Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ –

Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ đã được đề cập trong chương trình hình học lớp 10. Tuy nhiên, khi đó tất cả các vectơ mà chúng ta xem xét đều nằm trên cùng một mặt phẳng. Ở chương II, chúng ta đã làm quen với việc A nghiên cứu hình học không gian mà đối tượng của nó là các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chẳng hạn, tứ diện ABCD là một hình có tính chất đó và như thế các vectơ AB, BC, CD không cùng nằm trong một mặt phẳng nào cả (h.82). Trong chương này, chúng ta sẽ nói đến các vectơ trong không gian. Vectơ, các phép toán C vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn Hình 82 toàn giống như trong mặt phẳng, chúng cũng có các tính chất đã biết nên không nhắc lại. Sau đây, chúng ta nêu lên một số hoạt động và ví dụ nhằm mục đích ôn tập lại những kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian.1Cho hình hộp ABCD,A’B’C’D’, với tâm O (h.83). B a). Hãy chỉ ra trên hình 83 những vectơ bằngnhau khác vectơ 0 và kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thứcAC” = AB + AD + AA”. (1) b) Chứng minh rằng AB + B’C’ + DVD = AD + D’Co’ + B’B = A’ C.Hình 83CHÚ Ý Công thức (1) gọi là quy tắc hình hộp (để tìm tổng của ba vectơ). 2 汽 Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G và các trung điểm các cạnh của nó (h.84). Hãy chỉ ra trên hình 84 những vectơ khác 0 bằng nhau và kiểm tra xem đẳng thức AB+ AC+ AD = 4AGA. C A. C.’ B’C Hình 84 Hình 85có đúng không ? A.3 Cho hình lăng trụ ABCA’B’C”. Đặt AA’= ā, AB = 5, AC = C (h.85). 1) Hãy biểu thị mỗi vectơ B°C, BC” qua các vectơ ä, b, c, 2) Gọi G là trọng tâm tam giác A’B’C’,Biểu thị vectơ AG” qua ä, b, c, Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD. 1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng MN = (AD + BC) = AC + BD). 2. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra : a) GA + GB + GC + GD = 0 b) PG = (P. + PB + PC + PD) với mọi điểm P. Gidi (h.86) 1. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có MN = MA + AD + DN, MN = MB+ BC+CN. Do MA+MB = 0và DN + CN – Önên MN=}(AD + BC). MTương tự như trên, ta có – 1 ہے۔ یہ B D MN = (AC + BD).2. a) Ta có N GA + GB = 2GM, – – F/in} &6 GC + GD = 2GN.Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi GM + GN = 0 hay 2(GM + GN) = ö.Điều này tương đương với GA + GB + GC + GD = 0. b) G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khiGA + GB + GC + GD = 0. Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta cóPA PG PB PG PC PG PD PG 6.hay PG=PA+PB+PC PD). DVí dụ 2 Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b., BD = b^, BC = a, AD = a^. Tính góc giữa các vectơ BC và DẢ. Giải. Ta có BCDA = BC (DC + CA) = CBCD – CBCA (CB + CD – BD) – (CB +CA” – AB*) AB + CD – BD-CA).Từ đó góc (BC, DA) xác định bởi2 – 2 h2 h, 2 cos(BC, DA) = —– CIV. Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳngTa biết rằng, với hai đường thẳng phân biệt cho trước trong không gian, luôn có mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó. Nhưng nói chung, không có mặt phẳng song song với ba đường thẳng phân biệt cho trước. Nếu có mặt phẳng như vậy thì ta nói rằng ba vectơ nằm trên ba đường thẳng ấy là đồng phẳng.ĐINH NGHIA Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.Trên hình 87, giá của ba vectơ α. ã, b, c đều song song với mặt っイphẳng (P) nên ba vectơ ä, b, c đồng phẳng.Nhận xét Từ định nghĩa trên, suy ra : Nếu tavē OA = a, OB = b, OC = c thìHình 87ba vectơ ä, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng hay ba đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng.Bài toán 1 Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần A. lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC, MN, M AD đồng phẳng.飛 4 (Để giải bài toán 1) O Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC vàBD. Khi đó MPNQ là hình bình hành. Từ C N D đó, hãy suy ra điều phải chứng minh (h.88). Hình 88 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và sự khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng, chúng ta có thể chứng minh được định lí sau (h.89).