Xem toàn bộ tài liệu Lớp 6: tại đây
A. Lý thuyết
1. Tập hợp
Tập hợp: là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.
2. Cách viết tập hợp
+ Tên tập hợp được viết bằng chữ cái in hoa như: A, B, C,…
+ Để viết tập hợp thường có hai cách viết:
• Liệt kê các phần tử của tập hợp
Ví dụ: A = {1; 2; 3; 4}
• Theo tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ: A = {x ∈ N|x < 5}
+ Kí hiệu:
• 2 ∈ A đọc là 2 thuộc A hoặc là 2 thuộc phần tử của A.
• 6 ∉ A đọc là 6 không thuộc A hoặc là 6 không là phần tử của A.
Chú ý:
• Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn { }, ngăn cách nhau bởi dấu “;” (nếu có phần tử số) hoặc dấu “,” nếu không có phần tử số.
• Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý.
• Ngoài ra ta còn minh họa tập hợp bằng một vòng tròn kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu diễn bằng 1 dấu chấm bên trong vòng tròn kín đó.
Ví dụ: Tập hợp B trong hình vẽ là B = {0; 2; 4; 6; 8}
3. Tập hợp các số tự nhiên
Các số 0; 1; 2; 3… là các số tự nhiên. Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N.
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là N∗.
Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ nằm bên trái điểm biểu diễn số lớn.
4. Thứ tự trong tập hợp số tự nhiên
+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia, ta viết a < b hoặc b > a
Ngoài ra ta cũng viết a ≥ b để chỉ a < b hoặc a = b.
+ Nếu a < b và b < c thì a < c.
+ Hai số tự nhiên liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 đơn vị. Mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất và một số liền trước duy nhất.
+ Số 0 là số tự nhiên bé nhất. Không có số tự nhiên bé nhất.
+ Tập hợp các số tự nhiên có vô số phần tử.
5. Số và chữ số
Để ghi số một trăm chín mốt, ta viết: 191.
Một số tự nhiên co thể có một, hai, ba,…chữ số.
Chú ý:
• Khi viết một số tự nhiên có năm chữ số trở lên, người ta thường viết tách riêng ra thành từng nhóm có 3 chữ số kể từ phải sang trái cho dễ đọc.
Chẳng hạn như:
• Cần phân biệt số với chữ số, số chục với chữ số hàng chục, số trăm với chữ số hàng trăm,…
6. Hệ thập phân
Trong hệ thập phân
+ Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, người ta thường dùng mười chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
+ Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị của một hàng thì làm thành đơn vị của hàng liền trước đó.
7. Số phần tử của một tập hợp
Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào.
Tập hợp không có phần tử được gọi là tập hợp rỗng
Tập hợp rỗng được kí hiệu là ∅.
8. Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B.
Kí hiệu: A ⊂ B hoặc B ⊃ A và được là: A là tập hợp con của tập hợp B, hoặc A được chứa trong B hoặc B chứa A.
Chú ý:
+ Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói A và B là hai tập hợp bằng nhau, kí hiệu là A = B.
+ Mỗi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó. Quy ước: Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp
+ Cách tìm số tập hợp con của một tập hợp là: Nếu A có n phần tử thì số tập hợp con của tập hợp A là 2n.
+ Giao của hai tập hợp kí hiệu là ∩ là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
9. Tổng và tích hai số tự nhiên
Phép cộng:
a + b = c hay có thể hiểu: số hạng + số hạng = tổng.
Phép nhân:
a x b = c hay có thể hiểu: thừa số x thừa số = tích.
10. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên
Tính chất giao hoán::
Tính chất giao hoán:
+ Khi đổi các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
+ Khi đổi các thừa số trong một tích thì tích đó không thay đổi.
Tính chất kết hợp:
+ Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba, người ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai với số thứ ba.
+ Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, người ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai với số thứ ba.
Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng:
+ Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hàng của tổng, rồi cộng các kết quả lại.
11. Phép trừ hai số tự nhiên
Cho hai số tự nhiên a và b, nếu có số tự nhiên x sao cho b + x = a thì ta có phép trừ a – b = x.
Trong đó: a là số bị trừ, b là số trừ, x là hiệu.
Tổng quát: (số vị trừ) – (số trừ) = hiệu.
Chú ý: Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.
12. Phép chia hết và phép chia có dư
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0 nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết là a : b = x.
(số bị chia) : (số chia) = thương.
