Cung và góc lượng giác –

Đường tròn định hướng và cung lượng giác Cắt một hình tròn bằng bìa cứng, đánh dấu t tâm O và đường kính AA’. Đính một sợi dây vào hình tròn tại A. Xem dây như một trục số t’t, gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán kính OA. Như vậy hình tròn này có bán kính R = 1. Cuốn dây áp sát đường tròn, điểm 1 trên trục t’t chuyển thành điểm M1 trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành điểm M2, … ; điểm -1 thành điểm N1, … (h.39). Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với một điểm xác định trên đường tròn. Nhận xét a). Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác -2 nhau trên trục số có thể ứng với cùng một điểm trên đường tròn. Chẳng hạn điểm 1 trên trục số ứng với điểm M1, nhưng khi cuốn quanh đường tròn một vòng nữa thì có một Hình 39điểm khác trên trục số cũng ứng với điểm M1. b). Nếu ta cuốn tia AI theo đường tròn như trên hình 39 thì mỗi số thực dương t ứng với một điểm M trên đường tròn. Khi t tăng dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tương tự, nếu cuốn tia Af”’ theo đường tròn thì mỗi số thực âm tứng với một điểm M trên đường tròn và khi t giảm dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều quay của kim đồng hồ.133 134Ta đi tới khái niệm đường tròn định hướng sau đây :Đường tròn định hướng là một \t đường tròn trên đó ta đã chọn một A Chiều chuyển động gọi là chiềudương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương (h.40). //ình 40Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B. Hình 41 cho ta hình ảnh của bốn cung lượng giác khác nhau có cùng điểm đầu A, điểm cuối B.B a) b) c)Hình 41 Ta có thể hình dung một điểm M di động trên đường tròn từ A đến B theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, nó lần lượt tạo nên các cung tô đậm trên hình 41. Nếu dừng lại ngay khi gặp B lần đầu, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 4la), nếu nó dừng lại sau khi quay một vòng rồi đi tiếp gặp B lần thứ hai nó tạo nên cung tô đậm trên hình 4 lb),… Khi M di động theo chiều ngược lại, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 4ld) nếu nó dừng lại khi gặp B lần đầu,… Mỗi lần điểm M di động trên đường tròn định hướng luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ điểm A và dừng lại ở điểm B, ta được một cung lượng giác điểm đầu A điểm cuối B. Như vậyVới hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung nhưvậy đều được kí hiệu là ÁB. CHÚ Ý: Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thìKí hiệu AB chỉ một cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác định.Kí hiệu Ab chi một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.2. Góc lượng giác D Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác Ốồ (h.42). Một điểm M \ chuyển động trên đường tròn từ C tới D M tạo nên cung lượng giác Ôồ nói trên.Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM //ình 42 tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).3. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường A'(-l:0) tròn định hướng tâm O bán kính R = 1 (h.43). Đường tròn này cắt hai trục toạ độ tại bốn điểm A(1: 0), A'(-1 ; 0), B(0:1), B'(0: -1). Ta lấy A(1: 0) làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).Hình 43II – SỐ ĐO CỦA CUNG VẢ GỐC LƯợNG GIÁC1. Độ và radian a) EDon vi iradian Đơn vị độ đã được sử dụng để đo góc từ rất lâu đời. Trong Toán học và Vậtlí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung, đó là rađian (đọc là ra-di-an).135 Trên hình 39 ta thấy độ dài cung nhỏ AM bằng 1 đơn vị, tức là bằng độ dài 1 radian (viết tắt là 1 rad). Tổng quátTrên đường tròn tuỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và radian Ta biết độ dài cung nửa đường tròn là It’R… nên trong hình 43 số đo của – ܓ-, cung AA’ (hay góc bẹt AOA’) là It rad (vì R’= 1). Vì góc bẹt có số đo độ là 180 nên ta viết 180°= It rad. o Suy ra 1”= – ) rad và 1 rad= () – 18O π. Với t < 3,14 thì 1° s 0.01745 rad và 1 rad s:57°17'45". CHÚ Ý Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn cung * được hiểu là cung Trad. 2 2Bảng chuyển đổi thông dụng | Độ || 30° | 45° || 60° | 90° | 120°| 135° | 150° || 180° |Radian л л тt т 6 4. 3. 2汽, dụng máy tính bỏ túi để đổi từ độ sang rađịan và ngược lại. Nếu dùng máy tính CASIO fX-500MSta làm như sau a) Đổi 35°47'25" sang rađịan Ấn ba lần phím rồi ấn [2] để màn hình hiện chữ{R_1. Sau đó ấn liên tiếp or 47) is 1 =cho kết quả 0,6247 (đã làm tròn đến bốn chữ số thập phân).136b) Đổi 3 rad ra độẤn ba lần phím rồi ấn [1]để màn hình hiện chữ[D1. Sau đó ấn liên tiếp(SHIFTDRG - 2 - SHIFT) Er.cho kết quả 171°53'14" (đã làm tròn đến giây).c) Độ dài của một cung trònTrên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là Tt rad và cóđộ dài là TtR. Vậy Cung có số đo O rad của đường tròn bán kính R có độ dài2. Số đo của một cung lượng giác Ví dụ. Xét cung lượng giác Áb trong hình 44a). Một điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương. Khi M di động từ A đến B tạo nên cung đường tròn, ta nói cung này có số đo 5. sau đó đi tiếp một vòng tròn nữa(thêm 27t), ta được cung lượng giác ÁB có số đo là +2几=Tương tự, cung lượng giác AÈ trong hình 44b) có số đo là°+2n+2n=° 2 2Cung lượng giác Άό trong hình 44c) lại có số đo là-"-2r-2r-2r=-* 4. 4Hình 44137 Từ các ví dụ nêu trong hình 44 ta thấy Số đo của một cung lượng giác ÁM (A z M) là một số thực, ám hay dương. Kí hiệu số đo của cung ÁM là sả ÁM.2Cung lượng giác Áồ (h.45) có số đo là bao nhiêu? GHINHỞ Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 27t. Ta viết//ình 45 sdÁM= a + k2TL, k e Ztrong đó (Z là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M. Khi điểm cuối M trùng với điểm đầu A ta cósd ÁÀ = k2T, ke Z;khi k=0 thì SđÁA = 0. Người ta cũng viết số đo bằng độ. Công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác ÁM làsdÁM= a” + k360°, ke Ztrong đó a” là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.3. Số đo của một góc lượng giác138Ta định nghĩa Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượnggiác Áč [ương ứng. 4.3 Tìm số đo của các góc lượng giác (OA, OE) và (OA, OP) trên hình 46 (điểm E là điểm chính giữa của Cung A'B'', AP = l AB). Viết số đo này theo đơn vị rađịan và theo đơn vị độ.CHÚ Ý: Hình 46 Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A(1: 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo (Y trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức SđÁM = x.Ví dụ. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo lần lượt làa257. b) -765". 4. Giaii 257 Л. = + 3.2 TT. a) 4 4.Vậy điểm cuối của cung là điểmchính giữa M của cung nhỏ AB (h.47). b) -765" = -45" + (-2).360".Vậy điểm cuối của cung -765° là điểm chính giữa N của cung nhỏ Ав' (h.47). Hình 47139 Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không ? Khi nào trường hợp này xảy ra ?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Cung và góc lượng giác

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!