 60′. B = 40”; b)h=45,A=30″ c=75″; c) c = 35, A = 40′, C = 120”; d) a = 1375, B = 83′, C = 57″.. Giải tam giác ABC, biếtа) а = 6,3, b = 6,3, C = 54°; b) b = 32, c = 45, A = 87°; c) a = 7, b = 23, C = 130′.. Giải tam giác ABC, biếta) a = 14, b = 18, c = 20; b) a = 6, b = 7.3, c = 4,8; c) a = 4, b = 5, c = 7.. Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 40”. Cường độcủa hai lực đó là 3N và 4N. Tính cường độ của lực tổng hợp.5- hon CTrên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50° và 40° so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của toà nhà (h.62).