Tổng quát: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0 ta luôn tìm được hái ố tự nhiên là q và r duy nhất sao cho:
a = b.q + r trong đó 0 ≤ r < b
+ Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết.
+ Nếu r ≠ 0 thì ta có phép chia có dư
13. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a.
+ a gọi là cơ số.
+ n gọi là số mũ.
Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau được gọi là phép nhân lũy thừa
Chú ý:
+ a2 gọi là a bình phương (hay bình phương của a)
+ a3 gọi là a lập phương (hay lập phương của a)
14. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
15. Chia hai lũy thừa cùng cơ số
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ số mũ.
16. Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức
a) Đối với biểu thức không có dấu ngoặc
+ Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
+ Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng đến cộng trừ.
Lũy thừa → Nhân chia → Cộng trừ
b) Đối với biểu thức có dấu ngoặc
+ Nếu biểu thức có các dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiên phép tính theo thứ tự:
( ) → [ ] → { }
17. Tính chất 1 của phép chia
Nếu
+ Kí hiệu “⇒” được đọc là suy ra hoặc kéo theo.
+ Ta có thể viết 
Chú ý:
• Tính chất 1 cũng đúng đối với một hiệu
• Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng
Tổng quát: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
18. Tính chất 2 của phép chia
Nếu
Nếu 
+ Kí hiệu “⇒” được đọc là suy ra hoặc kéo theo.
+ Ta có thể viết 
Chú ý:
• Tính chất 2 cũng đúng đối với một hiệu
• Tính chất 2 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng
Tổng quát: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số , còn các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng đó không chia hết cho số đó.
19. Dấu hiệu chia hết cho 2
Dấu hiệu: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì đều chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
20. Dấu hiệu chia hết cho 5
Dấu hiệu: Các số có chữ số tận cùng là 0 và 5 thì đều chia hết cho 5, chỉ có những số đó mới chia hết cho 5.
21. Dấu hiệu chia hết cho 9
Dấu hiệu: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó chia hết cho 9.
22. Dấu hiệu chia hết cho 3
Dấu hiệu: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó chia hết cho 3.
23. Ước và bội
Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
24. Cách tìm ước và bội
• Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, 3,….
• Ta có thể tìm ước của a (a > 1) bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số đó là ước của a.
25. Số nguyên tố. Hợp số:
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
Nhận xét:
Cách kiểm tra một số là số nguyên tố: Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
26. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
Ta có thể phân tích theo chiều dọc như sau:
Chia số n cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng 1.
Nhận xét: Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào đi nữa thì cuối cùng cũng ra một kết quả
27. Ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là ước chung của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+ x ∈ UC(a, b) nếu 
+ x ∈ UC(a, b, c) nếu 
28. Bội chung
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+ x ∈ BC(a, b) nếu 
+ x ∈ BC(a, b, c) nếu 
Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
Kí hiệu: Giao của tập hợp A và tập hợp B kí hiệu là A ∩ B
Có thể hiểu:
+ U(a) ∩ U(b) = UC(a,b)
+ B(a) ∩ B(b) = BC(a,b)
30. Ước chung lớn nhất:
Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Cách tìm Ước chung lớn nhất:
+ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+ Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
+ Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích nó là UCLN phải tìm
Chú ý:
+ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
+ Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố bằng nhau.
31. Bội chung nhỏ nhất
Định nghĩa: Bội chung nhỏ nhất là hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của số đó.
Cách tìm Bội chung nhỏ nhất:
+ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
+ Chọn ra các thừa tố nguyên tố chung và riêng.
+ Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
B. Trắc nghiệm & Tự luận
I. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1: Các viết tập hợp nào sau đây đúng?
A. A = [1; 2; 3; 4] B. A = (1; 2; 3; 4)
C. A = 1; 2; 3; 4 D. A = {1; 2; 3; 4}
Các viết tập hợp được viết theo cách liệt kê các phần tử của tập hợp
Nên cách viết đúng là A = {1; 2; 3; 4}
Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho B = {2; 3; 4; 5}. Chọn đáp án sai trong các đáp án sau?
A. 2 ∈ B B. 5 ∈ B C. 1 ∉ B D. 6 ∈ B
Áp dụng cách sử dụng kí hiệu ∈:
+ 2 ∈ A đọc là 2 thuộc A hoặc là 2 thuộc phần tử của A.
+ 6 ∉ A đọc là 6 không thuộc A hoặc là 6 không là phần tử của A.
