Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

Dạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụngDạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng –

Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số 2. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Nếu (2 là một acgumen của 2 (h,4,5) thì mọi acgumen của 2 có dạng (2 + k27t, k = Z. (Người ta thường nói : Acgumen của 2 + 0 xác định sai khác k27t, k = Z). Ví dụ 1 (h.4.6). a) Số thực dương tuỳ ý có một acgumen là 0 b) Số thực âm tuỳ ý có một acgumen là 7t. c) Các số 3i, -2i và 1 + i theo thứ tựл 7t л –s , — Va — >có một acgumen là 2 2 4.Hình 4,6 Nhận xét Hai số phức 2 và l2 (với 2 z 0 và 1 là số thực dương) có acgumen Sai khác k2It, k = Z, vì các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O (h.4.7).|н1] Biết số phức z z 0 Có mộtaCgumen là (). Hãy tìm mộtacgumen của mỗi số phức sau:= = as o ang = =-2 : C ; -2 : + (để ý rằng ェー 출) //ình 4,7 b) Dạng lượng giác của số phức y Xét số phức 2 = a + bi z0 (a, b = R). M(a + bi)Kí hiệu r là môđun của 2 và 92 là một acgumen của 2 (h.4.8) thì dễ thấy rằng: a = r cos(p, b = rsin (0. Vậy 2 = a + bi z0 có thể viết dưới dạng z = r(cos (p + i sin (p).Hình 4,8Ta có ĐINH NGHIA 2 Dạng 2 = r (cos(2 + i sin (2), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức 2 z 0. Còn dạng 2 = a + bi (a, b = R) được gọi là dạng đại số của số phức 2.Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác r(cos(2 + i sin(2) của số phức 2 = a + bi (a, b e R) khác 0 cho trước, ta cần :1) Tìm ra: đó là môđun của 2, r = Na° + b° ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số 2 trong mặt phẳng phức.2) Tìm () : đó là một acgumen của 2; () là số thực sao cho cos() = g và sin (p = b ; số 9 đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM.201 Ví dụ 2 a) Số 2 có môđun bằng 2, có một acgumen bằng 0, nên nó có dạng lượng giác 2(cos 0 + i sin 0) ;b) Số -2 có môđun bằng 2, có một acgumen bằng Tt nên nó có dạng lượnggiác 2(cos 7t + i sin It) :c). Số ỉ có môđun bằng 1, có một acgumen bằng 홍 nên nó có dạng lượng iác cos” isin” -י 2 **** ‘ ‘ 2d). Số 1 + i có môđun bằng Ν2, cό một acgumen bằng nên nó có dạnglượng giác V2 (cos့်4. 4. e). Số có môđun bằng Wi + (x3) = 2, có một acgumen là 92 sao 1 . ーV3 Tا . , , cho cos (p = 5, sin (0 = – – Lấy (2 = thì all – ( sin( i 1 – 3. – = 0 s + SII 3 ||CHÚ Ý 1) |-|= 1 khi và chỉ khi 2 = cos(2 + i sinọ (ọ = R). 2) Khi z = 0 thì |-|= r = 0, nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tuỳ ý và vẫn viết 0 = 0 (cos (p + i sin (p)). 3) Cần để ý đòi hỏi r> 0 trong dạng lượng giác r(cos(2 + i sin(2) của số phức 2 #0. Ví dụ 3 a) Số phức –(cos(2 + i sin(2) có dạng lượng giác là cos((p + t) + i sin((p + t). b) Số phức cos(2 + i sinọ có dạng lượng giác là cos(-ợp) + i sin(-gp).н2] Cho 2 = r (cos(2 + i sin(2) (r>0), tìm môđun và một acgumen của từ đó 1Suy ra dạng lượng giác của2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Ta đã biết công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lí nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức.ĐINH LíNếu 2 = r(cos(2 + i sin (2), z’ = r'(cos (p’ + i sin (p’) (r > 0, r’ > 0), thì zz” = rr” (cos(p + (p’) + i sin (p + (p’)),– (cosco – (2) + i sin((2′ – (2)] (khi r > 0).Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các môđun và tổng các acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các môđun và hiệu các acgumen. Chứng minh zz’ = r(cos(p + i sin (p)r’ (cos(p+ i sin (p”) = rr”[cos qp cos (p” — sin (psin (p’ + i (sin qp cos çp’ + cos (psin (p’)) = rr”[cos((p + ‘(p’) + i sin ((p + ‘(p’)).Mặt khác, ta có l (cos(-9) + i sin(-ọ)]. Theo công thức nhân số phức,ta có , 1 r.” – – == = [cos(o – (p) + i sin(p’ – (p). D Ví dụ 4. Ta có 1 + i = J2[coဇ; + Isin ဒုံး) – ” in” Va. V3+ i =2(cos* +isin nên 1 + i – ਕੰਮ – isin – 3. 2 4 6 “4 6 – cosརྟ + isin 2 12 ‘ ‘ ” 12 ) ”2033.Nhận xét. Nếu thực hiện phép chia trong ví dụ 4 dưới dạng đại số, ta được1 + i. 1 = }|1+ N3 + (N3 – 1)ỉ | nên từ kết quả trên suy ra V3+ i q y cos=”” – V2(1 + v3)V3) sin=”” V2(V3 – 1)1). 