- Giải Toán Lớp 10
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 10
- Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10
- Sách giáo khoa đại số 10
- Sách giáo khoa hình học 10
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10
- Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
- Giải Toán Lớp 10 Nâng Cao
- Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10
- Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
%200078-2.jpg)
%200079.jpg)
%200080.jpg)
%200081.jpg)
%200082.jpg)
%200083.jpg)
%200084.jpg)
%200085.jpg)
%200086.jpg)
%200087-1.jpg)
Công thức cộng đối với sin và côsin. Với mọi góc lượng giác α, β, ta có: cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β; cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β; sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin βChứng minh 1) Giả sử các điểm M và N trên đường tròn lượng giác theothứ tự xác định bởi Cx và 6 (h.625) thì OM có toạ độ (cosa ; sino), ON có toạ độ (cos/?; sin/?) và tích vô hướng OM.ON = cos OzcosA3+ sinozsin/3 Mặt khácOM.ON = |OMI. ONlicos NOM = cos NOM, mà đã biết cos NOM = cos(ON, OM)= cos[(OA, OM) — (OA, ON)] = cos(ox — 6) nên suy raHình 625cos(o — 6) = cosacos/3+ sinasin,ß. 2) Từ 1) ta suy ra cos(a + 6) = cos[a — (-6)] = coso cos(-6) + sindowsin(-6) = cos OzcosA3 — sinox sin 6. 3) Ta cósin(oz- 6) = cos། -(α- P) 예 a) — pcos(); z)cos/ – sin(3; – a)sin B = sina cos6- cosa sin,B. 4) Ta có sin(o + p3) = sino- (-6)) = sino cos(-8)- cosasin(-6)= sincycos/3+ cososin/3111t —- 7 – 1 = — cos – T – Ví dụ 1. cos 12 – cos[ཀ་ 器川 cos- 巫一巫1一一 工 五 + si ‘ : ‘ cos( 3 (cos 3 COS Sin 3 Sl – l V2. V3 v2. – -l V2 v/ — ( + V6 ) DH1 Hãy kiểm nghiệm lại các công thức cộng nói trên với a tuỳ ý và a) A3 = Tt ; b) 6= 홍14-esionC)-A 209 b) Công thức cộng đối với tangTa có tan(o-A3) = tana — tan/3 1 + tan o tan/3 tan (o +6)= tana + tan A3 1 – tan a tan A3Với mọi ø,/3 làm cho các biểu thức có nghĩa.Thực vậy sin a cos/3 — cos asin/3 sin(a — tan CX — tan tan(oY — A6) = ( 6) cosa cosé ーエ = α -tanβ cos(a – 6) cosa cos A3 + sin asin/3 1 + tanatan B cosa cosf3anta, Antana – tan(A9) – tana * tan Ao. tan(o + p3) = tanto – (-6) 1 + tan o tan (-6) 1 – tan a tan 8Л. tal- – – tanwan2 m-m(-)- – 2=ل-3لا- N3. 12 3 4 1+ tan; tan; 1 + v3O|H2. Để các biểu thức ở công thức tan(a+6) nói trên có nghĩa, điều kiện của & 6 làCác gỐc a, (3 or + 6 khÔng có dạng + km (k = Z). Điều đó có đúng không ?2.Công thức nhân đôiTrong các công thức cộng nói trên, đặt & = 6 thì được các công thức sau đây gọi là các công thức nhân đôi.cos2a= cosa- sina sin2OY = 2sin Ozcos Oztan2O = 2 tan az1 – tan”α(Trong công thức cuối CYz 5+ kr, OYÉ – 풍 k e Z).210 4-DS10(NC)-BVí dụ 3a) cos2O = cosa- sina = cosa- (1 – cosa) =2cosa-1 cos2a = cos’a — sinoa = 1 — 2sinoa.b) Với Cỵz + 풍 (k e=Z) thì cos2C×z 0 và ta có1 + sin 2a – sino a + cosa + 2 sina cosa cos 2ax cosa – sino a – 2 (sina + cosa) COSO2 + Sln (2- (cosa – sino)(cosa + sino) cosa — sina CHÚ Ý Từ trên ta suy ra 2 – 1 + coS2α … 2 1 – cos20 COSTOX = – – : SInTOY= -·Các công thức này gọi là các công thức hạ bậc. (Chúng cho phép biến đổi các biểu thức của cos”o, sin”a thành biểu thức của cos2a).Ví dụ 4. Tính côsin, sin, tang của góc ЛТ 1 + cos — | Giải. Ta có cos** =-6 = 2 + 3 mêm cos” N2+ v3 12 2 4 12 2冗1 — cos |sin? ZE – “**** 6-2 – V3. arm—- 12 2 4. 