Ta thấy 6 không là phần tử của tập hợp B nên 6 ∉ B
Chọn đáp án D.
Câu 3: Viết tập hợp A các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10.
A. A = {6; 7; 8; 9} B. A = {5; 6; 7; 8; 9}
C. A = {6; 7; 8; 9; 10} D. A = {6; 7; 8}
Viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các phân tử
Tập hợp A gồm các phần tử lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10 nên A = {6; 7; 8; 9}
Chọn đáp án A.
Câu 4: Viết tập hợp P các chữ cái khác nhau trong cụm từ: “HOC SINH”
A. P = {H; O; C; S; I; N; H} B. P = {H; O; C; S; I; N}
C. P = {H; C; S; I; N} D. P = {H; O; C; H; I; N}
Các chữ cái khác nhau trong cụm từ “HOC SINH” là: H; O; C; S; I; N.
Nên P = {H; O; C; S; I; N}
Chọn đáp án B.
Câu 5: Viết tập hợp A = {16; 17; 18; 19} dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng
A. A = {x|15 < x < 19} B. A = {x|15 < x < 20}
C. A = {x|16 < x < 20} D. A = {x|15 < x ≤ 20}
Nhận thấy các số tự nhiên 16; 17; 18; 19 là các số tự nhiên lớn hơn 15 và nhỏ hơn 20.
Nên A = {x|15 < x < 20}
Chọn đáp án B.
Câu 6: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4} và tập hợp B = {3; 4; 5}. Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập A nhương không thuộc tập hợp B là?
A. C = {5} B. C = {1; 2; 5} C. C = {1; 2} D. C = {2; 4}
Các phần tử thuộc tập hơp A mà không thuộc tập hợp B là 1; 2
Nên tập hợp cần tìm là C = {1; 2}
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4} và tập hợp B = {3; 4; 5}. Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập A lẫn tập hợp B là?
A. C = {3; 4; 5} B. C = {3} C. C = {4} D. C = {3; 4}
Các phần tử thuộc tập hợp A lẫn tập hợp B là 3;4.
Nên tập hợp cần tìm là C = {3; 4}
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình vẽ
Tập hợp D là?
A. D = {8; 9; 10; 12} B. D = {1; 9; 10} C. D = {9; 10; 12} D. D = {1; 9; 10; 12}
Câu 9: Tập hợp A = {x|22 < x ≤ 27} dưới dạng liệt kê các phần tử là?
A. A = {22; 23; 24; 25; 26} B. A = {22; 23; 24; 25; 26; 27}
C. A = {23; 24; 25; 26; 27} D. A = {23; 24; 25; 26}
Các số lớn hơn 22 và nhỏ hơn bằng 27 là 23; 24; 25; 26; 27
Nên tập hợp cần tìm là A = {23; 24; 25; 26; 27}
Chọn đáp án C.
Câu 10: Tập hợp P gồm các số tự nhiên lớn hơn 50 và không lớn hơn 57. Kết luận nào sau đây sai?
A. 55 ∈ P B. 57 ∈ P C. 50 ∉ P D. 58 ∈ P
Tập hợp P gồm các số tự nhien lớn hơn 50 và không lớn hơn 57 là 51; 52; 53; 54; 55; 56; 57
Nên tập hợp đó là P = {51; 52; 53; 54; 55; 56; 57}
Có 58 ∉ P
Chọn đáp án D.
Câu 11: Cho hình vẽ sau
Tập hợp P và tập hợp Q gồm?
A. P = { Huế; Thu; Nương }; Q = { Đào; Mai }
B. P = { Huế; Thu; Nương; Đào}; Q = { Đào; Mai }
C. P = { Huế; Thu; Nương; Đào}; Q = { Mai }
D. P = { Huế; Thu; Đào}; Q = { Đào; Mai }
Tập hợp P gồm các bạn tên Đào; Huế; Nương; Thu
Tập hợp Q gồm các bạn tên Mai; Đào
Nên ta có: P = { Huế; Thu; Nương; Đào}; Q = { Đào; Mai }
Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho hình vẽ sau:
Tập hợp C và tập hợp D gồm?
A. C = {102; 106} và D = {20; 101; 102; 106}
B. C = {102; 106} và D = {3; 20; 102; 106}
C. C = {102; 106} và D = {3; 20; 101}
D. C = {102; 106} và D = {3; 20; 101; 102; 106}
Ta có: C = {102; 106} và D = {3; 20; 101; 102; 106}
Chọn đáp án D.
