Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm –

Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian I (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s = t^2. Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t ; t0]. Với t0 = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2.9; t = 2.99 Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian 1 s = S(t).Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to, Giải. Trong khoảng thời gian từ 10 đến t, chất điểm đi được quãng đường làS – S0 = S(t) – s(to). Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ sốS — 80 — S(T) — S(10)t – to 1 – կ0 là một hằng số với mọi t. Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm. Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian |t – to|- Khi 1 càng gần 10, tức là t tol càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm 10. Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây.Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim s(t) – s(to) 1–»ባ0 [ ̈ I0 được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm (0, Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to, b). Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian I: O = O(t).147Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian || – 10|làI., F. Q(t) – Q(to) = -. t – lo Nếu |! – to càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm to. Người ta đưa ra định nghĩa sau đây. Giới hạn hữu hạn (nếu có) i Q0) — Q(fo) 1-»to t – կ0 được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to, NHÂN XÉT Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học,… đưa đến việc tìm giới hạn dạng lim f(x) – f'(x0) , trong đó y = f(x) là một hàm số x→xo – *0 đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ĐINH NGHIA Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 = (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim f(x)-f(x0) *→x0 A X0thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm X0 và kí hiệu là f'(x0) (hoặc y'(x0)), tức làf'(xo) = lim f(x) – f'(x0).x-> x0 x – 0148CHÚ Ý Đại lượng AY = x – \0 được gọi là số gia của đối số tại \0,Đại lượng Ay = f(x) = f(x0) = f(x0+ AY) -f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậyAy ‘(x) = lim -. y (AO Δr-sΟ ΔΥ3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa2 汽。 hàm số y = x”. Hãy tính y'(xn) bằng định nghĩa.Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây.QUY TÁCBước 1. Giả sử Ax là số gia của đối số tại x0, tính Ay=f(x0) + Ax)-f(x0). Bước 2. Lập tỉ số o. ΔαBước 3. Tìm lim Δy. ΔΥ-»0 ΔνVí dụ I. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = l tại điểm x0 = 2.Giải. Giả sử AY là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có 1 1. Δ.Α. Δν = f(2 + Δα) – 7 (2) = – – – = — Τ – : y = f(2+A)-f(2) – A — six —- Δν 2(2 + Δα) lim A = lim — Δν-»0 ΔΧ Λα – 02(2 + Δ.Α.)l4. 1Vāv f(2) = —ay f'(2) 4.1494. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số5.150Ta thừa nhận định lí sau đây. ĐINH LÍ1 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại \0 thì nó liên tục tạiđiểm đó.CHÚ Ý a) Định lí trên tương đương với khẳng định: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại \0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn, hàm số f(x) = nếu A > 0 \ nếu \ < 0 liên tục tại x = 0, nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị "gãy" tại điểm O(0:0) (h. 62).Ý nghĩa hình học của đạo hàm 32. a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x)=. b) Tính f'(1). }/ình 62 c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M(1; ) và có hệ số góc bằng f'(1). Nêu nhận y Xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho. .זי-זז a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường '''Fruit cong (C). Giả sử (C) là đồ thị của hàm っ số y = f(x) và M0(\0; f(\0)) = (C), Kí hiệu M(x; f(x)) là một điểm di chuyển Ο *0 trên (C). Đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C) (h.63). Hình 63 Nhận xét rằng khi x → \0 thì M(x; f(x)) di chuyển trên (C) tới điểm M0(\0; f(x0)) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là MộT thì MọT được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm Mo được gọi là tiếp điểm. Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy. b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại \0 = (a ; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.ĐINH LÍ2Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến MoT của (C) tại điểm Mo (\0; f(x0)).Chứng minh. Giả sử M(\o+ Ax; f(x0 + AY)) là điểm di chuyển trên (C). Ta có (h.64)MoH = Ax, HM = Ay. Hệ số góc của cát tuyến M0M là tanọ, trong đó () là góc tạo bởi trục OY và vectơ M0M như trên Hình 64a hoặc 64b. Ta cóHM Ay tan (p = = = = --- . MoH Ax (C) (C) . /(x0 + Ax) M /ίχο + ΔΧ) ܓw T つ /ίχαν Mo T // m: -.] ܘܓܠ 1ாறு 玄エ Y O o x + Ax Ο χο + Δν *0 .ג α) bり Hình 64151Khi M dần tới Mo (M → Mo) thì Ax → 0 và ngược lại. Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại x0 nên tồn tại giới hạn· Ay - '(x) = lim - = lim tanqp. f'(x0 Ax-0 Ax M-Mo φVậy khi M → Mo thì cát tuyến MoM dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng MộT, có hệ số góc bằng lim tanọ = f'(x0).M-Mo Đường thẳng MộT là tiếp tuyến tại Mo của (C). Vậy f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến tại Mo của đồ thị (C). = c) Phương trình tiếp tuyến 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua M0(\0; yo) và có hệ số góc k.Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có định lí sau đây.ĐINH LÍ3Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm Mo(\0; f(x0)) là y - y0 = f'(x0)(x - yo),trong đó y0 = f(x0).5 汽。 hàm số y=-\”+3x-2. Tính y'(2) bằng định nghĩa.Ví dụ 2. Cho paraboly = - +3x -2. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ \0 = 2. Giải. Bằng định nghĩa ta tính được y'(2) = -1. Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là -1. Ngoài ra ta cóy(2) = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm Mo(2; 0) là y -0 = (-1).(x-2) hay y = -x +2. En1526.Ý nghĩa vật lí của đạo hàma) Vận tốc tức thờiXét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình & = x(t), với & = &(() làmột hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thờicủa chuyển động tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số s= x(t) tại to: v(to) = s'(to).b) Cường độ tức thờiNếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q = Q(t) (Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại to:/(to) = Q(to). II - ĐAO HẢM TRÊN MÔT KHOẢNG6 *. định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:a)f(x)=x” tại điểm x bất kì; b) g(x)=} tại điểm bất kì x z 0.ĐINH NGHIAHàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a ; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.Khi đó, ta gọi hàm số f ':(a; b) → R x - f'(x) là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b), kí hiệu là y hay f'(x). Ví dụ 3. Hàm số y = x” có đạo hàm y'= 2Y trên khoảng (–CO; +ơO).Hàm số y = 1. có đạo hàm y'= -- trên các khoảng (–OO: 0) và (0; +2O). LV153B Ả I Đọ C TH Ê MĐAO HAM MÔT BÊN Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và xạ = (a; b). Có thể không tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim f(x) — f(x0) x-ex A so nhưng tồn tại các giới hạn một bên him (*) foto), linn "G*) - ''C'o). x→。 A so ༣-༡.༣ ཀྱི་ ཀྱི་0 Khi đó, ta nói hàm số có đạo hàm một bên. Đ[NH NGHIA 1Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phảilim f(x)—f(vo),༣-) ༣ ཀྱི་ ཀྱི་0 ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại x = \o và kí hiệu là f'(x0). Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)im "二s"༣ ), ༣ A W0 được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại x = \o và kí hiệu là f'(x0). Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên.Từ các tính chất của giới hạn một bên suy ra ngay định lí sau đây. ĐINH LíHàm số y = f(x) có đạo hàm tại xa khi và chỉ khi f'(x0), f'(x) tồn tại và bằng nhau. Khi đó, ta có f"(x) = f"(xo) = f"(vo).154Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số2 t" nếu A > 0 ro- neu y –\ nếu x < 0 có các đạo hàm một bên, nhưng không có đạo hàm tại \n=0, Giải. Ta có: 2 f'(0) = im Jo Jo – im =0 : x- »0" x — 0 x-0 f'(0) = im J“)="= im ===1. x→0丁 x - 0 v-<0 ا۔"Vậy tại \0 = 0, hàm số này có đạo hàm bên phải bằng 0, đạo hàm bên trái bằng -1.Vì các đạo hàm bên phải và bên trái khác nhau nên hàm số không có đạo hàm tai A = 0, . a -0Ví dụ 2. Xét sự tồn tại đạo hàm và các đạo hàm một bên của hàm sốnếu x > 02x nếu Y <0tại điểm x = 0. Giải. Vì 4 lim f(v)-f(0) lim -Vix" -0. lim マー=一。 0' x-0 -0' X-0 v-O" Vx nên hàm số không có đạo hàm bên phải tại x = 0. Vi - - 1im Jo Jo = 1im * =2 A-0 A-0 r–0nên hàm số có đạo hàm bên trái tại x = 0 và f'(0)=2. Từ định lí suy ra rằng hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = 0 =ĐINH NGHIA 2 Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu thoả mãn Các điều kiện sau: Có đạo hàm tại mọi x = (a; b) : Có đạo hàm bên phải tại x = a . Có đạo hàm bên trái tại x = b. 155Bài tập1. Tìm số gia của hàm số f(\) =x, biết rằng:a) Αo = 1 : Αν = 1:b) Χρ = 1; ΔΑ = -0, 1. 2. Tính ^y và của các hàm số sau theo x và A\, :a) y = 2x - 5: b) y= x - 1:c) y= 2a: d) y =3. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:a) y= x + x tại V0=1:b)y= tại \0 = 2;A. с) --- tại \0 = 0. x - 1 4. Chứng minh rằng hàm số 2 (\ - 1)* nếu x > 0 f(x) = , 一X nếu \ < 0không có đạo hàm tại điểm x = 0, nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2. 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = aa) Tại điểm (-1, -1);b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;c). Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol_y = 1.a) Tại điểm b) Tại điểm có hoành độ bằng -1; c). Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -156Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt^2, trong đó g sắp sỉ 9,8 m/s là gia tốc trọng trường. a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 s.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!