Đường hypebol –

Đường hypebol cũng là một đường quen thuộc đối với chúng ta, chẳng hạn: Đồ thị của hàm số y = 1/2 là một đường hypebol (h. 86a); Quan sát vùng sáng hắt lên bức tường từ một đèn bàn ; vùng sáng này có hai mảng, mỗi mảng được giới hạn bởi một phần của một đường hypepol (h. 86b).Hình 86 Định nghĩa đường hypepol ĐINH NGHIACho hai điểm cố định F1, F2 có Mkhoảng cách FIF2 = 2c (c > 0). Đường F.hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp 2các điểm M sao cho IMF – MF2|=2a, F.trong đó a là số dương cho trước nhỏhon c (h. 87).Hình 87Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểmcủa hypebol. Khoảng cách FIF2=2c gọi là tiêu cự của hypebol. Có thể vẽ hypebol như sau (h. 88): Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài 1 nhỏ hơn chiều dài AB của thước và l>AB – FIF2. Đóng hai chiếc định lên mặt một bảng gỗ tại F, F2. Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào F2. Đặt thước sao cho điểm B trùng với Fi và lấy đẩủ bút chì tỉ sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng rồi cho thước quay quanh F1, mép thước luôn áp sát mặt gỗ. Khi đó, đầu bút chì C sẽ vạch nên một đường cong. Ta sẽchứng tỏ đường cong đó là một phần của đường hypebol. Thật vậy, ta có CF1 – CF2 = (CF) + CA)-(CF2 + CA) = AB – 1 không đổi.Hình 882. Phương trình chính tắc của hypebol Cho hypebol (H) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng FIF2, trục Oy là đường trung trực của FIF2 và F2 nằm trên tia Ox. Khi đó F = (- c: 0), F2 = (c:0) (h.89).1 Hình 89 Giả sử điểm M(x : y) nằm trên hypebol (H). Hãy tính biểu thức MF” – MP3 và sử dụng giả thiết IMF – MF}| = 2a để suy ra -a và MF.3 = αCác đoạn thẳng MF, MF) được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.MF =105 3. HìnBây giờ ta sẽ lập phương trình của hypebol (H) đối với hệ toạ độ đã chọn. Ta có2 MF = W(x +c) +y = a + ‘ hay (st of y’ = (a+1) 2 2 2 2 2 Rút gọn đắng thức trên ta được 1-구 x + y = a” -co hay (1 y? 2 2 2 2 2 ۔۔۔ م —- = 1. Chú ý rằng a” – c* <0 nên ta có thể đặt a” – c* = – b 2 2 2 (IT (IIT - C 2 2 2 hay b* = c" – a” (với b>0), và ta được2 2 ー千ー=1 (a>0 b>0). (1)? b?Ngược lại, có thể chứng minh được rằng: Nếu điểm M có toạ độ (x;y) thoảmãn (1) thì MF = và do đó IMF – MF}|=2a, tứcC “-“C. – -là M thuộc hypebol (H).Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.h dạng của hypebolTừ phương trình chính tắc (1) của hypebol, hãy giải thích vì sao nó có các tính chất saua) Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của hypebol. Ox,Oy là hai trục đối xứng của hypebol. b) Hypebol cắt trục Oxtại hai điểm và không cắt trục Oy.Ngoài ra, đối với hypebol có phương trình chính tắc (1), ta còn có các khái niệm sau đây • Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol. Hai giao điểm của hypebol với trục Ox gọi là hai đỉnh của hypebol. Người ta cũng gọi đoạn thẳng nối hai đỉnh của hypebol là trục thực. Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo. • Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol. * Ta cũng gọi, giống như với elip, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực làtâm sai của hypebol, kí hiệu là e, tức là * = e. Chú ý rằng ta luôn có e > 1.Ví dụ. Cho hypebol (H):* – 2 = 19 4 Xác định toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính tâm sai, độ dài trục thực, độ dài trục do của (H). Giải Hypebol (H) có a” = 9, b° = 4 nên a = 3, b = 2, c” = a° + b° = 13, c = V13. Vậy hypebol (H) có các tiêu điểm FI = (-N13 ; 0), F2 =(N13 ; 0);các đỉnh A1 = (-3 ; 0), A2 = (3 ; 0); tâm sai e – ; độ dài trục thực 2a = 6; độ dài trục ảo 2b = 4. • Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = + a, y y = + b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol Sco A. b B ހ có phương trình (1) (h, 90). Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hìn chữ nhật cơ sở gọi ~J|ށ ހި” là hai đường tiệm cận của hypebol. Phương trình 吊人一”/6|^、“N。平 hai đường tiệm cận đó là سمبرb /ޝަށހ D -b C-Ny=土ーx. ,ܧ − Hình 903. 2 2Cho hypebol (H) : – – = 1. Lấy điểm M(\0; yo) trên (H) với \0 > 0, y0 > 0. Chứng tỏ rằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận y = * bằng —.2 N5(x0 + 2yo) Nhận xét gì về khoảng cách đó khi \0 tăng dần ? Như vậy, khi điểm M trên hypebol càng xa gốc toạ độ thì khoảng cách từ điểm đó đến một trong hai đường tiệm cận càng nhỏ đi, điều đó cũng có nghĩa là điểm M ngày càng gần sát đường tiệm cận đó (điều này giải thích ý nghĩa của từ “tiệm cận”).107Em có biếf ?Hai đường tròn không đồng tâm (O: R) và (O’: R’) có điểm chung M thì hiển nhiên |MO – MO’|=|R – R’l, nên khi giữ O, O’ cố định và cho R, R’ thay đổi sao cho LR = R\ = 2a không đổi (a > 0) thì các giao điểm M cùng nằm trên một hypebol với tiêu điểm là O và O’.Hình 91 minh hoạ những hypebol như thế với các giá trị khác nhau của a.C ○-○ 2-c-e- ごご 2《《་《་ ܠܓܠܓܠܓܐ2-2C ZZZZSNS 223 SS ZX3XZZZ2Z<<> 1.108 Cho đường tròn (E) tâm F1, bán kính R và một điểm F2 ở ngoài (E). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua F2, tiếp xúc với (E) là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Đường hypebol

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!