Câu 13: Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là?
A. N B. N* C. {N} D. Z
Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N
Chọn đáp án A.
Câu 14: Số tự nhiên liền sau số 2018 là
A. 2017 B. 2016 C. 2019 D. 2020
Số tự nhiên liền sau số 2018 là 2018 + 1 = 2019
Chọn đáp án C.
Câu 15: Số tự nhiên nhỏ nhất là?
A. 1 B. 3 C. 2 D. 0
Tập hợp các số tự nhiên là N = {0; 1; 2; 3; 4; ….}
Nên số tự nhiên nhỏ nhất là 0.
Chọn đáp án D.
Câu 16: Số tự nhiên liền trước số 1000 là?
A. 999 B. 1001 C. 1002 D. 998
Số tự nhiên liền trước số 1000 là 1000 – 1 = 999
Chọn đáp án A.
Câu 17: Cho hai số tự nhiên 99; 100. Hãy tìm số tự nhiên a để ba số đó lập thành ba số tự nhiên liên tiếp?
A. 98 B. 97 C. 101 D. Cả A và C
Số liền trước số 99 là số 98 nên có ba số tự nhiên liên tiếp là 98; 99; 100.
Số liền sau số 100 là số 101 nên có ba số tự nhiên liên tiếp là 99; 100; 101.
Chọn đáp án D.
Câu 18: Thêm số 7 vào đằng trước số tự nhiên có 3 chữ số thì ta được số mới?
A. Hơn số tự nhiên cũ 700 đơn vị.
B. Kém số tự nhiên cũ 700 đơn vị.
C. Hơn số tự nhiên cũ 7000 đơn vị.
D. Kém số tự nhiên cũ 7000 đơn vị.
Gọi số tự nhiên ban đầu có ba chữ số là abc−−−−−−−−−−
Viết chữ số vào đằng trước số đó ta được số mới là 7abc−−−−−−−−−−
Ta có: 7abc−−−−−−−−−− = 7000 + abc−−−−−−−−−− nên số mới hơn số cũ 7000 đơn vị
Chọn đáp án C.
Câu 19: Với 3 số tự nhiên 0; 1; 3 có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
A. 4 B. 3 C. 5 D. 6
Có thể lập các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau là: 103; 130; 301; 310
Vậy lập được 44 số có ba chữ số khác nhau.
Chọn đáp án A.
Câu 20: Số tự nhiên lớn nhất và số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau là?
A. 1234; 9876 B. 1000; 9999 C. 1023; 9876 D. 1234; 9999
Số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau là 1023
Số tự nhiên lớn nhất có bốn chữ số khác nhau là 9876
Chọn đán án C.
Câu 21: Cho các chữ số 3; 1; 8; 0 thì số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là?
A. 1038 B. 1083 C. 1308 D. 1380
Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là
+ Hàng nghìn là chữ số nhỏ nhất và khác 0 nên chữ số hàng nghìn là 1.
+ Chữ số hàng trăm là số nhỏ nhất trong ba số còn lại nên là 0
+ Hàng chục là chữ số nhỏ nhất trong 2 số còn lại nên là 8
Vậy số cần tìm là 1038.
Chọn đáp án A.
Câu 22: Đọc các số La mã sau XI; XXII; XIV; LXXXV là?
A. 11; 22; 14; 535 B. 11; 21; 14; 85
C. 11; 22; 16; 75 D. 11; 22; 14; 85
Các số La Mã XI; XXII; XIV; LXXXV được đọc như sau: 11; 22; 14; 85
Chọn đáp án D.
Câu 23: Thêm số 8 vào sau số tự nhiên có ba chữ số thì ta được số tự nhiên mới là
A. Tăng 8 đơn vị số với số tự nhiên cũ.
B. Tăng gấp 10 lần và thêm 8 đơn vị so với số tự nhiên cũ.
C. Tăng gấp 10 lần so với số tự nhiên cũ.
D. Giảm 10 lần và 8 đơn vị so với số tự nhiên cũ.
Gọi số tự nhiên có ba chữ số ban đầu là abc−−−−−−−−−−
Thêm chữ số 8 vào số tự nhiên ban đầu ta được số mới là abc8−−−−−−−−−−
Ta có: abc8−−−−−−−−−− = abc0−−−−−−−−−− + 8
Nên số tự nhiên mới tăng gấp 10 lần và thêm 8 đơn vị so với số tự nhiên cũ.
