Ứng dụng của tích phân trong hình học –

Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn bởi các đường thẳng y = -2x -1, y = 0, x = 1 và x = 5 2.Ví dụ I. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm sốy =x, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, \ = 2(H.53).Giải. Ta có x* < 0 trên đoàn [-1 ; 0] và A* > 0 trên đoạn 10: 2]. Áp dụng công thức (3), ta có: 2 O 2 S = slu oldx f(-x)dy — jod -1 – O一、 4 -1 4 0 4//ình 53Hình phẳng giới hạn bởi hai đường congCho hai hàm số y = f(x) và y = f(x) liên tục trên đoạn [a : b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b (H.54). Xét trường hợp fi(\) > /2(\) với mọi x = [a ; b]. Gọi $1, $2 là diện tích của hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng x = a, Y = b và các đường cong y=f(\), y = f(x) tương ứng. Khi đó, diện tích Scủa hình D là//ình 54h S = S – S = f(a)-f(x))dy.Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được công thứcS = f(x) = f(x) dy. (4)CHU Y Khi áp dụng công thức (4), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình 115 f(x) – f2(x) = 0 trên đoạn [a ; b]. Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d). Khi đó, f(x) - f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c], [c ; d], [d ; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [a : c], ta cóf(x)-f(x)dx =f(x)-f(x)dxVí dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = It và đồ thị của hai hàm số y = cosx, y = sin \ (H.55). Giải. Đặt f(x) = cosx, f(x) = sinx, y Ta có f(x) - f2(x) = 0 c = – E 10 : TI. 4. [0; Tt] Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là Hình 55 t Tt 4. t S = jါcos x – sin xld x = |cos x — sin xld x + |cos x — sin xld x = O O 7.4巫 4 Tse cos x — sin x)dx|’ + f cos x — sinx)dx O Ttп 4. O(sin x + cos x) (sin x + cos x)| | = 22電 л 4. Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x” – xva y = x – x. Giải. Ta có f(v)-f(x) = (x-x) – (x -x) = x + x’ – 2x. 116 Phương trình f(x) – f}(x) = 0 có ba nghiệm x = -2, \2 = 0, xạ = 1. Vậy diện tích hình phẳng đã cho là1 S = fle 4 x -2dds = -2O so + A*- 2x) dx -2so + x’ – 2x)dx O37- – – – – -12 12-2 II – TÍNH THÊ TÍCH2 Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều CaO băng h.1- Thể tích của vật thểCắt một vật thể Ö bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục OY lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a < x < b) cắt Ö theo thiết diện có diện tích là S(x) (H.56). Giả sửS(x) liên tục trên đoạn ta: b].Hình 56 Người ta chứng minh được rằng thể tích V của phần vật thể Ö giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức:(5)117 2118- Thể tích khối chóp và khối chóp cụtVí dụ 4. Tính thể tích khối lăng trụ, biết " diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. Giải. Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với O\ tại x = 0 và Y = h. (H.57). Hiển nhiên, một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc Với trục O\, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi $(x) = B (0 < \ < h). Áp dụng công thức (5), ta cóh ክ V = S(x)dx = Bd. = B = Bh. O OHih 57Oa) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B.Chọn trục OY vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm 1 sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ Oi. Khi đó OI = h. Một mặt phẳng (ø) vuông góc với OY tại Y (0 < \ < h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(\) (H.58). Ta có2 I S(x) = B. 川 Khi đó, thể tích V của khối chóp là Hình 58 ’’ 2 3 Y|h V = (B * dx = f Bh h h \ 3 Ulo 3b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao bằng h. Chọn trục O.Y trùng với đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S. Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt cắt OA tại I và T' (H.59). Đặt OI = b. OI' = a (a < b). Gọi V là thể tích của khối chóp cụt. Ta có b 2 V = |Bids - , (b-a) b. 3b Bo o2 Vì B'= B', và h= b : a nên h? V = + V BB' + B"). H 59 III - THÊ TÍCH KHỐI TRòN XOAY3. Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học.Nghệ nhản làng gốm Bát Tràng 120Bài toán Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục OA và hai đường thẳng x = a và x = b (a < b) quay xung quanh trục OY tạo thành một khối tròn xoay (H.60). Hãy tính thể tích V của nó. Giải. Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại \ = [a : b] là hình tròn có bán kính bằng |f(x). Do đó, diện tích của thiếtdiện là S(x) = TVf°(x). Vậy theo công thức (5) ta có(6)Ví dụ 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin \, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ft (H.61).Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục 0\,Giải Áp dụng công thức (6), ta cót t V = isin di = л Jo — cos2x)dx O 261 rt t? -- in 2) -- 2 2 2Ví dụ 6. Tính thể tích hình cầu bán kính. R. Giải. Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường y = N R” – x”(-R < x < R) và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox (H.62).Hình 60Hình 62 1.2.3.4.5R 2 vạy v = r j (NR? — ?) dx - RR 3 \|R - )dy = n Ra - - 4 ۔D3 = n (R - k = - =str.Bời tộp Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y= x, y = x + 2; b)y=|inal, y = 1; c) y = (x – 60°, y = 6x — lx°. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2: 5) và trục Oy. A. 2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục OA :Parabol y = chia hình tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính 2vs2.a) y = 1 - , y = 0; b) y = cos x, y = 0, x = 0, x = TI ;冗 c) y = tan X, y = 0, x = 0, x = 4. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục OY. ĐặtPOM = aw, OM = R (0 < a < R > 0)Gọi t” là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H-63). a) Tính thể tích của “theo a và R.b) Tìm & sao cho thể tích của Ölớn nhất.Hình 63 122BAN CÔ B I ÉTL! CH SỦ PH ÉP TÍNH TÍCH PHÂNPhép tính tích phân đã được các nhà bác học sử dụng từ trước thế kỉ XVIII. Đến thế kỉ XIX, Cô-si (Cauchy, 1789 – 1857) và Ri-man (Riemann, 1826 – 1866) mới xây dựng được một lí thuyết chính xác về tích phân. Lí thuyết này về sau được Lơ-be-gơ (Lebesgue, 1875 – 1941) và Đăng-gioa (Denjoy, 1884 – 1974) hoàn thiện. Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn. Thay vào đó, họ nói “tổng của một số vô Cùng lớn những số hạng Vô Cùng nhỏ”. Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong là tổng của một số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Dựa trên cơ sở này, Kê-ple (Kepler, 1571 – 1630) đã tính một cách chính xác nhiều diện tích và thể tích. Các nghiên cứu này được Ca-va-li-ơ-ri (Cavalierie,1598 – 1647) tiếp tục phát triến. Dưới dạng trừu tượng, tích phân đã được Lai-bơ-nít định nghĩa và đưa vào kí hiệu Î Tên gọi “tích phân” do Bec-nu-li (Jacob Bernoulli, 1654 – 1705), học trò của Lai-bơ-nit đề xuất.Như vậy, tích phân đã xuất hiện độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó, việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là một phát minh vĩ đại của Niu-tơn Và Lai-bơ-nit.Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các tổng tích phân, là củaCÔ-si và Ri-man.B AI ĐOC TH Ê MTÍNH D|ÊN TÍCH BẢN G G|Ở| HAN1. Tính diện tích hình thang cong Xét hình thang Cong giới hạn bởi các đường Y = (a, Y = b (a

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Action: Post ID: Post Nonce: ☆ ☆ ☆ ☆ ☆

Đánh giá trung bình 4 / 5. Số lượt đánh giá: 906

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

Ứng dụng của tích phân trong hình học

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!