12 2* = 2 – 5 – 2 = قبلا.12 V2 + V3tan|H3! Hãy tính cos4a theo cosa.Đơn giản biểu thứcsina cosarcos2ozcos4a.3. Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tícha) Công thức biến đổi tích thành tổng – Sử dụng công thức cộng, ta dễ dàng suy ra các công thức sau đây gọi là công thức biến đổi tích thành tổng.cosa cos 6 = a(n + p3) + cos(a — A8)]sin a sin/3 –부 cos(a + p3) — cos(a — /3 ;cos(a + B) – cos(a – B)sina cos B = sin (o + /3) + sin (a -/3). |sin(a + B) + sin (a – B)Ví dụ 5. Tính insin24, 24 Giải. Ta có sin 50گsinR = -1 o -e 24 24 2 24 24 24 24 1 冗 冗 1 — – cos || = – – || N3 — N2 || . cos cos့်) (5 J2) OH5 Hãy tính cosin,12 12 b) Công thức biến đổi tổng thành tích Trong các công thức biến đổi tích thành tổng trên đây, nếu đặt a + 6 = x, *土y, β = * = X | thì ta suy ra được các công thức saua – 6=y| tức là a = đây gọi là công thức biển đổi tổng thânh tích.cos x + cos y = 2cos’ — لا cosلاگ 2 2 cos x — cos y = -2sinلاگ sinلاك sin x + sin y=2sin* – *cos * * 2 2 sin.༣ – siny – 2cossin ཤིན་ཏུ་212I 1Ví dụ 6. Chứng minh rằng ────────────– 2 ,. 3π. S1- S110 10 Giải. Ta có — i – si | 7. . Л. T 10 SIn – SIn – Sin-SIn10 O 10 10 3m 電 3n T 1 – + – – – – 1 冗 。T 2cos|| 10 — 10 ||sin| 10 — 10 || = 2 cos sin — m 。3m 2 – . 3π. 5 O S1n — Sin- Sin-Sin10 10 10 10 = 2 5 = 2, (do cos-sin[ཡ]-sin) sin 5 2 5 10 Câu hủi và bài tập38. Hỏi mỗi khẳng định sau có đúng không ?3.40Với mọi ø, 6, ta có a) cos(CY + B) = cos cx + cos/3; b) sin(a – B) = sina – sin/3; c) sin(cx+ 6) = sina cos/3 + cosa sin A3; d) cos(oz— 6) = cos Cycosp3-sinasin/3;sin 4az e) cos 2=tan2ơ (khi các biểu thức có nghĩa); SZOZg) sinoa= sin2O.9. Sử dụng 75°= 45° + 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 75°.Sử dụng 15°= 45° -30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15° (đối chiếu Với kết quả bài tập 29).. Chứng minh rằng: a) sino + coso = 2ina –b) sino – coso = 2in( -ts-est ONCA 2131.4. 3.44.4 5c) tan(-a) – Az )a = “” + kn, a = 2گ + kn(; 4 1 + tandy 2 4d) tan: a)- 1 + tandy (а у 5 + kn, a z “+ kn). 4 1 – tana 2 4. a). Biết sinor = và CY e r.), hãy tính các giá trị lượng giác của góc 2ơO và góc *– goeO b) Sử dụng 15°= “. hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.. Chứng minh rằng:· 111t: 57t 1 sin cos = – (2 — V3); a) sin 12 cos V3)b) cos Leos or cos ོ་ -l. (Hướng dẫn. Nhân hai vế với sin””) 7 7 7 8 7c) sin 6o sin 42° sin 66° sin 78° = 志 (Hướng dẫn. Nhân hai vế với cos6°).. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:a) cos75°cos 15° = sin75osin 15° =b) cosT5’sin 15′ = 25 c) sin75°cos 15° = 28d) cosa sin (6-y)+ cos 6sin(y-a)+ cosysin (a – 3) = 0, vói moia, B, Đơn giản các biểu thức sau:a) sin(A+a)=sin(-a) ; b) cos (a)-cos (-) 3 3 4 4. Chứng minh rằng:a) sina – sinA 3 nếu a + 9 = $ và cosa z cos#; cosa – cos 6 3b) cosa – cos7a. = tan4a (khi các biểu thức có nghĩa). sin 7ox — sin azisib l-esti Membru.21446.LUyệm tập Chứng minh rằng: a) sin3oz = 3sinox- 4sina ; cos3O = 4cosa-3.cosor b) sinasin(; – #jsin[]; a) sin 3a 3 3 4. cosaco – z)cos[]; -h a) ܬcos3a – 3 3 4Ứng dụng. Tính sin 20°sin 40°sin80° và tan 20° tan 40°tan.80°.. Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm nghiệm lại gầnđúng kết quả: J3a) cos 10″cos50°cos70° = sin20’sin40°sin80o = sb) sin 10°sin50’sin70° = cos20°cos40°cos80o =. Chứng minh rằng2冗 4T 6л 1 COS- + COS- + COS- = – – . 