Chọn đáp án B.
Câu 24: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} và tập hợp B = {3; 4; 5}. Kết luận nào sau đây đúng?
A. A ⊂ B B. B ⊂ A C. B ∈ A D. A ∈ B
Ta thấy mọi phần tử thuộc tập hợp B đều thuộc tập hợp A nên B ⊂ A
Chọn đáp án B.
Câu 25: Cho tập hợp M = {0; 2; 4; 6; 8}. Kết luận nào sau đây sai?
A. {2; 4} ⊂ M B. 0 ⊂ M C. 2 ∈ M D. 7 ∉ M
+ Vì các phần tử 2;4 đều thuộc tập hợp M nên {2; 4} ⊂ M hay đáp án A đúng.
+ Nhận thấy 0 ∈ M nên B sai vì nếu viết đúng thì kí hiệu phải: {0} ⊂ M
+ 2 ∈ M nên đáp án C đúng.
+ 7 ∉ M nên đáp án D đúng.
Chọn đáp án B.
Câu 26: Cho tập hợp A = {x ∈ N|2 < x ≤ 7}. Kết luận nào sau đây không đúng?
A. 7 ∈ A
B. Tập hợp B gồm có 5 phần tử.
C. 2 ∈ A
D. Tập hợp A gồm các số tự nhiên lớn hơn 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 7
Trong cách viết A = {x ∈ N|2 < x ≤ 7}, ta chỉ ra tính chất đặc trưng của tpaj hợp gồm các phần tử là số tự nhiên lớn hơn 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 7
Nên 2 không thuộc tập hợp A.
Chọn đáp án C.
Câu 27: Viết tập hợp con khác tập hợp rỗng của tập hợp A = {3; 5}
A. {3}; {3; 5} B. {3}; {5} C. {3; 5} D. {3}; {5}; {3; 5}
Ta có các tập hợp con khác tập hợp rỗng của tập hợp A là {3}; {5}; {3; 5}
Chọn đáp án D.
Câu 28: Dùng ba chữ số 0; 4; 6 để viết tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Tập hợp này có bao nhiêu phần tử?
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5
Với ba chữ số 0; 4; 6 có thể lập các ố tự nhiên có ba chữ số khác nhau là 406; 460; 604; 640
Do đó tập hợp cần tìm có 4 phần tử.
Chọn đáp án B.
Câu 29: Cho tập hợp A = {x ∈ N|1990 ≤ x ≤ 2009}. Số phần tử của tập hợp A là?
A. 20 B. 21 C. 19 D. 22
Các số tự nhiên liên tiếp hơn hém nhau 1 đơn vị
Vì vậy số phần tử của tập hợp A là 2009 – 1990 + 1 = 20.
Chọn đáp án A.
Câu 30: Tập hợp C là số tự nhiên x thỏa mãn x – 10 = 15 có số phần tử là?
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
Ta có: x – 10 = 15
x = 15 + 10
x = 25
Nên tập hợp C là C = {25}, khi đó tập hợp C có 1 phần tử.
Chọn đáp án C.
Câu 31: Số phần tử của tập hợp P gồm các chữ cái của cụm từ “WORLD CUP”
A. 9 B. 6 C. 8 D. 7
Tập hợp P cần tìm là P = {W; O; R; L; D; C; U; P}
Tập hợp P gồm 8 phần tử.
Chọn đáp án C.
Câu 32: Cho tập hợp B = {m; n; p; q}. Số tập hợp con có 2 phần tử của tập hợp B là?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Các tập hợp con của tập hợp B có hai phần tử là
{m; n}; {m; p}; {m; q}; {n; p}; {n; q}; {p; q}
Vậy có 6 tập hợp con có 2 phần tử của tập hợp B
Chọn đáp án C.
Câu 33. Tính tổng 1 + 2 + 3 + …. + 2018 bằng?
A. 4074342 B. 2037171 C. 2036162 D. 2035152
Số các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2018 là: 2018 – 1 + 1 = 2018
Như vậy từ 1 đến 2018 có số các số hạng là 2018.
Tổng 1 + 2 + 3 + …. + 2018 = (1 + 2018).2018 : 2 = 2037171
Chọn đáp án B.
Câu 34. Không tính giá trị cụ thể, hãy so sánh A = 1987657.1987655 và B = 1987656.1987656
A. A > B B. A < B C. A ≤ B D. A = B
Ta có: A = 1987657.1987655 = (1987656 + 1)(1987656 – 1) = 1987656.1987656 – 1
B = 1987656.1987656
Khi đó A < B
Chọn đáp án B.
