Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác –

Chúng ta biết rằng một tam giác được hoàn toàn xác định nếu biết một số yếu tố, chẳng hạn biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó. Như vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có một mối liên hệ xác định nào đó mà ta sẽ gọi là Các hệ thức lượng trong tam giác. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu những hệ thức đó và các ứng dụng của chúng.Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu: a = BC, b = CA, c’=AB.A. Tam giác ABCVUÔng tại A Có đường CaO.AH = h. Và Có BC=a, CA = b AB = 0. Gọi BH = c”và CH= b'(h.2.11). Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được Các hệ thức lượng trong tam giáCVUÔng:a’ = b + .が=a×■c* = ax C b ho=box. B H a C ah= bx Hình 2,111= R — H –… b. c. . : Sin C = COSB =sinB = COSC -| col8 = lanctanB = CotC = BĦ; CTrước tiên ta tìm hiểu hai hệ thức lượng cơ bản trong tam giác bất kì là định lí cÔsin và định lí sin. Định lí côsin a). Bài toán. Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC (hình 2.12). G|Ả| 2 -12 – – 2 Ta có BCo=BC’=AC=AB) -2 – 2 — = AC + AB – 2 ACAB Hình 2,12 2 -2 -2 ACI |AB| BC?= AC+AB – 2|AC|. |AB|cos A.Vậy ta có BC”=AC° + AB”–2ACAB.cos Anên BC= NAC° +AB”–2ACAB.cos A.Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra định lí sau đây: b) Định lí côsin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b.AB = c ta có :a = b + C – 2bc COSA : .bo= a + co-2ac cos B:co = a’ + b* -2ab cosC.A. Hãy phát biểu định lí cÔSin bằng lời. As Khi ABC là tam giác Vuông, định || CÔsin trở thành định lí quen thuộc nào ?Từ định lí côsin ta suy ra:Héqua2ور __ 02,2L cos A = P *f*;2bC 2, 2 .2 cos B=“ ;2ac 2 2 .2 cosc = ” : ‘ ‘ .2abc) Áp dụng. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma, m, và m, là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Ta có:A 2(b+c)-a m = — ;4. C り 2(a+c)-b リー一。 B C2(a+b)-c ==一 Hình 2,13 Thật vậy, gọi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng định lí côsin vào tam giác AMB ta có:2 2 m; =c -2c.; cos B = c. – — ac cos B2 nên ta suy ra:2- .2 Vì coSB = a t c – b. 2ac2 .2 ? a +c-b 2(b+c)-a m = c” + -i, — ac. —— = ——. 4. 2ac 4. Chứng minh tương tự ta có:2, 2 2 2(a + c)-b リー一2(a+b)-c- -.As Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6 cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giác ABC đã cho.d) Vidu鳕 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm và góc Ĉ = 1 10°. Tinh cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.GIẢI Đặt BC’=a, CA = b.AB = c. Theo định lí cÔsin ta có:co = ao + bo – 2ab cos C = 16° + 10° – 2.16.10 cos 110°co = 465.44. Vậy c = \{465,44 = 21,6 (cm).S.Hình 2,14 Theo hệ quả định lí côsin ta có: boico-ao 104 (21,6-16 2bc 2.10.(21,6)cOS A = = 0,7188.Suy ra Â = 44°2′, B = 180°–(Â+Ô)=25°58′. Ví dụ 2. Hai lực 而 Và f cho trước cùng tác dụng lên một vật và tạo thành góc nhọn 阮, 动 = 2. Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực 5.G|Ả|Đặt AB = If, AD=f, và vẽ hình bình hành ABCD (h.2.15). Khi đó AC=AB+AD=7} +7,=3.Vay İsl=ACl = i + F.İ.Hình 2,15Theo định lí cÔsin đối với tam giác ABC ta có ACP = AB + BC? – 2AB, BC, cos B,hy =-2 cost 80-0)Do đó R’=\fi° +5° +2|7||6||cosa.2. Định lí sin As Cho tam giác ABC VuÔng ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a. CA=b, AB= C. Chứng minh hệ thức: 3. b C- = – – – -2R, sin A sin B sin CĐối với tam giác ABC bất kì ta cũng có hệ thức trên. Hệ thức này được gọi là định lí sin trong tam giác,50 a) Định lí sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b., AB = C và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có :b C= — = — = 2R. sin A sin B sinCHỨNG MINH, Ta chứng minh hệ thức =2R. Xét hai trường hợp:sin A • Nếu góc A nhọn, ta vẽ đường kính BD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và khi đó vì tam giác BCD vuông tại C nên ta có BC = BD.sin D hay a = 2R. sin D (h.12.16a).Ta có BAC=BDC vì đó là hai góc nội tiếp cùng chắn cung 6°. Do đóa = 2.R. sin A hay – = 2R. Sin AHình 2,16• Nếu góc A tù, ta cũng vẽ đường kính BD của đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC (h.2.16b). Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O nên D=180° -Â. Do đó sinD = sin(180°-A). Ta cũng có BC=BD.sin D hay a = BD. Sin A.(7 – sin AVay a = 2Rsin.A hay 2R. sinVậy ta có — = ~~ = -c == sin A sin B sin CCác đẳng thức = 2R và = 2R được chứng minh tương tự. sin B CAs Cho tam giác đều ABC Có cạnh bằnga. Hãy tính bán kính đường trÔn ngoại tiếp tam giác đô.b) Ví dụ. Cho tam giác ABC có B = 20°, Ô =31° và cạnh b = 210 cm. Tính Â, các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.G|Ả| CHình 2,17Ta có Â = 180°–(20°+31°), do đó Â = 129° (h.2.17). Mặt khác theo định lí sin ta có: -*: = ~~~ = ~~ = 2R (1)b sin A 210. sin 129° sin B sin 20°= 477,2 (cm).Từ (1) suy ra a =b sin C 210. sin 31 o sin B sin 20°== 4772 – 307,02 (cm). 2 sin A 2. sin 129°= 316,2 (cm).R3. Công thức tính diện tích tam giớc Ta kí hiệu ha, h, và họ là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C và S là diện tích tam giác đó.A. Hãy Viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường cao tương ứng. Cho tam giác ABC có các cạnh BC= a, CA = b.AB = c, Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác vàa+b+c – – 2 là nửa chu vi của tam giác.Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sauS = labsinc-thesin A =lcasin B (1) 2 2 2 abc S = – : 2 4R (2) S = pr; (3) S = N p(p-a)(p-b)(p-c) (công thức Hê-rông). (4)Ta chứng minh công thức (1). Ta đã biết S = alia với hạ = AH = ACsinC = bsinC (kể cả C nhọn, tù hay vuông) (h.2.18).AAha bCB — H+ዘrዝh 2,18 Do đó 5 = ab sinc Các công thức S = besin A và 5 = casin B được chứng minh tương tự.abCAs Dựa vào Công thức (1) và định lí sin, hãy chứng minh S= 4R,Ag Chứng minh Công thức S=pr (h.2.19). A () C B KANA CHình 2,19Ta thừa nhận công thức Hê-rông.图Y Ví dụ 1. Tam giác ABC có các cạnh a = 13 m, b = 14 m và c = 15 m. a) Tính diện tích tam giác ABC: b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. G|ẢI a) Ta’ có p = 불(13 + 14 + 15)=21. Theo công thức Hê-rông ta có:S = W21(21-13)(21-14)(21-15) = 84b) Áp dụng công thức S=pr ta có r = – = 4. pVậy đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r = 4 m. Từ công thức $= abc,4Rabc. 13.14.15 ta có R = – = – = 8, 125 (m). a C 4S 336 (m){{* Ví dụ 2. Tam giác ABC có cạnh a = 2\3, cạnh b=2 và C=30°. Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó.G|ẢI Theo định lí cÔsin ta cóco = a + bo – 2ab cos C = Ι2 + 4-22, 5,2, . = 4. Vậy c = 2 và tam giác ABC có:AB=AC=2. Ta suy ra B = Ĉ = 30°. Do đó Â = 120°.Ta có 5 = tacsinB ;-2V3.2+; = N3 (đơn vị diện tích).4. Giải tam giớc và ứng dụng vào việc đo đạc a) Giải tam giác Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.Hình 220. Giác kế dùng để ngắm và đo đạcMuốn giải tam giác ta thường sử dụng các hệ thức đã được nêu lên trong định lí côsin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác. {#3. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết cạnh a = 174 m, B = 44°30′ và C = 64°. Tính góc Â và các cạnh b, C. G|Ả| Ta có Â = 180° – (B + C)= 180° –(44°30′ + 64°) = 71°30′.Theo định lí sin ta có -“ج = -P ی گی- = پی, sin A sin B sin Ca sin B17.4.0, 7009do đó b = – – = 12.9 (m), sin A 0,9483 a sin C 17.4.0, 8988 = 16.5 (m).sin A 0,9483鳕 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có cạnh a = 49,4 cm, b = 26,4 cm và C = 47°20′. Tính cạnh c, Â và B. G|ẢI Theo định lí côsin ta có co = a + bo – 2ab cos C = (49.4) + (26,4)-249,426,40.6777 = 1369,66. Vậy c = V1369,66 = 37 (cm).2 – 2 – 2 – Ta có cos A = bitc. – a 697+1370-240 loo. 2bc. 2.264,37Như vậy Â là góc tù và ta có Â = 101″. Do đó B = 180° –(Â+ C) – 180°–(101° +47°20′)=31°40′. vy B= 3140′,ff3. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có cạnh a = 24 cm, b = 13 cm và c = 15 cm. Tính diện tích S của tam giác và bán kính r của đường tròn nội tiếp.کسبG|Ả|Theo định lí côsin ta có 2+… ,2_,,2 – cOSA = め*+c*ーa 169+225 576 s – 0,4667, 2bc. 2.13.15như vậy Â là góc tù và ta tính được Â = 11749’=> sinA = 0,88.Ta có 5 = besina 봉 131508Áp dụng công thức S = pr ta có r = è. Vi p = ***** To = 26 nen р 2 D r = 85.8 = 3,3 (cm). 