Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số –

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K… Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.NHÂN XÉT. Từ định nghĩa trên ta thấy a) f(x) đồng biến trên K f(x2)二s”> 0, v7x1, x2 e K 2 – 1 (\| * 2) ;f(x) nghịch biến trên K →f(x2) f(x1) < 0, ναι, Α2 Ε K -1(A 7. 2). b). Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (H.3a); Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (H.3b).Hլյլի 32. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm2 汽。 Các hàm số sau và đổ thị của chúng: a) y = -- (H.4a) b) y= (H.4b) 2.W | loc O +○○ -o O +。 y yy حساس سے" 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b). Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.Tóm lại, trên K f'(x) > 0 => f(x) đồng biến E. <0 => f(x) nghịch biến. CHÚ Ý Nếu f'(x) = 0, V.Y = K thì f(x) không đổi trên K. Ví dụ I. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:a) y = 2x” + 1 ; b) y = sinx trên khoảng (0: 27t).a). Hàm số đã cho xác định với mọi x = R. Ta có y’= 8x”. Bảng biến thiên -o O +OO y’ O -h Vậy hàm số y = 2x + 1 nghịch biến trên khoảng (-CO: 0), đồng biến trên khoảng (0; +ơo).b). Xét trên khoảng (0; 21), ta có y’= cos \.Bảng biến thiênД. 3爪 V O 2. 2 2π. y’ = cos x O 1 O y = sinx ހ′ ། ހ′ O -1 Vậy hàm số y = sin\ đồng biến trên các khoảng o Và 2)nghịch biến trên khoảng 불 2 23Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ?Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịchbiến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phảidương (âm) trên đó hay không ?Chẳng hạn, xét hàm số y = xo có đồ thị trên Hình 5.Hình 5CHÚ Ý Ta có định lí mở rộng sau đây. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) > 0 (f'(x) < 0), V.Y = K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2\° + 6x° + 6Y-7. Giải. Hàm số đã cho xác định với mọi x e R.Ta có y = 6x° +12.x + 6 = 6(x + 1)”. Do đó y'=0 x=> x = -1 và y’> 0 với mọi x z – 1.Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.II – QUY TÁC XÉT TÍNH ĐỞN ĐIÊU CỦA HẢM SỐ1. Quy tắc 1. Tìm tập xác định. 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm \; (i= 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 3. Sắp xếp các điểm \; theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Áp dụng2.Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm sốGiải. Hàm số xác định với mọi x = R. Ta có1- = ܐ y’=x丁ーrー2。 y = 0 جے A = 2.Bảng biến thiên-CO -1 2 十○○ y O O 19|イーつVậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-CO-, -1) và (2; +2), nghịch biến trên khoảng (-1 ; 2).Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = Y +Giải. Hàm số xác định với mọi x z – 1. Ta có ( t ) – (-1) 2(x + 1) (x + 1) y’ không xác định tại Y = -1. Bảng biến thiên -l +○○ y’ y +○○ 1 っ _つVậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-CO-, -1) và (-1 ; +ơo). Ví dụ 5. Chứng minh rằng Y > sin \ trên khoảng (o: bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = \ – sin \. Giải. Xét hàm số f(x) = \ – sinx o < x < , ta có f'(x) = 1 – cosx > 0 (f'(x) = 0 chỉ tại x = 0) nên theo chú ý trên ta có f(x) đồng biến trên nửa khoảng o s -Do đó, với 0 < \ < ta có f(x)=x – sin\> f(0) = 0hay Y> sin_Y trên khoảng oBời tập Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y = 4 +3x-vo: by = 3 – 7 – 2, e) y = 1 – 2.2 + 3 : d) y= x + x’ – 5.2.3.4.STìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:2 a)y= 부 b)y= – I – X I – X c) y= x – x -20 ; d) y = , -Chứng minh rằng hàm số y = 2 đồng biến trên khoảng (-1 : 1) : nghịch biến trên các khoảng (-CO; -1) và (1; +ơo). Chứng minh rằng hàm số y = \ 2\ – 2 đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (l: 2).Chứng minh các bất đẳng thức sau:3 a) tanx > x (okr – ); b) tanx > x +* – (occ). 2 3. 2B Ả I ĐQ C TH Ê MTÍNH CHẤT ĐỞN Đ |ÊU CỦA HAM SỐĐiều kiện đủ về tính chất đơn điệu của hàm số được chứng minh dựa vào định lí sau đây.ĐINH LÍLA-GRANG Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c = (a, b) sao cho f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)hay f(e) T(b) (). b – a y Minh hoạ hình học : R Nếu hàm số f(x) thoả mãn các giả thiết của fic) C định lí La-grăng thì trên đồ thị tồn tại điểm ܐ C mà tiếp tuyến tại đó song song hoặc L-4 trùng với dây cung AB (H. 6). Mo-구 I Hình 6 a C, c.HÊ QUẢNếu F(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng (a ; b) thì F(x) bằng hằng sốtrên khoảng đó. Chứng minh. Xét điểm cố định xạ = (a + b). Với mỗi x = (a; b) mà x z \0, các giả thiết của định lí La-grăng được thoả mãn trên đoạn [Xô: x] (hoặc{\; \o]). Do đó tồn tại điểm c = (x0, x) (hoặc c =(x;\o)) sao cho F(x)-F(\o)= F(c)(x-\,,). Vì c =(a; b) nên F'(c) = 0. VậyF(x) – F(x) = 0 hay F(x) = F(x) = consttrên toàn khoảng (a; b).ĐINH Lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). a). Nếu f'(x) > 0 với mọi x = (a ; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó: b). Nếu f'(x) < 0. Với mọi x = (a ; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Chứng minh. Lấy hai điểm bất kì \, \, (x, < \3) trên khoảng (a; b). Vì f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) nên fix) liên tục trên đoạn [\, : \31 và có đạo hàm trên khoảng ,(2ا۔;۲۔) Theo định lí La-grăng, tồn tại một điểm ce (x; x2)C(a, b) Sao Cho f(x2)-f(x) x2 xf'(c) = . Từ đó suy ra:a). Nếu f(x) > 0 với mọi x = (a ; b) thì f'(c) > 0, nên f(x2)> f(x). Do đó, f(x) đồng biến trên khoảng (a + b). b) Nếu f(x)| < 0 với mọi x = (a ; b) thì f'(c) < 0. nên f(\)

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!