Câu 35. Tổng 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 97 có
A. Số có chữ số tận cùng là 7.
B. Số có chữ số tận cùng là 2.
C. Số có chữ số tận cùng là 3.
D. Số có chữ số tận cùng là 1.
Số các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 97 là (97 – 1):2 + 1 = 49 (số)
Do đó: 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 97 = (1 + 97).49:2 = 2401
Tổng là số có chữ số tận cùng là 1
Chọn đáp án D.
Câu 36. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn (x – 4).1000 = 0
A. x = 4 B. x = 3 C. x = 0 D. x = 1000
Ta có: (x – 4).1000 = 0 nên x – 4 = 0 (vì 1000 ≠ 0)
Suy ra ta có: x – 4 = 0 ⇔ x = 4
Chọn đáp án A.
Câu 37. Số tự nhiên nào dưới đây thỏa mãn 2018.(x – 2018) = 2018
A. x = 2017 B. x = 2018 C. x = 2019 D. x = 2020
Ta có: 2018.(x – 2018) = 2018
⇔ x – 2018 = 2018 : 2018
⇔ x – 2018 = 1
⇔ x = 2019
Chọn đáp án C.
Câu 38. Kết quả của phép tính 879.2a + 879.5a + 879.3a là
A. 8790 B. 87900a C. 8790a D. 879a
Ta có: 879.2a + 879.5a + 879.3a = 879.(2a + 3a + 5a)
= 87.10a = 8790a
Chọn đáp án C.
Câu 39. Tính nhanh 49.15 – 49.5 được kết quả là
A. 490 B. 49 C. 59 D. 4900
Ta có: 49.15 – 49.5 = 49.(15 – 5)
= 49.10 = 490
Chọn đáp án A.
Câu 40. Kết quả của phép tính 12.100 + 100.36 – 100.19 là?
A. 29000 B. 3800 C. 290 D. 2900
Ta có: 12.100 + 100.36 – 100.19 = 100(12 + 36 – 19)
= 100.29 = 2900
Chọn đáp án D.
Câu 41. Tính (368 + 764) – (363 + 759)
A. 10 B. 5 C. 20 D. 15
Ta có: (368 + 764) – (363 + 759) = (368 – 363) + (764 – 759)
= 5 + 5 = 10
Chọn đáp án A.
Câu 42. Thực hiện phép tính (56.35 + 56.18):53 ta được kết quả
A. 12 B. 28 C. 53 D. 56
Ta có: (56.35 + 56.18):53 = [56.(35 + 18)]:53
= 56.53:53 = 56
Chọn đáp án D.
Câu 43. Giá trị nào dưới đây của x thỏa mãn 24.x – 32.x = 145 – 255:51
A. x = 20 B. x = 30 C. x = 40 D. x = 80
Ta có: 24.x – 32.x = 145 – 255:51
⇔ 16x – 9x = 145 – 5
⇔ 7x = 140
⇔ x = 20
Chọn đáp án A.
Câu 44. Câu nào dưới đây là đúng khi nào về giá trị của A = 18{420:6 + [150 – (68.2 – 23.5)]}
A. Kết quả có chữ số tận cùng là 3.
B. Kết quả là số lớn hơn 2000.
C. Kết quả là số lớn hơn 3000.
D. Kết quả là số lẻ
Ta có: A = 18{420:6 + [150 – (68.2 – 23.5)]}
= 18{420:6 + [150 – (68.2 – 8.5)]}
= 18{420:6 + [150 – (136 – 40)]}
= 18{420:6 + [150 – 96]}
= 18{420:6 + 54} = 18{70 + 54}
= 18.124 = 2232
Kết quả là số lớn hơn 2000.
Chọn đáp án B.
Câu 45. Thực hiện phép tính (103 + 104 + 1252):53 ta được kết quả?
A. 132 B. 312 C. 213 D. 215
Ta có: (103 + 104 + 1252):53
= (1000 + 10000 + 15625):125
= 26625:125 = 213
Chọn đáp án C.
Câu 46: Trong các số sau, số nào là ước của 12?
A. 5 B. 8 C. 12 D. 24
Ta có Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Chọn đáp án C.
