Giới hạn của hàm số –

Các giá trị tương ứng của hàm số: f(x1), f(x2),…,f(xn),… Cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)). Chứng minh rằng f(xn) = 2xn = (2n + 2)/n b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)). 2.124Dưới đây, thay cho các khoảng (a ; b), (-CO ; b), (a ; +ơo) hoặc (-CO ; +2O), ta viết chung là khoảng K.ĐịNH NGHIA 1 Cho khoảng K chứa điểm \0 và hàm số y = f(x) xác định trên Khoặc trên K\{x0}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới \0 nếu với dãy số (xn) bất kì, \ne K\{\0} và Xin -> \0, ta có f(\,n) → L. Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → X0. x→x02 Ví dụ I. Cho hàm số f(x) =* *. Chứng minh rằng lim f(x) = -4.x + 2 x→-2 Giải. Hàm số đã cho xác định trên R \{-2}. Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thoả mãn xn z-2 và xn ->−2 khi n → +ơo. Ta có2 – im f(x) = limon – =lim“ = lim(,–2)=–4. + 2)- – 1ገ = lim x + 2Do đó lim f(x) = -4 m x – -2(Lưu ý rằng, mặc dù f(x) không xác định tại x = -2, nhưng hàm số lại có giới hạn là -4 khi x →-2).NHÂN XÉTlim x = \0 ; lim c = c, với c là hằng số. x-> x0. x-y voĐịnh lí về giới hạn hữu hạnTa thừa nhận định lí sau đây.ĐINH LÍ 1sử lim f(x) = L và lim g(x) = M. Khi đó x→x0 x-volim f(x) + g(x) = L + M: x-> x0.lim f(x) = g(x) = L – M: A- so· lim f(x).g(x)) = L.M : x→x0· lim f(v) L (nếu Miz 0). Mα-» χο g(Χ) b) Nếu f(x) > 0 và lim f(x) = L, thì x→x0L>0 và lim Jf(x) = VL. x→x0(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với A # vo).x + 12xxVí dụ 2. Cho hàm số f(x) = – Tìm lim f(x). x→3Giải. Theo Định lí 1 ta có 2 2 lim (x + 1) – x” +1 3. lim f(x) = lim = ‘– x-3 2Vx lim 2 Jr. x-3lim y + lim 1 limx lim y + lim— „x->3 = „X—>3 -X—>3 -3 – 보- 3. lim 2. lim Nx lim 2. Ilim x x→3 x→3 x→3 x→32 – Ví dụ 3. Tính lim * ** *. 1 – x 1چ-w_Giải. Vì (x – 1) → 0 khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng Định lí 1 nêu trên.x + 2.- – Ningwn-1 mo – – Y -x – 11253.lim2 – – x + x -2 = lim (x-1)(x + 2) A-1 x – 1 x→1 A – 1= lim (x + 2) = 3. x→1Giới hạn một bên Trong Định nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → \0, ta xét dãy số (xn) bất kì, Y, e (a; b)\{\0} và \n -> \0, Giá trị X, có thể lớn hơn hay nhỏ hơn \0. Nếu ta chỉ xét các dãy (xn) mà x, luôn lớn hơn \0 (hay luôn nhỏ hơn x0), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên như dưới đây.ĐịNH NGHIA 2 * Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (\0; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → X0 nếu với dãy số (xn) bất kì, X0 < \, < b và An -> x0, ta cό f(x) -> L. Kí hiệu: lim f(x) = L.A-” vő* Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a: x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → X0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < x < \0 và Xn -> \0, ta Cό f(α) » L. Kí hiệu: lim f(x) = L.x→x0Ta thừa nhận định lí sau đây. ĐINH LÍ2lim f(x) = L khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) = L. x-> x0. x—»хо x-> x0.1265 x + 2 nếu x > 1 (1)Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) = – 3 nếu x < 1. (2)Tìm lim f(x), lim f(x) và lim f(x) (nếu có). x-1 x-1" _x-1چ Giải. Ta có, lim f(x) = lim (A” –3) = 1° – 3 = -2 ; x-1 Y-1چ " lim f(x) = lim (5x + 2) = 5.1 + 2 = 7. x-1 x-1" Như vậy, khi x dần tới 1 hàm số y = f(x) có giới hạn bên trái là -2 và giới hạnbên phải là 7. Tuy nhiên, lim f(x) không tồn tại vì lim f(x) z lim f(x). = x-1 x-1 x→1"然 2 Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ở Ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là −2 khi x → 1 ?II - GIỞI HAN HỨU HAN CỦA HẢM SỐ TAI VÔ CựC Cho hàm số f(t)= có đồ thị như ở Hình 52XyOHình 52 Quan sát đồ thị và cho biết: – Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào. – Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào. 127ĐINH NGHIA 3a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; +ơo). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +ơo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và \n -> +ơo, ta có f(\,n) → L. Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → +ơo.A-9 OO b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-20; a). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –ơo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và X) → –ơo, ta có f(\,n) → L.Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → –ơo. OO--וVí dụ 5. Cho hàm số f(x) =쓰로, mm lim f(x) và lim f(x). x - 1 X一*ー○○ 真一→+○○Giải. Hàm số đã cho xác định trên (–CO; 1) và trên (1; +CO).• Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thoả mãn xn < 1 và x, –) –ơo.3 2x. +3 -- Ta có lim f(x) = lim ^" = lim П— = 2. xn - 1 - - inا۔ Vậy lim f(x) = lim * Tề = 2. --do x--oo x - 1• Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thoả mãn xn > 1 và xin -> +ơo.3 2.x. +3 2Ta có lim f(x) = lim ^” = lim – i = 2. x – 1 1-1. n Vậy lim f(x) = lim * lễ = 2 = — x —» +co X — 1CHÚ Ý a). Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có : lim c = c : lim c = c : lim – = 0: lim – = 0. А-э. 4-оо ו-«-OO x→+? x耳ー→一○○b) Định lí 1 Về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → \0 vẫn còn đúng khi x → +ơo hoặc x → –ơo.3a – 2x Ví dụ 6. Tìm lim – -. x-» +oo A* + 1Giải Chia cả tử và mẫu cho x”, ta có2 2 3 2 lim (-) lim 3 — lim * 3.x – 2 x ו-+oo – +oolim 一= lim 1 =──一 1 x→+? x”+1 r1, . lim | 1 + – lim 1 + lim 2. .( -) + O_ 2 —3 – 1 + 0.III – GIỞI HAN VÔ CUC CỦA HẢM SỐ 1. Giới hạn vô cực Các định nghĩa về giới hạn +2O (hoặc –22) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa 1, 2 hay 3 ở trên. Chẳng hạn, giới hạn –CO của hàm số y = f(x) khi x dần tới dương vô cực được định nghĩa như dưới đây. ĐINH NGHIA 4Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +ơo). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –ơo khi x → +ơo nếu với dãy số (\,n) bất kì, \; > a và \n -> +2O, ta có f{\,n) →-2O.Kí hiệu: lim f(x) = – OO hay f(x) → –ơo khi x → +ơo. W-*+○○9-ĐAI SỐ & G|ẢI TÍCH 11-A 129NHÂN XÉTlim f(x) = + o lim (-f(x)) = – o. od- + — מכ+ t-x.2. Một vài giới hạn đặc biệta) lim x* = +o với k nguyên dương. —b) lim x* = − 2) nếu k là số lẻ. y -C- ܂c) lim x* = +2, nếu k là số chẵn. y -Co- ܂3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực Định lí về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Sau đây là một vài quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x) Nếu lim f(x) = L z 0 và lim g(x) = +ơo (hoặc –ơo) thì lim f(x)g(x) x→x0 x→x0 x→x0được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:lim f(x) lim g(x) lim f(x) g(x) x→x0 x→x0 „v —> xo+○○ +○○ L> 0-oid+○○ -oid L < 0-oid 十○○130 9-ĐAI SỐ & G|ẢI TÍCH 11-Bb) Quy tắc tìm giới hạn của thương 器g( lim f(x) lim g(x) - lim Τ(Χ) x→x0 x—»хо Dấu của g(\) x-y so g(x) L 士の Tuỳ ý OL> 0 — +○○O – -COL < 0 -- -CC+○○(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x zx0). CHÚ Ý Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0, x → x0, \ => +oo và Y → –ơo.Ví dụ 7. Tìm lim (x° – 2.x). y -y0ܝ 1Giải Ta có (x° – 2.x)= s 1 -Vì lim x* = − 2) và lim —- lim — ○○Co x→一のい V→一- ܟ- ܂Vậy lim (a -2x) = lim — – oyo . .12 — 1 -» – CVí dụ 8. Tính các giới hạn sau : a) lim 그로 b) lim 2x -3. v—,1 x – 1 It – 1 Giaii a) Ta có lim (Y − 1) = 0, |x – 1 < 0 với mọi x < 1 và x→1丁lim (2x - 3) = 2.1 - 3 = -1 < 0. 17 r-y܂1311.2.3.4.132Do đó, lim oo-3 = +2 x_1 - x - 1b) Ta có lim (x - 1) = 0, \ - 1 > 0 với mọi x > 1 và x-1 lim (2x – 3) = 2.1 – 3 = -1 < 0. x-1"Do đó, lim oo-3 =.... = x-It X-1Bời tộp Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau : 52 a) lim - ; b) m A-4 3x - 2 x * x* +3 Cho hàm sốf(x) = Nx + 1 nếu x > 0 nếu x < 0 và các dãy số (un) với un = 1. (νη) νόi νη = -l. Iገ Tính limu, lim vn, lim_f(un) và lim f(yn). Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0 ? Tính các giới hạn sau :2 - 1 4 - A Vx +3a) lim ; b) lim e) lim Yti 2 : x→-3 Y十 x-y-2 x + 2 A-6 x - 6d) m 구, ) m --- 1im -* ** = 1. x→+x 4ーX x * x* + 1 ו-(+OO 3 + xTìm các giới hạn sau : a) lim -- b) m 구 c) lim . x —>2 (x — 2) x_1 – x – 1 It X – 15.7Cho hàm số f(x) = o” * có đô thị như trên Hình 53.Y -3.Hình 53a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi x → –ơo, x → 3 và x → –3″. b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau: • lim f(x) vớif(x) được xét trên khoảng (-%: -3),• lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (−3:3),A-3 • lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (−3:3).A-d-3’Tính :a) lim (* – כx +or – ).| 2 c) lim Wy’ – 2x+5; d) lim N*t it *. —ox —» +ozo 5 — 2.x+ x -1) ; b) lim (-2x + 3x – 5);Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và do lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính(h.54). Công thức thấu kính là 1. l – 1. d d” f133 Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là (1/d) + (1/d’) = (1/f)

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Giới hạn của hàm số

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!