Phương trình đường thẳng trong không gian –

Trong không gian Oxyz cho điểm M0(1;2;3) và hai điểm M1(1 + t; 2 + t; 3 + t), M2(1 + 2t; 2 + 2t; 3 + 2t) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm M0, M1, M2 luôn thăng hàng. Ta đã biết trong hệ trục toạ độ Oxy phương trình tham số của đường thẳng có A = A + II dạng ”’ với đỉ + aả z 0 (h.3.14a). y = yо + ta2Như vậy trong không gian Oxyz phương trình của đường thẳng có dạng như thế nào ? (h.3.14b)Hình 3.14I PHƯơNG TRìNH THAM SỐ CỦA ĐƯỞNG THẢNGA. Trong không gian OXyz cho điểm Mậ(1:2:3) và hai điểm M. (1 + t; 2 + t , 3 + 0, M. (1 + 2t:2+2t:3+20 di động với tham sốt. Hãy chứng tỏ ba điểm Mo, M., M. luôn thăng hàng. Định lí Trong không gian OAyz cho đường thẳng A đi qua điểm M0(\o : y); zo) và nhận ä = (a, ; a2 : aạ) làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cẩn và đủ để điểm M(\; y, z) nằm trên A là có một số thực t sao cho A = \0 + tal y = yо + 1a2 z = z0 + tal3. Chứng minh Ta có: M0M = (\ = \0; y – yo; z-20). Điểm M nằm trên A khi và chỉ khi M0M cùng phương với ā, nghĩa là M0M = tả với t là một số thực. Điều này tương đương với A – \o = ta x = x0 + ta; y-yo = ta hay y = yo + ta2 2ーz0=fas z = z0 + ta3.Định nghĩa * Phương trình tham số của đường thẳng A đi qua điểm M0(\0; yo: Zo) và có vectơ chỉ phương ä = (a : a2 ; da) là phương trình có dạng x = x0 + tal y = yо + ta2 z = z0 + tal3trong đó f là tham số Loà° Chú ý. Nếu ai, a2, as đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng A dưới dạng chính tắc như sau:Ví dụ I. Viết phương trình tham số của đường thẳng A đi qua điểm Mo(1:2:3) và có vectơ chỉ phương là ä = (1: –4: -5).Giர்A = 1 +t Phương trình tham số của A là: 4y=2-412 = 3-5t. Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1: -2:3) và B(3; 0, 0). giải Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương AB = (2; 2; -3). x = 1 +2t Phương trình tham số của AB là: {y = -2+21 2 = 3-3t. A = 1 + 1 Ví dụ 3. Chứng minh đường thẳng d: 4y = 2+2t vuông góc với mặt phẳng 2 = 4 +3t (c): 2.x +4y + 62 + 9 = 0. Giải d có vectơ chỉ phương ä = (1:2:3): (C) có vectơ pháp tuyến m = (2; 4: 6). Ta có n = 2ả, suy ra d |(O).A. Cho đường thẳng A có phương trình tham sốHãy tìm toạ độ của một điểm Mtrên A và toạ độ một vectơ chỉ phương của A.II. ĐIÊU KIÊN ĐÊ HAI ĐƯÖNG THẢNG SONG SONG, CẤT NHAU. CHÉO NHAUAs Cho hai đường thẳng d Và d’Có phương trình tham số lần lượt làA = 3+2t A = 2 + 1 d : y = 6+4t Va d’ : y = 1-1.” = 4+t z = 5 + 2t”.a). Hãy chứng tỏ điểm M(1:2:3) là điểm chung của d’Và d’; b) Hãy chứng tỏ dVà d’Có hai vectơ chỉ phương khÔng cùng phương.Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d, d” có phương trình tham số lần lượt là -Y = A0 + fo“। x = x + ta; d: {y = yọ + ta2 và d’: 4y = y6 + t°a2 2 = 2 + ta z=z6+ra, Sau đây ta xét vị trí tương đối giữard và d’’, nghĩa là xét điều kiện để d và d’ Song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.I. Điều kiện để hai đường thăng song song M (1 d –>H. Gọi ä = (a, ; a2; da) và đ” = (a{; a%: d4) II” lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d’. 七> Lấy điểm M(\o:yo:20) trên d (h.3.15). Hình 3.15Ta có:ā= kā d’song song với d’’ khi và chỉ khi M z d“.Đặc biệt : ā = kā d trùng với d’khi và chỉ khi “… “. Med.Ví dụ I. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song:.x = 1 + 1 x = 2+2t’d : y =2t và d”: {y=3+4/2 = 3-1 z = 5 — 2t”. 9ỉáid có vectơ chỉ phương ä = (1:2: -1), lấy M(1; 0; 3) e d’; d” có vectơ chỉ phương ā’ = (2; 4: -2),Vì ỡ = và M không thuộc d” nên dsong song với d”.A. Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau:.v = 3 – 1 x = 2-3 d : y = 4+t Và d”: y = 5+3t’ 2 = 5-2I z = 3 — 6t”.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau} Hai đường thẳng d và d” cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương | trình ẩn t, t’saux0+ta = x + say) + tag = y + ‘a’ (I)斷 zo + ta3 = 26 + ta4靶 Có đúng một nghiệm.Liè°Chú ý. Giả sử hệ (I) có nghiệm (0, 0), để tìm giao điểm Mo của d và do ta có thể thay to vào phương trình tham số của d’hoặc thay tú vào phương trìnhtham số của d”.Ví dụ 2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:x=1+f x = 2-2t d: 4y = 2+3 và d’: 4y=–2+ t° z=3–t z = 1 + 31″. Giấi 1 + 1 = 2-2t (1) Xét hệ phương trình 42+3t = -2 + (”’ (2) 3ーt=1+3s (3)Từ (1) và (2) suy ra t = -1 và t’= 1. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó thoả mãn. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm là 1 = -1, t’= 1.Suy ra d cắt d’tại điểm M(0;–1:4). 3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau Ta biết rằng hai đường thẳng chéo nhau nếư chúng không cùng phương và không cắt nhau. Do vậy Hai đường thẳng d và d” chéo nhau khi và chỉ khi ả và ä” không cùng phương và hệ phương trìnhx0+ta = x6+ rayo i ta2 = y0 + tajzo + ta3 = z0 + ta4Vô nghiệm.Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳngA = 1 +2t x = 1 +3t d: {y = -1+3 và d’: 4y=–2+2/ z = 5 + t z = -1 + 2t”. Giải dHình 3.16Ta có: ä = (2:3: 1) và ä = (3:2; 2).Vì không tồn tại số k để ả = kả” nên ả và ä không cùng phương. Từ đó suy rad và d’hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau (h.3.16).1+2t = 1 +3t’ Xét hệ phương trình; 4–1+3t = -2+2/ 5+1 = -1 +2t. Từ hai phương trình đầu ta được t = – và t’= – thay vào phương trình cuối không thoả mãn. Ta suy ra hệ trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng d và d’chéo nhau.Ví dụ 4. Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông gócx = 5-1 A =9 +2t’ d:4y = –3+21 và d’:{y=13+3/ z = 4t z = 1–t. Giảid và d’lần lượt có vectơ chỉ phương là ä =(-1; 2:4) và ä = (2:3: -1), Ta có ả.ā’ = -2 + 6–4 = 0. Suy ra d| d’. Nhận xét. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (C):Ax + By + C2 + D = 0 Χ = XO + fαι và đường thẳng d:4y=y.0+ta2 2 = 20 + tas. Xét phương trình A(x0 + ta1)+ B(yo+ ta2)+C(20+ ta3)+ D = 0 (t là ẩn). (1)- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (a) không có điểm chung, vậy а // (а) (h.3.17а).d d \ کہہ سے o ༽ a) b) C) Hình 3.1788- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = to thì d cắt (O) tại điểm Mo(x0 + toa: yo + to a 2:20 + toas) (h.3.17b).- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (C) (h.3.17c).As Tìm số giao điểm của mặt phẳng (C):X + y+ z – 3 = 0 với đường thẳng d trongCác trường hợp sau: x = 2+t x = 1 +2t X = 1 + 5t a) d: y = 3-1 : b) d: y = 1-1 : c) d: y = 1 – 4t 2 = 1 2=1ーI z = 1 + 3t.BẢI TÂP1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a) d đi qua điểm M(5; 4: 1) và có vectơ chỉ phương ä = (2; -3; 1); b) d đi qua điểm A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (C) có phương trình x+yーz+5=0: y = 1 + 21 c) d đi qua điểm B(2:0: -3) và song song với đường thẳng A : 4y=-3+3i : z = 4td) d đi qua hai điểm P(1:2:3) và Q(5; 4; 4).2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường x = 2+t thẳng d: 4y = -3+21 2 = 1 + 3/ lần lượt trên các mặt phẳng sau: a) (ΟΑν) : b) (Oyz).896.- Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và do cho bởi các phươngtrình. Sau : x = -3+2t x = 5+t a) d: y = -2+3t và d”: {y = -1–41′: z=6+41 z = 20+ 1 x=1+s x = 1 +2t b) d: y = 2+t và d’: 4y = -1+21′ 2 = 3-1 z = 2 — 2t”.Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhaux = 1 + at x = 1 – ( d : y = t và d’: 4y = 2+2/ = -1 +2t z=3–1.Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (ø) trong các trường hợp Sau : x = 12 + 4ta) d : , y = 9 + 3ι va(o):3x+5yーzー2=0: 2 = 1 +t ふr=1+f b) d: y = 2-t và (O): Y + 3y + 2 +1 = 0; 2 = 1 +2t x = 1 +t c) d: y = 1 +2t va(a):x+y+zー4=0 2 = 2-3t x = -3+2t Tính khoảng cách giữa đường thẳng A : 4y=-1+3 và mặt phẳng 2 = -1 + 21(a):2xー2y+z+3=0.Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng A. b) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng A. Cho điểm M(1:4; 2) và mặt phẳng (2): x + y + 2 – 1 = 0. a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (C). b) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (a). c) Tính khoảng cách từ điểm Mđến mặt phẳng (O).9. Cho hai đường thẳng.v = 1 – 1 x = 1 +t d: {y = 2+21 và d”: 4y=3–2/ z = 3t z=1.Chứng minh d và d” chéo nhau. 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp toạ độ:Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).ÔN TÂP CHƯONG IIICác bài toán sau đây đều cho trong hệ toạ độ Oxyz.1.Cho bốn điểm A(1: 0; 0), B(0: 1:0), C(0: 0:1), D(-2: 1: -1), a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD. c) Tính độ dài đường cao của hình chóp ABCD.2.Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2: -5), B(-4:0:7). a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Phương trình đường thẳng trong không gian

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!