Câu 47: Tìm tất cả các bội của 3 trong các số sau: 4; 18; 75; 124; 185; 258
A. {4; 75; 124} B. {18; 124; 258} C. {75; 124; 258} D. {18; 75; 258}
Ta có: 18 ⋮ 3, 75 ⋮ 3, 258 ⋮ 3 nên {18; 75; 258} là bội của 3
Chọn đáp án D.
Câu 48: Tìm x thuộc bội của 9 và x < 63
A. x ∈ {0; 9; 18; 28; 35} B. x ∈ {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54}
C. x ∈ {9; 18; 27; 36; 45; 55; 63} D. x ∈ {9; 18; 27; 36; 45; 54; 63}
Ta có: 
⇒ x ∈ {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54}
Chọn đáp án B.
Câu 49: Tìm ƯCLN của 15, 45 và 225
A. 18 B. 3 C. 15 D. 5
Ta có:
Vậy ƯCLN(15; 45; 225) = 15
Chọn đáp án C.
Câu 50: Cho a = 32.5.7 và b = 24.3.7. Tìm ƯCLN của a và b
A. ƯCLN(a; b) = 3.7 B. ƯCLN(a; b) = 32.72
C. ƯCLN(a; b) = 24.5 D. ƯCLN(a; b) = 24.32.5.7
Ta có: a = 32.5.7 và b = 24.3.7 nên ƯCLN(a; b) = 3.7
Chọn đáp án A.
II. Bài tập tự luận
Câu 1: Viết các tập hợp sau:
a. A là tập hợp các số tự nhiên chẵn bé hơn 20.
b. B là tập hợp các số không vượt quá 10.
a. Ta có A là tập hợp các số tự nhiên chẵn bé hơn 20.
⇒ A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}
b. Ta có B là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 10.
⇒ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Câu 2:
a. Số liền trước số 49 là số?
b. Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn 228 ≤ a < b < c ≤ 230?
a. Số liền trước số 49 là số 48.
b. Theo đề bài, ta có các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 228 và nhỏ hơn hoặc bằng 230 là 228; 229; 230.
Mà mặt khác a < b < c nên a = 228; b = 229; c = 230.
Câu 3: Thực hiện các phép tính sau
a. 37.275.813
b. 1006.10005.100003
a. Ta có: 37.275.813 = 37.(33)5.(34)3 = 37.315.312 = 37+15+12 = 334
b. Ta có: 1006.10005.100003 = (102)6.(103)5.(104)3 = 1012.1015.1012 = 1012+15+12 = 1039
Câu 4: So sánh
a. 536 và 1124 b. 32n và 23n (n ∈ N*) c. 523 và 6.522
a. Ta có: 536 = (53)12 = 12512
1124 = (112)12 = 12112 . Mà 12512 > 12112 ⇒ 536 > 1124
b. Ta có: 32n = (32)n = 9n
23n = (23)n = 8n . Với n ∈ N* thì 9n > 8n ⇒ 32n > 23n
c. Ta có: 523 = 5.522 < 6.522
Câu 5: Cho số N = 5a27b−−−−−−−−−−−−. Có bao nhiêu số N sao cho N là số có 5 chữ số khác nhau và N chia cho 3 dư 2, N chia cho 5 dư 1 và N chia hết cho 2.
Điều kiện: a, b ∈ {0; 1; 2; 3; ….; 9}
N = 5a27b−−−−−−−−−−−− chia cho 5 dư 1 ⇒ b ∈ {1; 6}
Mà N chia hết cho 2 nên b = 6, ta được số N = 5a27b−−−−−−−−−−−−
Vì N chia 3 dư 2 nên 5 + a + 2 + 7 + 6 = 20 + a chia 3 dư 2 ⇒ (18 + a) ⋮ 3
Mà 18 ⋮ 3 nên a ⋮ 3 ⇒ a ∈ {0; 3; 6; 9} (a là chữ số)
Lại có N là số có 5 chữ số khác nhau nên a ∈ {0; 3; 9}
Vậy có 3 số N thỏa mãn yêu cầu bài là 50276; 53276; 59276
Câu 6: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n = 2k
+ Với n = 2k + 1 ta có: (n + 3)(n + 6) = (2k + 1 + 3)(2k + 1 + 6) = (2k + 4)(2k + 7)
= 2(n + 2)(2k + 7) chia hết cho 2.
+ Với n = 2k ta có: (n + 3)(n + 6) = (2k + 3)(2k + 6)
= 2(2k + 3)(k + 3) chia hết cho 2.
