Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai –

Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Giải bất phương trình x^2 – x + |3x – 2| > 0. Giải. Trước hết, ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Nếu 3x – 2 >= 0 thì x^2 – x + |3x – 2| = x^2 – x + (3x – 2) = x^2 + 2x – 2: Nếu 3x – 2 < 0 thì x^2 – x + |3x – 2| = x^2 - x - (3x – 2) = x - 4x + 2. Do đó, bất phương trình đã cho tương đương với…2. Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc haiKhi giải phương trình hoặc bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, tathực hiện một số phép biến đổi tương đương để đưa nó về một phương trìnhhoặc bất phương trình không còn chứa ẩn trong dấu căn bậc hai. Trong quátrình biến đổi cần lưu ý: – Nêu các điều kiện xác định của phương trình hoặc bất phương trình và nêu điều kiện của nghiệm (nếu có): - Chỉ bình phương hai vế của phương trình hoặc bất phương trình khi cả hai vế đều không âm. Gộp các điều kiện đó với phương trình hoặc bất phương trình mới nhận được, ta có một hệ phương trình hoặc bất phương trình tương đương với phương trình hoặc bất phương trình đã cho (tức là phương trình hoặc bất phương trình đã cho và hệ thu được có cùng tập nghiệm).Ở đây, ta chỉ xét một số ví dụ đơn giản.Ví dụ 2. Giải phương trình N3\” + 24x + 22 = 2\ + 1.Phân tích. Điều kiện xác định của phương trình đã cho là3x + 24x +22 > 0. (1) Dễ thấy nghiệm của phương trình đã cho phải thoả mãn điều kiện 2x + 1 > 0. (2)Với các điều kiện (1) và (2), phương trình đã cho tương đương với phương trình3x + 24x + 22 = (2 + 1). (3) Hiển nhiên (3) kéo theo (1). Do đó, nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình (3) thoả mãn bất phương trình (2). Nói một cách khác, phương trình đã cho tương đương với hệ gồm bất phương trình (2) và phương trình (3). Sau đây là bài giải ví dụ 2. Giải Phương trình đã cho tương đương với hệ2 x + 1 > 0, (I) 2 2 3.x +24 x +22 = (2 x + 1).148Ta có1 x>ー士。 x -(I)2 ” :””} x=21. x -20x-21 = 0 x = -1 hoặc x = 21Nghiệm của phương trình đã cho là x = 21. D |H2]. Giải phương trình Na” + 56x + 80 = x + 20.Ví dụ 3. Giải bất phương trình Nixo — 3x — 10 < x — 2. Phân tích. Điều kiện xác định của bất phương trình đã cho làx-3x - 10 > 0. (1) Dễ thấy nghiệm của bất phương trình đã cho phải thoả mãn điều kiện x – 2 > 0. (2)Với hai điều kiện (1) và (2), bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trìnhx -3.x – 10 < (x -2). (3) Như vậy, bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm ba bất phương trình (1), (2) và (3). Sau đây là bài giải ví dụ 3. Giải. Bất phương trình đã cho tương đương với hệx -3x - 10 > 0 (I) X – 2 > 0 x -3.x -10 < (x -2). Ta có x < -2 hoặc x > 5 (I) KI> { x > 2 53x < 14. x < 14Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [5; 14). ܨܝ|H3. Giải bất phương trình Nao -2\ -15 < \-3.Ví dụ 4. Giải bất phương trình NA” – 4x > x – 3. Phân tích. Điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x – 4x > 0. (1) Để khử dấu căn chứa ẩn, ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1 x – 3 < 0. (2) Hiển nhiên, nghiệm chung của (1) và (2) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Nói một cách khác, trong trường hợp này, bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm hai bất phương trình (1) và (2). Trường hợp 2 xー3> 0. (3) Với các điều kiện (1) và (3), bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình x – 4x> (x- 3). (4) Hiển nhiên (4) kéo theo (1). Do đó, nghiệm chung của hai bất phương trình (3) và (4) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Nói cách khác, trong trường hợp này, bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm hai bất phương trình (3) và (4). Sau đây là bài giải ví dụ 4. Giải. Bất phương trình đã cho tương đương với 2-4 r> xー3>0 (1) ***** o hoạc(II) 2 2 x -3 <0 x*ー4x>(x-3)*。 Ta có x < 0 hoặc x > 4 (I) x <3<>x<0>3 (II) -> ー> 9 – 2 x > 9 x > 2 2 Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 0. Và Y > 9.2 Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (-CO: 0]U O Giải bất phương trình Na” – 1 > x + 2.Câu hủi và bài tập 65. Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) – 5x + 4 = x + 6x +5; b) A – 1 = 2x – 1 :c) – x + x – 1 – 2x +5; d) – asx – 1. 66. Giải các phương trình sau: a) V2s + 4 x -1 = x + 1 : b) W4- or 64 = 2(x + 10); c) WA – 2x = -2 x – 4 x +3; d) (x+1)(x + 2) = x + 3x – 4. Hướng dẫn, c) Đặt y = Not 2x.y > 0, ta được phương trình y=-2° + 3.d) Vì (x + 1)(x + 2) = x° +3x + 2 nên đặt y = NA” +3x +2, y > 0, ta được phương trình y=y” – 6.67. Giải các bất phương trình:a) vs. 4 x – 6 < x -1; b) V2 x -1 < 2.x -3 ; c) W2x - 1 > 1 – x : d) Vxo — 5x — 14 > 2x — 1.68. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:2 a) y = Nixo + 3x – 4| – x + 8 ; b) y = c) y = l – d) y = WINxo — 5x – 14 — x + 3.2 – 7 + 5 2 + 2 + 5151XÉT DẤU PHÂN THỨC HỨU Tỉ BẢNG PHƯONG PHÁP KHOẢNGBiểu thức có dạng 器 trong đó P(x) và Q(x) là những đa thức, được gọi là mộtphân thức hữu tỉ.Người ta chứng minh được rằng : Nếu các đa thức P(A) và Q(x) có các nghiệm\1, x2, …,\, đôi một khác nhau và vị c x2 ×… < \, thì trên mỗi khoảng (-x0;x1),(Y1:x2),...,(Y, -1;.\,), (wn ; +xo), -phân thức ^^) giữ một dấu không đổi.Q(x) Áp dụng điều khẳng định trên, muốn xác định dấu của 器 trên mỗi khoảng đãnêu, ta chỉ cần tính giá trị của phân thức tại một điểm nào đó của khoảng.Phương pháp được sử dụng để xét dấu phân thức hữu tỉ trong các ví dụ sau đâyđược gọi là phương pháp khoảng.Ví dụ 1. Xét dấu của phân thức hữu tỉ2x+3x-2x-3 1(x)=------ - - Giải Tử thức 2 + 3 - 2x-3=2x(x-1) + 3(-1) = (2x+3)x+1)(x-1) có các nghiệm là -를 –1 và 1.Mẫu thức là tam thức bậc hai có các nghiệm là –3 và 4. Ta viết phân thức dưới dạng2x+3}(x+1}{xー1 f()-(**)');-) (và sắp xếp các nghiệm của tử thức và mẫu thức của f(x) theo thứ tự tăng dần-3, --, -1, 1, 4.2 Các nghiệm này chia R thành sáu khoảng (-ാം ;-3), (-) - :-) (−1 : 1), (1:4). Và (4 :+zo).Ta xác định dấu của f(x) trên mỗi khoảng đã nêu. Ta có f(0) = > 0, do đó f(x) > 0 trên khoảng (-1 ; 1). Khi x qua điểm 1, chỉ có nhịthức x = 1 đổi dấu, các nhị thức khác đều giữ nguyên dấu, do đó f(x) đổi dấu. Vì vậy, f(x) < 0 trên khoảng (1:4). Khi x qua điểm -1, chỉ có nhị thức x + 1 đổi dấu, do đó f(x)đổi dấu. Vì vậy f(x) < 0 trên khoảng ( -). Dấu của f(x) trên các khoảng còn lại được xác định một cách tương tự và ta được bảng xét dấu sau:-o -3 - L -1 1 4. shoo 2to - || + 0 - 0 + 0 - || + Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức P(x) =(x+2x+1)(2x - 1)(x' -5x+4). Giải Tam thức bậc hai ở + 2\ + 1 = (x + 1)” có nghiệm kép x = -1. Nghiệm của nhị thức bậc nhất 2x – 1 là l Nghiệm của tam thức bậc hai x” – 5x + 4 là 1 và 4. Ta viết biểu thức đã cho dưới dạng P(x) = (x+1)*(2x-1)(x-1)(x-4). Các nghiệm của P(x) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là -1, 보, 1. Và 4. 2 Các nghiệm này chia R thành năm khoảng 1. 1 :–1), 1-1; >1, | 0 trên khoảng (i. 1). Tương tự, P(\) âm trên khoảng (1:4) và dương trên khoảng (4; +oo). Nhân tử (x + 1)* bằng 0 tại điểm x = -1, nhưng luôn dương với mọi x = -1 nên khi xqua điểm-1, P(x) không đổi dấu. Do đó, P(x) < 0 trên khoảng (~o; -1). Ta có bảng xét dấu sau:l 1 4 -hoc 2 O O + 0 - 0 +-1 Pov) | - 0 -153Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x^4 + (1 – 2m)x^2 + m^2 - 1 = 0 a) Vô nghiệm; b) Có hai nghiệm phân biệt; c) Có bốn nghiệm phân biệt.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!