ĐINH LÍ1Cho ba vectoy di, b. C, trong đó ä và b không cùng phương. Điều kiện cẩn và đủ để ba vectơ ä, b, c đồngphẳng là có các số m, n sao cho ẽ = mã + nb. Hơn nữa, các số m, n là duy nhất.B Hình 895 熾 Chứng minh rằng 1) Nếu có mã + nh+ pc = 0 và một trong ba số m, n, p khác không thì ba vectơ ä, b, c đồng phẳng; 2) Nếu ä, b, c là ba vectơ không đồng phẳng và mã + nh+ pể = Ở thìm = n =p=0. Bài toán 2 Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AD và BC sao cho PẢ = kPD, QB = kQC (k z 1). Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng (h.90). 6 (Để giải bài toán 2) C 1) Từ hệ thức PA = kPD, hãy chứng tỏ F/inh 90 MP = MA- kMD. 1一雄 Tương tự, ta cũng cósee MB-kMCMO = T-T-.Ο 1一从 2) Từ hai đẳng thức trên, chứng minh rằng MP + MG = MN.Vậy các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Định lí 1: nói đến điều kiện để có thể biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Định lí dưới đây sẽ nói về biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng.ĐINH LÍ2Nếu ä, b, c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ đi, ta tìm được các sốm, n, p sao cho đ= mã + n5 + pẽ. Hơn nữa, các sốm, n, p là duy nhất.Chứng minh Từ điểm O, ta đặt OA = ä, OB = 5, OC = c, OD = d thì O, A, B, C không cùng thuộc một mặt phẳng. Từ điểm D kẻ đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng OC, cắt mặt phẳng (OAB) tại điểm D”(h.91). Khi đó OD-OD + D.D. Theo định lí 1, ta có các số m, n sao cho OD’’ = mā + nb. Ngoài ra do D’D và c cùng phương nên có số p để D’D = pẽ. Vậy Hình 9/OD = md + nb + pc. Giả sử còn có OD = m a + n } + p°C thì Vì ä, b, c không đồng phẳng nên m – m’= n − n’= p − p’=0 hay m = m”, n = n”, p = p”. Suy ra các số m, n, p là duy nhất. O 89 Bài toán 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng AC và CD sao cho MA’= kMC, NC’= [ND (k và 1 đều khác 1). Đặt BA = ä, BB’=b, BC = c.a). Hãy biểu thị các vectơ BM và BN qua các vectơ ä, b. エ. b)Xác định các số k, 1 để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’. Gidi (h.92) a) Từ giả thiết ta có:BM = **: 75–, do đó1-k BM =– +–B— :1-k 1-k 1 – k BN = foo” (#2, do đó1 – 1 – 1 : . Hình 92 BN = — — — ā + b + cmb). Vì BD’ và CD là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN không thể trùng với đường thẳng BD’. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’khi và chỉ khi MN = pBD”.Do MN=BN – BM nên ta có 两–古一古、 k 片 1 – 1 1-k 1一1 1一从 1-k Mặt khác BD = d +b+c (quy tắc hình hộp) mà ä, b, c là ba vectơ không đồng phẳng nênMN = pBD – – =p c = -1, k = -3,p =p1 +— 1 – k Ba vectơ a, b, c có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra ? a) Có một vectơ trong ba vectơ đó bằng 0. b) Có hai vectơ trong ba vectơ đó cùng phương. Cho hình chóp S.ABCD. a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì SB +SD = SA +SC. Điều ngược lại có đúng không ? b). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi SA +SB + SC +SD = 4SO. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G” lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB” và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’song song với nhau. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD”: G và G” lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG” và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau. Trong không gian cho tam giác ABC. a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho OM = xOẢ + yOB + zOC với mọi điểm O. b). Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM = \OA + yOB + zOC, trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC). Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A, B, C” lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = CSC, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.91

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!