26 b) Ứng dụng vào việc đo đạc Bòi todín 1. l:A ột cái tháp ܓ1-1 ܬ A +1 >A 4ر.A.4یرہ – A tháp.Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc CAD, CBD. Chẳng hạn ta đo được AB = 24 m, CAD = or = 63°. CBD={}=48°. Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau:hHình 2.21 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có AD AB sin /3 sin DTa có 2 = D + (3 nên Ô = & -/3=63°–48°=15°. o – Do đó AD = AB sin A 24 sin 48 s 68,91. sin(CY – 6) sin 15oTrong tam giác vuông ACD ta có h = CD = ADsin CZ = 61,4 (m).Bởi toớn 2. Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc CAB và CBA. Chẳng hạn ta đo được AB= 40 m, CAB= (x = 45°, CBA=/3=70°.Hình 2,22Khi đó khoảng cách AC được tính như sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta cóAC—– (n22) sin B sin C 1.2.3.4.678.9.Vì sinC = sin (CZ+/?) nên AC = AB sin 1940, sin 70″ 41.47 (m). sin(CY + 6) sin 115oVậy AC = 41,47(m).CÔu hỏi Vờ bời fộpCho tam giác ABC vuông tại A, B = 58” và cạnh a = 72 cm. Tính C, cạnh b, cạnh C và đường cao ha. Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1 cm, b = 85 cm và c = 54 cm. Tính Các góc A, B và Ô.Cho tam giác ABC có A = 120°, cạnh b = 8 cm và c= 5 cm. Tính cạnh a, và các góc B, C của tam giác đó. Tính diện tích $ của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7,9 và 12.Tam giác ABC có Â= 120°. Tính cạnh BC cho biết cạnh AC = m và Tam giác ABC có các cạnh a = 8 cm, b = 10 cm và c = 13 cm. a) Tam giác đó có góc tù không ? b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó. Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết a) Các cạnh a = 3 cm, b = 4 cm và C = 6 cm; b) Các cạnh a = 40 cm, b = 13 cm và c = 37 cm.Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5 cm, B = 83° và C = 57°. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và C của tam giác.Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b., BD = m và AC = n. Chứng minh rằng n’ + n = 2(? -10. Hai chiếc tàu thuỷ P và Q cách nhau 300 m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A1 1.của tháp hải đăng 4B ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc BPA = 35° và BOA = 48°. Tính chiều cao của tháp.. Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận (h.2.23),người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (h.2.24). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A, B, cùng thẳnghàng với C, thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được DAC) = 49° và DB, C = 35°. Tính chiều cao CD của tháp đó.Hình 2,23 Hình 2,24 Loài người đã biết được khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng cách đây khoảng hai ngàn năm với một độ chính xác tuyệt vời là vào khoảng 384 000 km. Sau đó khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng đã được xác lập một cách chắc chắn vào năm 1751 do một nhà thiên văn người Pháp là GiÔ-dep La-lăng (Joseph Lalande, 1732-1807) và một nhà toán học người Pháp là Ni-cô-la La-ca (Nicolas Lacaille, 1713–1762). Hai ông đã phối hợp tổ chức đứng ở hai địa điểm rất xa nhau, một người ở Bec-lin gọi là điểm A, còn người kia ở Mũi Hảo Vọng (BonneEspérance) một mũi đất ở cực nam châu Phi, gọi là điểm B (h. 2.25). Gọi C là một điểm trên Mặt Trăng. Từ A và B người ta đo và tính được các góc A, B và cạnh AB của tam giác ABC.Trong mặt phẳng (ABC), gọi tia AX là đường chân trời vẽ từ đỉnh A và tia By là đường chân trời vẽ từ đỉnh B. Kí hiệu a = CAx, B = cву. Gọi O là tâm Trái Đất, ta có:ΟTrái Đất Lu = AB=BA-406Tam giác ABC Có A = а + и, в = B+ и. Hình 2,25Vì biết độ dài cung ÂB nên ta tính được góc AOB và do đó tính được độ dài cạnh AB. Tam giác ABC được xác định vì biết “góc – cạnh – góc” của tam giác đó. Từ đó ta có thể tính được chiều cao CH của tam giác ABC là khoảng cách cần tìm. Người ta nhận thấy rằng khoảng cách này gần bằng mười lần độ dài xích đạo của Trái Đất (= 10 x 40 000 km).

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!