Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số –

Nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước. Trong bài này ta sẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.2-GT12-NC-AĐINH NGHIAGiả sử hàm sốfxác định trên tập hợp 90 (9) c-R). a). Nếu tồn tại một điểm \o e 9) sao chof(x) < f(\o) với mọi x = 9) thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên 9), kí hiệu là M = max f(x),x et b) Nếu tồn tại một điểm \o e 9) sao cho f(x) > f(\o) với mọi x = 90thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên9), kí hiệu là m = min f(x),x es Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp 9) cần chỉ rõ: a) f(x) < M (hoặc f(x) > m) với mọi x = 9). b) Tồn tại ít nhất một điểm xo = 90 sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m). Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm sốf(mà khôngnói “trên tập 9)”) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của f trên tập xác định của nó.Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 4 – ? Gidi Tập xác định của hàm số là [-2:2]. Hiển nhiên 0 < f(x) < 2 với mọi A e-2; 2) ; f(x) = 0 <> x = + 2 và f(x) = 2 x_2 x = 0.2-GT12-NC-eDo đó min 4 – x = 0; max J4 – x = 2. O ve[-2;2] x e-2;2 Phương pháp thường được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x” – 3x + 3 trên đoạn -3 Giải. Ta có f'(x) = 3 (x – 1); f(x)=0<>x=土1,Sau đây là bảng biến thiên của f trên đoạn -3 :-3 -1 1 -f'(x) + 0 – 0 +5 15 Τ(Χ) ༄། 8 ހ -15 1Từ bảng biến thiên, ta được max f(x) = f(-1) = 5 ; min f(x) = f(-3) = – 15. 3. 3.e. –3; e -3|H] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốf(x) = x + trên khoảng (1; + CO).Ví dụ 3. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu hình 1.4. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh A (cm), chiều cao là h (cm) và có thể tích là 500cm”. a). Hãy biểu diễn h theo.\, b) Tìm diện tích S(x) của mảnh các tông theox. c) Tìm giá trị của Y sao cho S(x) nhỏ nhất.Gidi Hình 14 a) Thể tích của hộp làV = \°h = 500 (cm). Do đó h=o, x > 0.b). Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là S(x) = x + 4 hx. Từa) ta có S(x) = x + ၁၂% c) Ta tìm x > 0, sao cho tại đó S(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; + CO). Ta có, x > 0.3. S'(x) = 2x – 200 2(x oS'(x) = 0 -> x = 10.Bảng biến thiên của S trên khoảng (0; +ơo): O 10 十○○ S (A) – 0 +S(x) །། 300 کس سے Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0 ; + 3C), hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 10. Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp là x = 10 (cm). D Whận xét Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên khoảng (a + b), có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a; b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [a ; b] như sau :QUY TÁC 1. Tìm các điểm x1, x2, …, xn thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 2. Tính f(xi); f(x2),…, f(\m), f(a) và f(b). 3. So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a ; b]. Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)= x -3.x +3 trên đoạn [0; 2]. Giải. Ta có f'(x) = 3\” – 3 ; “( urY == – 3 – f'(x) 0 3 جے.x. 3 = 0. x=士1 <= x = 1 : 0 < x < 2 0 < x < 2. 0 < x < 2 f(1) = 1; f(0) = 3; f(2) = 5.Do đó f(x) = 5 và ಗ್ಲ್ಯ'(1) = 1.16.Câu hủi và bài tậpTìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốf(x) = sin“ x + cos“ x.17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:1.a) f(x) = x° + 2x – 5 trên đoạn [-2:3]; b) f(x) = 2. + 3.x – 4 trên đoạn [-4; 0]; c) f(x) = x. +. trên khoảng (0; + ơo) ; d) f(x) = -x° + 2\ + 4 trên đoạn [2; 4];2x + 5x +4 x + 2e) f(x) = trên đoạn [0:1];f) f(x) = x - trên nửa khoảng (0; 2].8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a) y = 2 sinox + 2 sin x - 1 ; b)y= cos*2x — sin x cos x + 4.19. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ20.22có cạnh MW nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một Vụ cân nặngP(n) = 480-20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?2 1.2 22 3.24.2 5.2 6LUyệm tập. Tìm cực trị của các hàm số sau:.3.a) f(t) = f; b) f(x) = 1;c) f(x) = 5 - " : d) f(x) = x + \|x - 1.. Tìm giá trị của m để hàm sốx + mx - 1 x - 12 f(x) =có cực đại và cực tiểu.. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thứcG(x) = 0,025x (30 - ), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (Y được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó. - Cho parabol (9): y = x” và điểm A(-3;0). Xác định điểm M thuộc parabol (9) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong 1 giờ được cho bởi công thứcE(v) =trong đó c là một hằng số E được tính bằngjun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiếu hao là ít nhất.. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễmbệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ I là f(t) = 45° – to, t = 0, 1,2,..., 25.Nếu coi_f là hàm số xác định trên đoạn 10: 25] thì f'(t) được xem là tốc độtruyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t.Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó. Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600. d). Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 25]. 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) f(x) = N3 – 2x trên đoạn [-3; 1]; b) f(x) = x + N4 - x; c)-f(x) = sin x + cos”x + 2:d) f(x) = x - sin 2x trên đoạn |28. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!