Vậy với mọi n ∈ N thì (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
Câu 7: Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài là 680cm và chiều rộng là 480cm. Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Hỏi viên gạch đó có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?
Ta có:
Gọi độ dài của viên gạch hình vuông là x.
Để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì x phải là ước chung của chiều dài và chiều rộng.
Hay 680 ⋮ x và 480 ⋮ x ⇒ x ∈ ƯC(680; 480)
Để x lớn nhất thì ⇒ x ∈ ƯCLN(680; 480)
Ta có: 
⇒ x ∈ ƯCLN(680; 480) = 23.5 = 40
Vậy để lát kín căn phòng đó mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài lớn nhất của viên gạch là 40cm
Câu 8: Một khu đất hình chữ nhất có chiều dài là 60cm, chiều rộng là 24cm. Người ta chia thành những thửa đất hình vuông bằng nhau, để mỗi thửa đất có diện tích lớn nhất thì độ dài mỗi cạnh của thửa đất đó bằng?
Gọi độ dài cạnh của mỗi thửa đất hình vuông là x (cm)
Để diện tích của một thửa đất đó lớn nhất thì độ dài x lớn nhất.
Vì các thửa đất đó được chia ra từ khu đất hình chữ nhật có chiều dài là 60cm, chiều rộng là 24cm
Nên x phải là ước của 60 và 24 hay x ∈ ƯC(24; 60)
Khi đó x lớn nhất thì x = ƯCLN(24; 60)
Ta có: 
⇒ ƯCL(24; 60) = 22.3 = 12
Vậy mỗi thừa đất hình vuông có độ dài cạnh lớn nhất là 12cm
Câu 9: Tổng của hai số tự nhiên gấp 3 lần hiệu của chúng. Tìm thương của hai số tự nhiên đó?
Gọi hai số tự nhiên đã cho là a và b (a > b)
Ta có: a + b = 3(a – b)
Nên a + b = 3a – 3b ⇒ 2a = 4b tức là a = 2b
Do đó a:b = 2
Vậy a:b = 2.
Câu 10: Chứng minh A là một lũy thừa của 2 với A = 4 + 22 + 23 + …. + 220
Ta có: A = 4 + 22 + 23 + …. + 220
2A = 8 + 23 + 24 + 25 + …. + 221
Suy ra: 2A – A = 221 + 8 – (22 + 4) = 221
⇒ (đpcm)
Câu 11: Cho số abc−−−−−−−−−− chia hết cho 27. Chứng minh rằng số bca−−−−−−−−−− chia hết cho 27
Ta có: abc−−−−−−−−−− ⋮ 27
⇒ abc0−−−−−−−−−− ⋮ 27
⇒ 1000a + bc0−−−−−−−−−− ⋮ 27
⇒ 999a + a + bc0−−−−−−−−−− ⋮ 27
⇒ 27.37a + bca−−−−−−−−−− ⋮ 27
Do 27.37a ⋮ 27 nên bca−−−−−−−−−− chia hết cho 27
⇒ (đpcm)
Câu 12: Viết số 108 dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 0.
Giả sử số 108 được viết dưới dạng tổng của k số tự nhiên liên tiếp là n + 1; n + 2; ….; n + k với k, n ∈ N, k ≥ 2, n+1 ≥ 1
Ta có: (n + 1) + (n + 2) + … + (n + k) = 108
(2n + k + 1)k = 216
Bài toán đưa về tìm các ước của 216. Ta đưa ra các nhận xét sau để giảm bớt các trường hợp phải xét:
+ 2n + k + 1 > k ≥ 2
+ Hiệu (2n + k + 1) – k = 2n + 1 là số lẻ nên trong hai số của hiệu thì có một số là số lẻ, có mỗi số là số chẵn.
Do đó ta chỉ cần tìm ước lẻ của 216 đồng thời (2n + k + 1)k = 216
Phân tích 216 ra thừa số nguyên tố là 216 = 23.33
Ước lẻ của 216 lớn hơn 1 là 3, 9, 27
+ Với k = 3 thì 2n + k + 1 = 72 ta được n = 34
Do đó: 108 = 35 + 36 + 37
+ Với k = 9 thì 2n + k + 1 = 24 ta được n = 7
Do đó: 108 = 8 + 9 + 10 + … + 16
+ Với 2n + k + 1 = 27 thì k = 8, ta được n = 9
Do đó: 108 = 10 + 11 + 12 + … + 17