Một số bài toán thường gặp về đồ thị –

Giao điểm của hai đồ thị Các đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm M(x0 ; y0) khi và chỉ khi y0 = f(x0) và y0 = g(x0), tức là (x0 ; y0) là một nghiệm của hệ phương trình y = f(x) = g(x). Như vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị. Ví dụ 1. Với các giá trị nào của m, đường thẳng y = m cắt đường cong y = x” – 2\” – 3 tại bốn điểm phân biệt?Gidi Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình x” – 2\” – 3 = m, tức làx – 2 x – m – 3 = 0. (1) Đặt X = x, X > 0, ta được X-2X – m – 3 = 0. (2)Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương X1, X2 phân biệt, tức làΔ’ – 0 m + 4 > 0 X,X, > 0 «» { —m — 3 > 0 «» —4 < m < —3. X + X > 0 2 > 0 D 2.Nhận xétCó thể giải bài toán trên bằng đồ thị như sau : Đồ thị của hàm số y = x” – 2\” – 3 được cho trong hình 1.15. Đồ thị của hàm số y = m là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. Dựa vào đồ thị của hai hàm số đã cho, ta thấy ngay rằng đường thẳng và đường cong đã cho cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi –4< m V ニ — 5 2 3 x + i = 2 x + 14.Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(). -). Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại điểm M của hai đường cong đã cho là() = 2. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm M là 5 9— hay y = 2xΗ2 Chứng minh rằng đường cong y = x-y tiếp xúc với parabol y = A-1 tạimột điểm nào đó, Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường Cong tại điểm đó.Ví dụ 3. Chứng minh rằng đường thẳng y = p\ + q là tiếp tuyến của parabol y= ax° + b\ + c khi và chỉ khi phương trìnha 4 bx + c = px + q53hayах” + (b – р)x + c — q = 0 (3) có nghiệm kép, tức làA = (b-p) – 4a(c-q) = 0.Chứng minh Ta đã biết: Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trìnhαν” +bx+c = px + q(αν + b + c) = (px+q)α” + (b-p)X + c – 4 = 0 2ax + b = p. (4)có nghiệm. Nếu đường thẳng tiếp xúc với parabol thì hệ phương trình trên có nghiệm. Giả sử x = \o là nghiệm của hệ phương trình trên. Khi đó, vì a z0 nên từ (4) taCό λο = P. Thay vào (3), ta được Ο (ք – b): (p-b) 4a +(bーp) 2a + c = q = 0. Từ đó suy ra(b-p) – 4a(c-q) = 0. Vậy phương trình (3) có nghiệm kép. Đảo lại, nếu phương trình (3) có nghiệm kép \0 thì \0 = P. Hiển nhiên \ = \o cũng là nghiệm của phương trình (4). Vậy hệ phương trình trên có nghiệm. Do đó đường thẳng là tiếp tuyến của parabol.SCHÚ Ý Có thể áp dụng điều khẳng định trong ví dụ 3 để xét sự tiếp xúc của đường thẳng và parabol. Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1: -2) và tiếp xúc với parabol_y = x – 2A. Gidi Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1 : -2) và có hệ số góc m là y = m (A – 1) – 2. Hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol đã cho là nghiệm của phương trình x° – 2.x = m (x – 1) – 2, tức là x – (m+2)x + m +2 = 0. (5) Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi phương trình (5) có nghiệm kép, tức là A = (m+ 2)-4-(m+2) = 0 <=> (m + 2)(m − 2) = 0 <=> m = 2 hoặc m = -2. Vậy có hai tiếp tuyến của parabol đã cho đi qua điểm A. Đó là hai đường thăng y = 2(x – 1) – 2 hay y = 2.x – 4 Và y = -2(x – 1) – 2 hay y = -2x.Câu hủi và bài tập- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Ý) của hàm sốf(x) = 2 x + 3 x + 1. b) Tìm các giao điểm của đường cong (Ý) và parabol (SP); g(x) = 2x + 1.5 96 1.2. . Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số f(x) – và g(x) = ~~~~c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (Ý) và (“}”) tại mỗi giao điểm của chúng.d). Xác định các khoảng trên đó (Ý) nằm phía trên hoặc phía dưới (“}”).- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số2 x 1.A + 1 b). Với các giá trị nào của m, đường thẳng d, đi qua điểm A(-2: 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã choo. Tại hai điểm phân biệt?o. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?y =. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm sốf(x) = -x +3x +6, g(x) = A” – x° + 4 và h(x) = \” + 7\ +8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(-l:2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A). 3A 2 tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.x + 2. Một viên đạn được bắn ravới vận tốc ban đầu Vụ > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc toạ độ O. (T) nghiêng một góc & Vớimặt đất (nòng súng nằmtrong mặt phẳng thẳng o đứng O\y và tạo với trục Ο hoành OY góc 2) (h.1.21).Biết quỹ đạo chuyển động //ình 1.21 của viên đạn là parabol.(Y) : y = |- (1+tana)x+ Atana 2v,(g là gia tốc trọng trường).Chứng minh rằng với mọi ø e (o g). (7%) luôn tiếp xúc với parabol (T) có phương trình là2 & 2 VO 2v, 2gvà tìm toạ độ tiếp điểm ((T) được gọi là parabolan toàn).LUyệm tập 62. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x – 1 y = x + 16. 3.. Cho hàm số y =b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (7/) của hàm sốAt 2. 2y b) Chứng minh rằng đường thẳng y = m\ + m = 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (7/) khi m biến thiên. c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (7/) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (7/). αν – byx – 1a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (Ý) của hàm số đã cho đi qua điểm Avà tiếp tuyến của (Ý) tại điểm O(0:0) có hệ số góc bằng –3.b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.5765. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số2x = x + 1 y – – – – – x – 1 b). Với các giá trị nào của m đường thẳng y = m – Y cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt ? c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.66. Tìm các hệ số a và b sao cho parabol_y = 2x + a + b tiếp xúc với hypebol6 7.1 و… . . 1 y = tại điểm M); 2).. Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí cho xuất bảnY cuốn tạp chí (bao gồm : lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, …) được cho bởiC(x) = 0,000ly -0.2 x + 10000, C(x) được tính theo đơn vị là Vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. 1”. a) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí. b) Tỉ số M(\) = T được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi Xuất bản X cuốn. Tính M(x) theo x và tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất. 2”. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi inx cuốn tạp chí làL(x) = – 0,000l. i. 1,8x – 1000. b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi ? c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó.TÍNH LÔI, LÖMVA ĐIểMUỐN CỦA ĐƯỞNG CONGđiểm uốn as D cung lồi CD(6)Bcung lồi ÁBcung lõm ჩCHình 1.22Đường cong (Ý) trên hình 1.22 gồm ba cung AB, BC và CD , Ta thấy tiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm M của cung ÁB đều nằm phía trên của Cung; người ta gọi AB là một cung lồi. Trái lại, tiếp tuyến tại mỗi điểm của cung BC nằm phía dưới Của Cung; BC được gọi là một cung lõm. Điểm B là điểm phân chia hai cung lồi và Cung lõm của đường Cong; người ta gọi nó là một điểm uốn của đường cong (Ý). Tương tự, C cũng là một điểm uốn vì nó phân chia cung lõm BC và Cung lồi CD. Ta cũng thấy tiếp tuyến của đường cong tại điểm uốn Xuyên qua đường cong. Sau đây ta sẽ giới thiệu các khái niệm đã nêu một cách chính xác. 1. Tính lồi, lõm của đồ thịĐịnh nghĩa. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng 1. Ta nói rằng a). Đồ thị (Ý) của hàm số y = f(x) lồi trên khoảng 1 nếu tiếp tuyến của (Ý) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị b) Đồ thị (Ý) của hàm số y = f(x) lõm trên khoảng 1 nếu tiếp tuyến của (Ý) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị Ta thừa nhận định lí sau đây. 2.Định lí. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng I. Khi đó a). Nếu f'(x) < 0 với mọi x = 1 thì đồ thị (Ý) của hàm số y = f(x) lồi trên 1. b) Nếu f'(x) >0 với mọi \ = I thì đồ thị (Ý) của hàm số y = f(x) lõm trên I. Ví dụ 1. Xét tính lồi, lõm của hai parabol f(x) = A* và g(x) = -x. Giải. Ta có f'(x) = 2.x và f'(x) = 2. Vì f'(x) > 0. Với mọi \ = R nên parabol f{\) = A” lõm trên R. Trái lại, vì g”(A) = -2 < 0. Với mọi x = R nên parabol g(x) = - A” lồi trên R. Có thể thấy ngay điều khẳng định trên từ định nghĩa. Tiếp tuyến của parabolf(x)=x^ tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị và tiếp tuyến của parabol g(x) = - \* tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị * Chú ý. Điều kiện nêu trong định lí trên chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần của tính lồi, lõm của đồ thị. Chẳng hạn, đường cong f(x) = x" là lõm trên R vì tiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đường cong. Tuy nhiên, ta có f'(x) = 12\” >0 với mọi \ = R và f'(x) = 0 tại Y=0.Điểm uốn của đồ thịĐịnh nghĩa. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a ; b) chứa điểm \0. Nếu đồ thị (Ý) của hàm số y = f(x) lồi trên một trong hai khoảng (a: \o), (\0; b) và lõm trên khoảng còn lại thì U(\0:f(\0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị (Ý) (h.1.23) y điểm uốnHình 1,23 Nói một cách khác, điểm uốn của đồ thị là điểm phân chia hai phần lồi và lõm của đồ thịTiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn luôn xuyên qua đồ thị Từ định lí về tính lồi, lõm của đồ thị, dễ dàng suy ra Định lí. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng 1 chứa điểm \0. Nếu f'(\0) = 0 và f'(x) đổi dấu khi Y qua điểm \0 thì U(\0; f(\0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = {{\). Ví dụ 2. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số?

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Một số bài toán thường gặp về đồ thị

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!