7 7 7 2Hướng dần. Nhân vế trái với sin ;( hoặc in+) rồi sử dụng công thức biếnđổi tích thành tổng.. Chứng minh rằng, giá trị mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vàox:a) cos(ox + x) + cosx — 2cos a cos x cos (a + x);b) sin4x sin 10x — sin 11x sin3.x – sin7x sinux.. Chứng minh rằng:a). Nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn sinA = cos B + cos C thì tam giác ABC vuông; b) Nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn sinA = 2sinBcosC thì tam giác ABC cân.21551.S 2S 3.S 4.216Chứng minh rằng nếu a +/?+ 7=Tt thì: β. , γ- – – a) sinoz + sinf3 + sin y= 4coscoscosཏཱ་β – γb) cosa + cosf3 + cosy= 1 + 4 sin * sin P sin 2. 2 2c) sin2o + sin28 + sin2y= 4sinasin/9siny :d) cosa. + cos”B — cos”y= 1-2cos o cosso cos y,… a) Chứng minh rằng nếu a và/o khác – kft (k e Z) thìsin (a + B) và tan or – tan/3 = sin (az — β). cosa cos 6 cosa cos 6 b) Chứng minh rằng với a mà coska z 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sina z: 0 thì 1 + 1 +…+ 1 – tan 8a – tana cos o cos 2a cos 2a cos3az cos 7oz cos8oz sin Oztana + tan/3 =Biết cosa + cos/} = a, sina + sin/? = b (a, b là các hằng số và a + bi z. 0), hãy tính sin(a +/?) theo a và b.. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc 0, với vận tốc ban đầu là v (m/s),theo phương hợp với trục hoành OY một góc 0, 0 < 0 < i. là parabol có phương trìnhx + (tano).x,2v" Cost Cz trong đó g là gia tốc trọng trường (g s: 9,8y = -m/s”) (giả sử lực cản của không khí không đáng kể). Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ 0 đến giao điểm khác O của quỹ đạo với trục OY (h.626).a) Tính tầm xa theo CY (và V). Hình 6,26b) Khi w không đổi, & thay đổi trong khoảng {0 g). hỏi với giá trị ơ nào thìtầm xa của quỹ đạo đạt giá trị lớn nhất ? Tính giá trị lớn nhất đó theo v. Khi v=80 m/s, hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hàng đơn vị). Như mọi khoa học khác, Lượng giác phát sinh từ nhu cầu của đời sống: Ngành Hàng hải đòi hỏi phải biết xác định vị trí của tàu bè ngoài biển khơi, vị trí của các hành tinh, của các vì sao, Cuộc sống xã hội với các hoạt động sản xuất đòi hỏi đo đạc ruộng đất, thiết lập bản đồ,... Các nhu cầu đó làm cho môn Lượng giác phát sinh và phát triển. Thời cổ, các nhà toán học Hi Lạp đã góp phần đáng kể vào việc phát triển môn Lượng giác. Lê-ô-na C-le là người đã xây dựng lí thuyết sâu sắc về lượng giác trong Cuốn "Mở đầu về giải tích các đại lượng vô cùng bé" xuất bản năm 1748. Trong công trình đó, C-le đã đề cập khái niệm rađịan, nhưng từ "rađịan" (gắn với từ "radius" có nghĩa làbán kính) mãi đến năm 1873 mới được dùng chính thức lần đầu tiên ở Đại học Ben-phát (Belfast), Bắc Ai-len.O-le là một trong những nhà toán học lớn nhất từ xưa đến nay. Ông sinh tại Ba-lơ, Thuỵ Sĩ. Ông đã tiến hành nghiên cứu nhiều đề tài khoa học thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như cơ học, âm nhạc, thiên văn. Hầu hết mọi ngành toán học đều mang dấu ấn các kết quả nghiên cứu của ông. C-le là người say mê, Cần Cù trong Công việc. Cuối đời dù bị mù cả hai mắt, ông vẫn tiếp tục hoạt động sáng tạo. Trong cuộc đời mình, C-le đã viết trên 800 công trình khoa học. Số công trình của ông ít aisánh kịp.