Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

Tích phânTích phânTích phânTích phânTích phânTích phânTích phânTích phânTích phânTích phânTích phânTích phân

Tích phân –

Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân a) Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a : b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng \ = a \ = b được gọi là hình thang cong (phần tô đậm trong hình 3.1). Bài toán đặt ra là tìm công thức tính diện tích của hình thang cong.Hình 3./• Bài toán 1Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, \ = b (a < b). Giả sử f là hàm số liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên đoạn [a : b]. Chứng minh rằng diện tích $ của hình thang cong đó làS = F(b) - F(a) trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên đoạn [a : b]. Chứng minh Kí hiệu $(\) (a < x < b) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a và đường thẳng đi qua điểm Y trên trục hoành và vuông góc với trục hoành (h.3.2). Như vậy, ta có một hàm số y = $(\) xác định trên đoạn [a: b].10-Gt2-nc-e Trước hết, ta chứng minh y = S(\) là một nguyên hàm của hàm số y = f(\) trên đoạn [a : b]. Thật vậy, giả sử \o là một điểm tuỳ ý cố định thuộc khoảng (a ; b). Xét điểm \ = (\o; b]. Khi đó S(x) - S(\0) là diện tích hình thang cong MNIEQ (h.3.3).... O a M N//ình 3.2 //ình 3.3Do flà hàm đồng biến nên hình thang cong MNEO nằm trong hình chữ nhật MNEF và chứa hình chữ nhật MNPQ. VậySммPo < УммЕo v. to= f(\o).Vậy lim x – »voo “- f(x) hay Sco-re). Vì \0 là tuỳ ý thuộc (a; b), nên suy ra S”(x) = f(x) với mọi x = (a,b). Tương tự, ta có : S”(a)= f(a), S”(b) = f(b). Vậy hàm số y = S(\) là một nguyên hàm của f trên đoạn [a : b]. Thành thử tồn tại hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.147 2.148Dễ thấy S = S(b) – S(a). Do đó S = S(b) – S(a) = (F(b) + C)-(F(a) + C)= F(b) = F(a). D н1 Tinh diện tích hình thang cong giới hạn bởi đổ thi hàm số y = \”, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 2. b) Quảng đường đi được của một vật Bài toán 2 Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, v =f(t) (0 < 1 0 trên Ia; b) thì |f(x)dy > 0.h b) Chứng minh rằng nếu f(x) > g(x) trên ta; b) thì [f(x) dx > |g(x)dx. ” α 14. a). Một vật chuyển động với vận tốc V(t) = 1 – 2sin 21 (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0(s) đến thời điểm t = (S). b). Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc V(t) = 160 – 101 (m/s). Tínhquãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại. 15. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 31 + 1 (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 16. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s. Gia tốc trọng trường là 9.8m/s. a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất ?b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất (tính chính xác đến hàng phần trăm).153Bài 302 flê).1/TÍNH GÂN ĐÚNG TÍCH PHÂN VA KHÁI NIÊM TỐNG TÍCH PHÂNTính gần đúng tích phân Từ định nghĩa tích phân ta thấy muốn tính tích phân |f(x) de thì phải tìm được mộtnguyên hàm F củaf. Mặc dù nguyên hàm này chắc chắn tồn tại nhưng trong nhiều trường hợp ta không thể tìm được biểu thức tường minh của F(x) qua các hàm sơ cấp đã biết. (Chẳng hạn, người ta đã chứng minh rằng nguyên hàm của các hàm số siny = e, y = A. y= V1+x”, … không thể biểu diễn qua các hàm sơ cấp đãVʻ biết). Trong những trường hợp như vậy, việc tính đúng tích phân sf(x) d\ là không thể thực hiện được. Vậy có thể tính gần đúng tích phân đó được không ? a) Cho hàm số y = f(x) liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a : b}. Xét hình thang cong H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, \ = b (trên hình 34, hàm số f(\) = 5一、d=—1b=2 ). Gọi S là diện tích của H.h Theo định lí 1 ta có S = |f(x)dxVới mỗi số nguyên dương n, ta chia đoạn [a, b] làm n đoạn Con bằng nhau bởi các9 — ( …, A = a +kđiểm \0 = a . \} = a + …, , = b (k=0,1,2,…,n).Dựng các hình chữ nhật B, với đáy là đoạn thẳng |\{ { \{+1}, chiều Cao là f(\}) (k = 0, …, n − 1). Diện tích của hình chữ nhật B là f(\})(\{{1-\{). Gọi A, là hợp của n hình chữ nhật B), B1,…, B, 1 (xem hình 34b với n = 10) và S(A/) là diện tích của hình A. Ta có $(A) là tổng diện tích của n hình chữ nhật B), B1,…, B,_1.Vay S(A,1)=Σ f(x)(\, – Αρ). k=0Khi số điểm chia n càng lớn, số hình chữ nhật B), B1,…, B, 1 càng nhiều thì diện tích S(A,) của hình A, càng gần với diện tích S của H (xem hình 3,4c với n = 20. hình 3.4d với n = 30). Vậy S. s. S(An) nghĩa làዘ=1 |f(x)dx ܓ Σ f(A. )(VK1 – Vik ). k=0//ình H Hình An a) b)1. N 0ܐ NHình Anc) //ình 34 b) Có thể nhận được công thức gần đúng trên với lập luận như sau : Giả sử một vật chuyển động với vận tốc v = f(t). Ta chia khoảng thời gian {a, b] thành n khoảng thời gian bằng nhau a = (0

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận