Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác –

Trong mục này, ta sẽ mở rộng các giá trị lượng giác của góc hình học thành giá trị lượng giác của góc lượng giác. Đó là cơ sở để xây dựng các hàm số lượng giác, những hàm số quan trọng trong toán học, khoa học và kĩ thuật, liên quan mật thiết đến thực tiễn. Đường tròn lượng giác a) Định nghĩa Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc. Nhắc lại rằng người ta luôn quy ước trên đường tròn lượng giác, chiều ngượcchiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là Chiều âm.b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác Cho đường tròn lượng giác tâm O, gốc A. Với mỗi số thực ơ, hiển nhiên có một cung lượng giác duy nhất AM có số đo CY (rad), cũng có nghĩa là có một góc lượng giác duy nhất (OA, OM) có số đo ca. Qung và góc lượng giác đó gọi tắt là cung a và góc ai; đôi khi ta cũng viết AM = ơ và (OA, OM) = o. Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = (2 gọi là điểm xác định bởi số a (hay bởi cung ơ, hay bởi góc &). Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo ơ. Ta nhận xét ngay rằng: Ứng với mỗi số thực a có một điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực. Các số thực đó có dạng (Y+ K27t, k = 7.|H1]. Để thấy rõ hơn tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác, hãy xét trục số Af (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung Af là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như ở hình 6.10: Điểm Mt trên trục AI có toạ độ (z đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác thoả mãn SđÁV^= (, tức M xác định bởia. Hỏi: a) Các điểm nào trên trục sốAt đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác ? //ình 610 b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác (A’ là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn) ? Hai điểm tuỳ ý trong số các điểm đó cách nhau bao nhiêu ?c) Hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác Cho đường tròn lượng giác tâm O, điểm gốc A. Xét hệ toạ độ vuông góc OAy sao cho tia OY trùng với tia OA, góc lượng giác (Ox,Oy) là góc + k2nt, k e Z(h.6.11). Hệ toạ độ đó được gọi là hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác đã cho.13 – etosoNcA 193 2.194Sau này, ta luôn xét đường tròn lượng giác trong hệ toạ độ vuông góc gắn với nó. н2] Tìm toạ độ của điểm M trên đường tròn lượng… 1. – 3π. giác sao Cho Cung lượng giác AM có số đo 4. (h.6.11).Giá trị lượng giác sin và côsin a) Các định nghĩa Với mỗi góc lượng giác (Ou, OY) có số đo a, lấy điểm M trên đường tròn lượng giác để (OA, OM) = 0, tức là điểm M xác định bởi số &(h.6.12). Gọi toạ độ của M trong hệ toạ độ gắn với đường tròn đó là (Y: y). Hoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou, Ow) hay của 2 và kí hiệu cos(Ou, Ov) = cosa = x. Tung độ y của M được gọi là sin của góc lượng giác (Ou, Ow) hay của O và kí hiệu sin (Ou, Ov) = sinoz = y. Nếu sđ(Ou, Ov) = a” thì ta cũng viết cos(Ou, Ov) = cosa”, sin(Ou, Ov) = sina”. Ví dụ 1TT 1. a) 예 -빠- v3 (h.6.13). 3 2V2b) sin 225° = — ; 2V2cos 225o = (h.6.14). OB Hình 6,12Hình 6,13Hình 6,143-dsonic CHÚ Ý Gọi i = OA, j = OB là các vectơ đơn vị trên trục hoành và trục tung (h.6.12). Khi đó, nếu điểm Mthuộc đường tròn lượng giác xác định bởi số ox thìOM = (cosa) i + (sinoj, tức là M có toạ độ (cosơ ; sino). Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm M trên O\ và Oy thì OH = (cosa)i và OK = (sina) i. tức làcos CX = OH ; sinoZ = OK .Trong lượng giác, người ta còn gọi trục OY là trục côsin và trục Oy là trục sin.a) Tim (Y để sina = 0. Khi đó, cosa bằng bao nhiêu ? b) Tìm ơ để cosa = 0. Khi đó, sina bằng bao nhiêu ?b) Tính chất 1). Vì các góc lượng giác (2 + k27t, k = 7, cùng xác định một điểm M trên đường tròn lượng giác nên ta cócos(ox + k27 t) = cos Oz; sin(ox + k27 t) = sina.2). Với mọi ø, ta luôn có-1 si coso 1 :-1 si sino < 1.3) Vì OH° + OK° = OM° = 1 (h.6.12) nên ta có.7a) Trên đường tròn lượng giác gốc A, Xẻt cung lượng giác Áo có số đoa. Hỏi điểm M nằm trong nửa mặt phẳng nào thì cosa > 0, trong nửa mặt phẳng nào thì cosơ c.0 ? Vẽ hình minh hoạ. Cũng câu hỏi đó cho sina. b). Hãy xác định dấu của sin3 và cos3.1953. Giá trị lượng giác tang và côtang a) Các định nghĩa Cho góc lượng giác (Ou, OV) có số đo Cỵ. sin CzNeu cosa = 0 (túsc aé 홍 + kft, k = Z) thì tỉ số được gọilà tang của góc a, kí hiệu là tana (người ta còn dùng kí hiệu tga).Vậy tan(Ou, Ov) = tanoz = sin a cosa Nếu sina z 0 (tức Cy z kft, k = Z) thì tỉ số COS OMY được gọi là Sl côlang Của góc (Z, kí hiệu là cota (người ta còn dùng kí hiệu cotgo), Vậy cot(Ou, Ov) = cotox = cosa SII OZY Khi Sđ(Ou, Ov) = a”, ta cũng viết tan(Ou, Ov) = tana”; cot(Ou, Ov) = cota”.Ví dụ 2. Theo ví dụ 1, ta cóTITI sin (- V3 a) tan —-물—–3 兀 lCOS s 2 o — b) col25 = $2 =-2 = 1. D sin 225° N2 2b) Ý nghĩa hình học* Xét trục số At gốc A, tiếp xúc với đường tròn lượng giác tại điểm gốc A và cùng hướng với trục Oy. Khi (OA, OM) = (x sao cho cos(Yz 0 thì đường thẳng OM cắt trục AI tại điểm T có toạ độ là (1: tana), tức là196 t phương trình y = k \ nên nó đi qua điểm T(1 tano) sin OzThực vậy, đường thẳng qua gốc O (khác Oy) y cóM(cosø ; sino) khi và chỉ khi k = SCV Vậy phương trình đường thắng OM là αιO # A.y= \”ox (h.6.15). Rõ ràng, giao điểm T đang xét có hoành độ x = 1 nên tung độ sin CY ܥܠܐ của T là y = – tan Oz. F/ình 6,15Vì vậy, trục Af còn gọi là trục tang. • Xét trục số Bs gốc B tiếp xúc với đường tròn lượng giác tại B(0:1), cùng hướng νό Οχ (h.6.16). Khi (OA, OM) = or mà sino z: 0 thì đường thẳng OM cắt trục Bs tại điểm S có toạ độ là (cotor:1), tức là(chứng minh tương tự như trên).Vì vậy, trục Bs còn gọi là trục côtang. Hình 6,16 Ví dụ 3. a) tan(-45°)=-1 (h.6.17). b) co{#]= V3 (h.6.18). O s S(W3:1) O A. ノ III IV Hình 6,17 Hình 6,18 Hình 6,19|H5. Các trục toạ độ Ox,Oy chia mặt phẳng thành bốn góc phẩn tư I, II, III, II (h.6.19). Hỏi với điểm M nằm trong gỐc phần tư nào thìa) tan(OA, OM) > 0 ?b) cot(OA, OM) < 0 ?197 4.c) Tính chất 1) Từ ý nghĩa hình học nói trên, suy ra: Với mọi k = Z, ta có tan(OY + kTt) = tan Oz; cot (OY + kTt) = cotO.(khi các biểu thức có nghĩa). 2) Từ định nghĩa tang và côtang, suy ra Khi sinCX. cos(Xz 0 (tức khi Cỵz 풍. k e Z), ta có1COO = -. AI CWY3) Từ định nghĩa tang và côtang và từ công thức sino a + cos’a = 1, ta Suy ra ngay các công thứcKhi cos(Xz 0.Khi sinCx+ 0,Tìm giá trị lượng giác của một số góc• Từ định nghĩa các giá trị lượng giác nói trên, ta thấy : Nếu góc lượng giác (Ou, OY) có số đo &, 0 < x < It thì các giá trị lượng giác của nó bằng các giá trị lượng giác của góc hình học uOv đã học trước đây. Vậy ta có bảng sau :TITI Л. TOO 6 4. 3. 2sino O 1. V2 N3 1 = 2 2 COSCY 1 V3 V2 l 2 2tan Oz O s 1 N3 |Không xác định1cota |Không xác định || N3 1 O 1. 4.• Khi biết một giá trị lượng giác của góc a, có thể dùng các công thức lượng giác ở mục 2, mục 3 và dấu của giá trị lượng giác để tính toán các giá trị lượng giác còn lại của góc CI.Ví dụ 4. Cho a, Tt < x < Hãy tìm cosơ, nếu biết sina = - Giaii. Do It < C < 봉 nên cosø < 0, từ đócosa = -V1 - sin” a = - OVí dụ 5. Cho Cx, -통 < a < 0. Hãy tìm cosa, sina, biết tana =Gidi. Do - < or < 0. nên cosơ > 0. Vậy từcosa =一부—부 = 1 + tan“ az 1 + 5. 9 4 Suуга cosa = Và từ đó sin a = cos a. tan a = – \,. O CHÚ ÝVì cho góc lượng giác (Ou, OY) cũng có nghĩa là cho cung lượng giác opx tương ứng trên đường tròn lượng giác tâm 0, nên nói về các giá trị lượng giác của góc (Ou, Ow) cũng có nghĩa là nói về các giá trị lượng giác của cung UV tương ứng.Câu húi Và bài tập Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ?a). Nếu (Yâm thì ít nhất một trong các số cosø, sinø phải âm. b). Nếu C dương thì sinor = V1 = cos”α. c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sau trùng nhau: л -품 13π. và -71″.4 4a số sau bằng nhau: cos°45°; sin COS và −sin210°. e). Hai số sau khác nhau: sin 11+ và sin|57t St. 6 V3 sin ( 6 — 1505).g) Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bởi các số 0; 27tл : và – s là các đỉnh liên tiếp của một lục giác đều.15. Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số (Y trong mỗi trường hợp sau : V – 2 a) cos a = V1 – sin”α ; b) Vsin a = sin o ; c) tano = N1 — Cos” a . COSM 16. Xác định dấu của các số sau: a) sin 156°; cos(-80°); m và tan 556”: b) sin(a cos(a – Và tana – biết rằng 0 < x < 巫。 4 8 2 2 17. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) - + (2k + 1)r; b) kп. ; c) + kit; d) + kt (k e Z). 18. Tính các giá trị lượng giác của góc & trong mỗi trường hợp sau: a) coso = l, sino < 0; b) sino = -부 л < O' < 37t 4. 3 2 2c) tan Ox = 불 -π < α < 0.19. Đơn giản các biểu thức:1 — cos Oz - - - - a) sin a + sino a cosa; b) 二一元二 (giả sử sina z 0); sin“ Cz 1 + cos Oz :-2 2 1 — sint Oz cos“ CY - -- cosa (giả sử cosø +0). COS CYLuyệm tập20. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: 225-225,750-510, 프, 브, -프, - 프 3 6 3 3. 21. Xét góc lượng giác (OA, OM) = a, trong đó M là điểm không nằm trên các trục toạ độ Ox,Oy. Hãy lập bảng dấu của sinơ, cosa, tanox theo vị trí của M thuộc các góc phần tư I, II, III, IV trong hệ toạ độ Oxy. Hỏi M ở trong góc phần tư nào thì:a) sinơ, cosø, cùng dấu ? b) sino, tana khác dấu "? 22. Chứng minh các đẳng thức sau:- 2. a) cos'a – sin“ax = 2cosa — 1 ;b) I -cot'a = (nếu sino z:0); sin o sin" a 1 + Sin'α 2 ܝ ܒ c) = 1 + 2 tan* C (nếu sinor = +1). 1 – Sin Cz23. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc ox: a) Vsin'a + 4cosa. + Vicos"a + 4 sinoa b) 2(sino a + cos"o) - 3(cos"a + sin“o)2 cotox + 1 c) -- + tan o - 1 cota - 1(nếu tana # 1).Xét góc lượng giác (OA, OM) = α, trong đó M là điểm không nằm trên các trục toạ độ Ox,Oy. Hãy lập bảng dấu của sinα, cosα, tanα theo vị trí của M thuộc các góc phần tư I, II, III, IV trong hệ toạ độ Oxy. Hỏi M ở trong góc phần tư nào thì: a) sinα, cosα, cùng dấu ? b) sinα, tanα khác dấu ?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!