12 4. s 12 4Công thức Moa-Vrơ (Moivre) và ứng dụnga) Công thức Moa-vrơTừ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằngquy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với mọi sốnguyên dương n, (r(\cos (p + i sin (p)” = r” (cos nọp + i sin ngp)và khi r = 1, ta có(cos (p + i sin (p)” = cos ngp + i sin ngp. A. De Moivre – – – – – (1667 – 1754) Cả hai công thức đó đều được gọi là Công thức Moa-Vrơ.5 Ví dụ 5. (1 + i)* = |Jø(cos့် — in.)(J2)'(cos်း isin4.= -4 (1 + i). b) Ứng dụng vào lượng giác Công thức khai triển luỹ thừa bậc ba của nhị thức cos(2 + i sin (2 cho ta (cos (p + isin 0)’ = cos φ + 3 cos’ (p(isin (p) + 3cos(Ip(isin 0)് + (isin φ) = cos φ – 3cos (o sino φ + i(3 cos’ (psin (O – sino (p). Mặt khác, theo công thức Moa-Vrơ,(cos qp + i sin ()” = cos3gp + i sin 3gp. • Từ đó suy racos3(p = cos φ – 3cos psino φ = 4cos (p — 3 cos qp,sin 3ọp = 3 cos’ (psin (p — sino = 3 sin gp – 4 sino φ. Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển luỹ thừa bậc n của nhị thức cos(2 + i sinọ với công thức Moa-Vrơ, có thể biểu diễn cos nọ và sin mọ theo các luỹ thừa của cos(), sin (2. c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Từ công thức Moa-Vrơ, dễ thấy số phức 2 = r(cos(2 + i sin (2), r > 0 có hai căn bậc hai là“” ; sin o Vrcos, + i sin 5)và – Nrcos ? isin 😉 – v#{cosုမ္ဘီ + л) + isin (; -h r).Câu hủi và bài tập27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức : 2 : -… ; ; ; kz (k = IR’) trong불mỗi trường hợp sau: a) z = r(cos (p + i sin (p) (r > 0);b) z = 1 + V3 i. 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:부b) 2i (V3 – i) ;d) z = sin (p + i cos (po (qp e R).Chú ý. Có thể dùng máy tính bỏ túi để chuyển đổi dạng đại số với dạng lượng giác của số phức z z 0. Chẳng hạn, dùng máy tính bỏ túi CASIO f\ –500MS để:1) Đổi từ dạng đại số 2 = 1 + thành dạng lượng giác 2 = r(cos(2 + i sin(2) thì (đặt ở chế độ “rađian”) ấn liên tiếp1 3 | = |: trên màn hình hiện 2(tức là r = 2); ấn tiếp “~nر %61A ܦ . : trên màn hình hiện F = 1.047197551 (tức là () s2) Đổi từ dạng lượng giác 2 = 2(cos’); + #sin 😉 thành dạng đại số 2 = a + bi thì (đặt ở chế độ “rađian”) ấn liên tiếp2 ] [SHIFT ] [ r ] [ 4 ] 3 ) ] [ — ]trên màn hình hiện 1 (tức a = 1); ấn tiếp|RCL) F : trên màn hình hiện F = 1.732050808 (tức là b = V3). 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn (1 + ị)” và công thức Moa-Vrơ đểtính C% – Cổ, + Co, … + Clo – Cổ. 30. Gọi M. M” là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các sốz = 3+i, z = (3–N3)+(1+3\3)i.a) Tính i.b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của Z’ Với aegumen của 2 là một số đocủa góc lượng giác (OM, OM”). Tính số đo đó,31. Cho các số phức w = () + i) và 9 = a) Chứng minh rằng z0 = cos†၌ + i. *苦… Z = 20°, 22 = Zoo” là các nghiệm của phương trình z – w = 0.b) Biểu diễn hình học các số phức 20, 21, 22.2063. 23. 53. 6LUWệm tập- Sử dụng công thức Moa-Vrơ để tính sin4ọ và cos4ọ theo các luỹ thừa củaSin (2 và cOS(0.. Tính(V3 – i)”; i r1 + i. 1–2|N|3. Cho số phức w = -불0 + N3). Tìm các số nguyên dương n để w” là số thực.Hỏi có chăng một số nguyên dương m để w” là số ảo ?- Viết dạng lượng giác của số phức 2 và của các căn bậc hai của 2 cho mỗitrường hợp sau: , , , 5л a) |-| = 3 và một acgumen của iz là 4 b) |z| = 1. và môt aegumen của là 37t. 3 – 1 + i. 4 – Viết dạng lượng giác của các số phức sau:,T 5лa) 1 – i tans; b) tan + i ;c) 1 — cos q2 – i singo (qp e R, qp # k2TT, k e Z).CẢN BÂC n CỦA SỐ PHỨCTương tự định nghĩa căn bậc hai của số phức, ta gọi số phức z sao cho 2” = w là một căn bậc n của số phức w. (n là số nguyên cho trước, n > 1). Rõ ràng chỉ có một căn bậc n của W = 0 là 0. Khi w z 0, ta viết w dưới dạng lượng giác w = R(cos a + i sin (2), R > 0. Ta cần tim z = r(cos (p + i sin (p), (r > 0) sao cho z” = w.2O7Chú ý: Nếu w ≠ 0 thì các căn bậc n (n > 3 cho trước) của w được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của một n-giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận